שלום. בשיעורים הקודמים התוודענו למשפט פיתגורס ובאמצעותו עברנו לדיון במספרים רציונליים ואי רציונליים. והזכרנו אז את העבודה שנהוג לשרטט את המספרים הממשיים בין אם הם רציונליים או אי רציונליים על ציר מספרים, אני אזכיר לכם איך זה נעשה. מציירים ישר, שאנחנו מדמיינים אותו כישר אינסופי. כמובן אני יכול לצייר רק קטע סופי ממנו על הלוח. מקצים עליו נקודה אחת שהיא הראשית, נקודה שנייה המשמשת כנקודת ייחוס, מסמנים אותה ב-1. חוזרים ומקצים את הקטע הזה, למשל בעזרת מחוגה שוב ושוב ימינה ושמאלה. אלו הם המספרים השלמים. אחר כך אנחנו יכולים להקצות על ציר המספרים גם את המספרים הרציונליים, את השברים. למשל אם נחלק את הקטע באורך שניים לשלושה חלקים שווים, נקבל את הנקודות שני שליש, ארבעה שלישים, שישה שלישים זה שיעור הנקודה 2 וכן הלאה. ועמדנו גם על העובדה המעניינת, התגלית שמיוחסת ליוונים הקדומונים, שלא כל נקודה על ציר המספרים ניתנת לתיאור בעזרת שבר פשוט או אפילו שבר עשרוני, גם שבר עשרוני הוא שבר פשוט שהמכנה שלו הוא חזקה של 10. למשל אורך היתר במשולש ישר זווית שניצבם הם באורך 1 המספר שאנחנו קוראים אותו שורש 2 הוא איזשהי נקודה שנמצאת פה, קצת לפני 1 וחצי, והיא אינה ניתנת לתיאור כשבר פשוט. כל מה שעשינו יכול להסתכם באמירה שישנה לנו העתקה ״חד חד ערכית״ או התאמה ״חד חד ערכית״ בין עולם המספרים הממשיים מחד, העולם האלגברי, של המספרים שאנחנו תופסים אותם כמספרים ממשיים, ונקודות על הישר. ההתאמה הזו יכולה להיות שימושית בשני הכיוונים. מצד אחד, היא מאפשרת לנו לחשוב על מספרים חשיבה גיאומטרית, לחשוב על הסדר בין המספרים כסדר שקיים על נקודות, על ציר. מצד שני, היא מאפשרת לנו לייחס אורכים וביטויים אלגבריים לעצמים גיאומטריים חד ממדיים, למשל אם אני רוצה לתאר את הקטע הזה שמשורטט פה בצבע כתום, אני אתאר אותו על ידי קבוצת ערכי ה-X המקיימים ש-X גדול או שווה מ-0 ובו זמנית גם קטן או שווה מ-2. אם אני ארצה להתייחס למשלים של הקטע הזה, לקבוצה הכחולה, אז אני יכול לתאר אותה כקבוצת ערכי ה-X, כך ש-X קטן מאפס או X גדול מ-2. במקרה זה את נקודות הקצה ייחסתי לקטע הכתום. עד כאן העולם החד מימדי. אילו עולמנו היה צר כעולמה של נמלה והיינו נעים על פני ישר, היינו מסתפקים בזה. אבל אנחנו צריכים לנווט למשל ומפות הן דו מימדיות. ולצורך ניווט היינו רוצים לייחס לכל נקודה במפה קואורדינטות, קו אורך קו רוחב, וכידוע זה נעשה באמצעות זוגות של מספרים שמתארים את ההסחה ביחס לאיזושהי נקודת ייחוס מזרח או מערב והסחה נוספת ביחס לנקודת ייחוס אחרת, קו משווה נאמר בכיוון צפון או דרום. את הרעיון לתאר נקודות במישור כמו נקודות במפה באמצעות זוגות של מספרים, קואורדינטות אורך ורוחב, או צפוניות ומזרחיות, כפי שאנחנו נוהגים לומר, מייחסים למתמטיקאי חשוב בן המאה ה-17 בשם רנה דקארט. רנה דקארט היה מתמטיקאי ופילוסוף צרפתי. תרומותיו לפילוסופיה אפילו חשובות יותר מתרומותיו למתמטיקה. מיוחסת לו האמירה ״אני חושב, משמע אני קיים״. והרעיון של דקארט היה כדלקמן, בואו נדמיין שהלוח הינו המישור הגיאומטרי שבו אנו רוצים להכניס קואורדינטות. נעשה כפי שעשינו קודם וננהיג ציר אחד שישורטט אופקית ונכניס בנוסף גם ציר אנכי לו בזווית של 90 מעלות. נקבע סקאלה, נכייל את הצירים. נסמן את הנקודה הזו הנקראת ראשית ב-0, את נקודת הייחוס שלנו ב-1, ומרגע שעשינו את זה כמקודם, נשרטט את השלמים וכן את שאר המספרים על הציר האופקי ובדומה לזה גם בציר האנכי נשתמש באותה סקאלה. המרחק הזה יהיה שווה למרחק הזה. לציר האופקי נקרא ציר ה-X ולציר האנכי, ציר ה-Y. מרגע שהכנסנו את שני הצירים הללו בהכנסתן הייתה בחירה מסוימת, הן של נקודת הייחוס, הן של כיווני הצירים והן של הסקאלות, אבל מרגע שהכנסנו את את אותן צירים אנחנו יכולים לייחס זוג של מספרים לכל נקודה במישור. למשל, אם ניקח את הנקודה הזאת, הכחולה. נוריד ממנה אנך אל ציר ה-X ואנך אחר אופקי במקרה זה לציר ה-Y. האנך של ציר ה-X פוגש את ציר ה-X במספר 2, האנך של ציר ה-Y פוגש את ציר ה-Y במספר 1, ולנקודה הזו אנחנו מייחסים לא מספר אחד אלא זוג סדור של מספרים, הראשון בהם הינו 2 והשני הינו 1. את הנקודה נסמן למשל באות P. את הנקודה הזו, הכתומה, שנסמן באות Q, לנקודה הזו Q, בדומה, אפשר לייחס, או נייחס את זוג המספרים מינוס 3 למינוס 2. ונשתמש בצבע שלישי, צהוב. מה יהיה זוג המספרים שיתאים לנקודה הצהובה R? במקרה זה, ההטלה על ציר ה-X מובילה אותנו לערך 0 מפני שהנקודה נמצאת על ציר ה-Y והטלה על ציר ה-Y מובילה אותנו ל-2 וחצי. 2.5. ולהפך, לכל זוג מספרים אנחנו יכולים להתאים נקודה אם יש לנו זוג המספרים 1.5 מינוס 0.7, אנחנו נלך אל ציר ה-X עד לנקודה 1.5. נתסכל בישר שמתאים ל-X שווה 1.5. אותו דבר נעשה כאן, מינוס 0.7 נמצא כאן בנקודה הנידונה, היא הנקודה הזו. 1.5 מינוס 0.7. כפי שהערנו לגבי ציר המספרים, גם במישור הכנסת קואורדינטות והייחוס של זוגות של מספרים לנקודות במישור פועלים בשני כיוונים. מצד אחד, הם מאפשרים לגיאומטריה לעבוד בשירות האלגברה. ואת זה אנחנו נראה בהרחבה בפרק על פונקציות. בפרק על פונקציות אנחנו נדבר על תלויות אלגבריות בין שני משתנים, שתיקרנה פונקציות, והתיאור הגיאומטרי שנתתי עכשיו יאפשר לנו לדבר על מושג מאוד חשוב והוא גרף של פונקציה. אני מניח שהדברים האלה לא חדשים לרובכם, אבל בשלב זה אנחנו רוצים לראות דווקא את האלגברה בשירות הגיאומטריה. אנחנו רוצים לראות כיצד מרגע שהכנסנו ציר X וציר Y למישור, אנחנו יכולים לבטא בעזרת אלגברה צורות גיאומטריות. המישור שהוכנסו בו קואורדינטות X ו-Y, ציר X וציר Y, קרוי על שמו של דקארט, המישור הקרטזי. הדבר הראשון שאני רוצה לעמוד עליו הוא שמרגע שהכנסנו קואורדינטות במישור, אנחנו יכולים לתאר קבוצות חלקיות של המישור בעזרת נוסחאות אלגבריות, למשל אם אנחנו נסתכל על קבוצת הנקודות: דלתא XY, כך ש-X שווה ל-Y, קבוצת הנקודות שייצוגן האלגברי הוא על ידי X ו-Y ששווים זה לזה. קבוצת הנקודות מהצורה XX כאשר X הינו מספר ממשי. אנחנו יכולים להתחיל לשרטט אותם, נקודה 1-1, 2-2 3-3, מינוס 1 מינוס 1, 0-0. ואנחנו מהר מאוד משתכנעים שמדובר באלכסון בזווית 45 מעלות לצירים. אילו היינו רוצים להסתכל בקבוצה שבה Y קטן או שווה מ-X, קבוצה יותר גדולה. קבוצה A הכוללת את האלכסון, אבל היא כוללת לא רק את הנקודות בהן Y שווה ל-X, אלא גם את הנקודות שבהן Y קטן או שווה ל-X. עבור כל ערך של X נתון, למשל עבור הערך 2 אנחנו צריכים להסתכל על כל אותם ערכי Y הקטנים מ-X, כלומר שנמצאים מתחת לאלכסון, ואנחנו מקבלים את כל השטח המקווקו. ואם היינו רוצים לדבר על משולש, יכולנו לדבר על הקבוצה B, אלה הן נקודות XY, כך ש-Y קטן או שווה מ-X, Y גדול או שווה ממינוס 2 ו-X קטן או שווה מ-3. בואו ננסה לראות מה מתקבל כאן. X צריך להיות קטן או שווה מ-3, כלומר ה-X צריך להיות בצד הזה. זה אומר, הנקודה צריכה להיות שמאלה לקו הכתום. מצד שני ה-Y צריך להיות גדול או שווה ממינוס 2 ואנחנו נשארים עדיין עם התנאי ש-Y קטן או שווה מ-X. מתקבל משולש כזה. תיארתי אותו לגמרי באמצעים אלגבריים. בואו נחזור אל המישור הקרטזי, נשרטט עוד עותק שלו ונדון בשאלה מאוד עקרונית, היא השאלה של המרחק בין שתי נקודות. הנה המישור הקרטזי. אני לא משרטט שוב את הסקאלות. ואני רוצה לשרטט שתי נקודות שנקרא להן P ו-Q. קואורדינטות של הנקודה P תסומנה בתור X0 ו-Y0. זהו X0, זהו Y0. אני חושב על נקודה P כעל נקודה קבועה, למשל X0 יכול להיות 1, ו-Y0 יכול 2. והנקודה Q, נקודה אחרת שהקואורדינטות שלה הן X ו-Y. אחת השאלות הבסיסיות ביותר היא לבטא באמצעות מערכת הקואורדינטות שהכנסנו את המרחק בין P ל-Q. הרבה פעמים לצרכים גיאומטריים ולצרכים פרקטיים אנחנו צריכים לדעת דרך לחשב את המרחק הזה. ומה שבא לעזרתנו כאן הוא מיודענו, משפט פיתגורס. אם אנחנו נבנה את משולש ישר הזווית שהיתר שלו הוא הקו הישר המחבר את P ו-Q והניצבים שלו הם ישרים מקבילים לצירים העוברים דרך P ו-Q, בואו נסמן את הזווית הישרה ב-R. אנחנו שמים לב שהניצבים שלו A ו-B, נתונים על ידי הפרשי הקואורדינטות. A שווה X פחות X0. וB שווה Y פחות Y0. בואו נרשום את זה. הישר הזווית אשר מופיע שם, A נתון על ידי X פחות X0 ו-B על ידי Y פחות Y0. למען האמת, בשרטוט שלי Y היה גדול מ-Y0 ו-X היה גדול מ-X0, ועל כן הגדלים האלו היו גדלים חיוביים, אבל באותה מידה X היה יכול להיות משמאל ל-X0 ו-Y היה יכול להיות מתחת ל-Y0 ואז הגדלים הללו היו יוצאים גדלים שליליים, ועל כן האורך הוא הערך המוחלט ולא המספר הזה עצמו. מה אומר לנו משפט פיתגורס? משפט פיתגורס אומר לנו שאורך היתר בריבוע שווה לסכום ריבועי הניצבים. אבל אורך היתר הינו המרחק בין P ו-Q בו אנו מתעניינים. ומכאן נקבל ש-C בריבוע שווה X פחות X0 בריבוע ועוד Y פחות Y0 בריבוע. כאשר אני מעלה בריבוע אני יכול להשמיט את ההתייחסות לערך המוחלט, מפני שבין אם המספר היה חיובי או שלישי, הריבוע שלו הינו אותו ריבוע. ו-C יוצא אם כך השורש הריבועי של X פחות X0 בריבוע ועוד Y פחות Y0 בריבוע. הנוסחה המאוד חשובה הזאת מאפשרת לנו לתאר את האורך או המרחק יותר נכון, האורך של היתר, המרחק בין P ו-Y0, X0 ל-Q ו-X-Y, נתון על ידי הנוסחה הזו. בואו נשתמש בתובנה שרכשנו זה עתה על מנת לתאר את קבוצת כל הנקודות שמרחקה מ-P נתון. למשל מהו התיאור האלגברי של מעגל ברדיוס 5 סביב הנקודה P שווה 1-2. הנקודה P היא הנקודה הזו. אנחנו מתעניינים בכל הנקודות שמרחקן ממנה סילחו לי על השרטוט הלא מוצלח, הוא 5. אבל נקודה כזו Q נמצאת על המעגל ברדיוס 5 סביב הנקודה P ו-1-2, אם ורק אם מרחקה מ-P הוא 5. ולפי מה שראינו הקואורדינטות XY של Q צריכות לקיים את המשוואה ש-5 שווה X פחות 1 בריבוע ועוד Y פחות 2 בריבוע שורש או אם נעלה בריבוע 25 שווה X פחות 1 בריבוע ועוד Y פחות 2 בריבוע. הצלחנו אם כך לייצג קבוצה של נקודות על פני המעגל בעזרת נוסחה אלגברית. כפי שאמרנו, האלגברה באה לשירות הגיאומטריה. ננסח את זה אולי כמשפט. מסקנה בעצם ממשפט פיתגורס, מה שעשינו עם רדיוס 5 במרכז 1-2 אפשר לעשות, עם כל מספרים כלשהם. משפט שהסקנו אותו בעצם ממשפט פיתגורס. הייצוג האלגברי במישור הקרטזי של מעגל ברדיוס R, R גדול, שמרכזו P נתון על ידי X0, Y0, הוא כקבוצת הנקודות X-Y המקיימות את המשוואה R בריבוע שווה X פחות X0 בריבוע ועוד Y פחות Y0 בריבוע. דוגמה חשובה למשפט זה, או דוגמה חשובה אשר נשתמש בה בהמשך, היא מעגל היחידה סביב הראשית. מעגל שרדיוסו 1 והמרכז שלו הוא בראשית הצירים. הנקודה P זזה עכשיו מנקודה כללית X0, Y0 להיות הנקודה 0-0. והמשוואה של מעגל זה הינה 1 או 1 בריבוע שווה X בריבוע ועוד Y בריבוע. תודה.
