בואו נצביע על כמה דברים דומים וכמה הבדלים בין מספרים מרוכבים לבין מספרים ממשיים. להזכירכם הכנסנו את עולם המספרים המרוכבים על מנת למצוא פתרון למשוואה x בריבוע ועוד 1 שווה ל-0. ואכן המספר I הוא זה אשר פותר את המשוואה הזו. למעשה הביטוי שלי הוא לא מדויק. זה לא רק שהוא פותר את המשוואה הזו, אלא הנגדי שלו גם הוא פותר את אותה משוואה. כי הרי מינוס 1 בריבוע ועוד 1 שווה למה? מינוס I בריבוע זה מינוס 1 בריבוע כפול I בריבוע ועוד 1. במילים אחרות זה I בריבוע ועוד 1 ואכן זה אפס. במילים אחרות, עבור המשוואה הריבועית הזו יש לנו שני פתרונות כפי שהיינו מצפים במקרה של משוואה בעולם הממשי. אילו היתה לנו משוואה מהצורה x בריבוע מינוס 4 שווה ל-0. את המשוואה הזו היינו יכולים להציג בזו הלשון x בריבוע מינוס 2 בריבוע שווה ל-0. אבל אם אנחנו זוכרים איך אפשר לבטא הפרש של ריבועים נוכל לכתוב את הביטוי הזה כ-x מינוס 2 כפול x ועוד 2. מה נותנת לנו ההצגה הזו? הרי מכפלה של שני מספרים שווה ל-0 אם רק אם אחד מהמספרים שווה ל-0. אבל x מינוס 2 שווה ל-0 אם x שווה ל-2 ו-x ועוד 2 שווה ל-0 אם x שווה למינוס 2. אז הכתיב הזה אומר לנו שבפועל יש לנו רק שני פתרונות. x שווה ל-2, x שווה למינוס 2 והם, הם כל כל הפתרונות של המשוואה הריבועית הזאת. בואו נראה שבעולם המרוכב יש לנו תופעה דומה. נניח שבמקום המשוואה x בריבוע ועוד 1 שווה ל-0 היה לנו משהו בסגנון x בריבוע ועוד 4 שווה ל-0. האם אנחנו יכולים לבטא את המשוואה הזו בצורה אנלוגית למה שמופיע כאן באגף שמאל? האם אנחנו יכולים לתת צורה למשוואה הזו כהפרש של ריבועים? ואומנם אנחנו יכולים לכתוב או לשכתב את המשוואה הזו בזו הלשון: x בריבוע מינוס I כפול 2 בריבוע בואו נחשוב לרגע, I כפול 2 או פעמיים I בריבוע זה יהיה I בריבוע כפול 2 בריבוע ה-2 בריבוע נותן לנו את הריבוע, את ה-4 שיש לנו. וה-I בריבוע נותן לנו את המינוס 1 שיחד עם הסימן הזה מינוס נותן לנו את הפלוס שמופיע כאן. על כן המשוואה הזו בעולם המרוכב לובשת את הצורה x בריבוע מינוס. פעמיים I בריבוע שווה ל-0. ובצורה אנלוגית לפירוק לגורמים אנחנו נוכל לכתוב את הפרש הריבועים הזה בזו הלשון: זה יהיה x מינוס פעמיים I כפול x ועוד פעמיים I. מה הכתיב הזה נותן לנו? שוב המכפלה של שני ביטויים שווה ל-0 רק כאשר אחד משני הביטויים שווה ל-0. במילים אחרות נקבל ש-x חייב להיות שווה לפעמיים I או x חייב להיות שווה לנגדי של פעמיים I. וההליך שהדוגמה הזו נותנת הוא אוניברסאלי במובן הבא שאם יש לנו איזשהו מספר ממשי שהוא מספר גדול מ-0 נוכל לפתור את המשוואה x בריבוע ועוד a שווה ל-0 x בריבוע ועוד דלתא זו האות היוונית דלתא, שווה ל-0. נוכל למצוא פתרון, למעשה נוכל למצוא שני פתרונות בשביל משוואה כזו בעולם המרוכב. ואכן איך נפעל? נפעל בצורה אנלוגית. דלתא הוא מספר חיובי. לכן נוכל למצוא בעולם הממשי קיים מספר ממשי כך שהריבוע שלו הוא המספר דלתא. זה מה שאנחנו מכנים השורש הריבועי החיובי של דלתא. נצמיד לו את המספר I. ואם נקח את הריבוע של הביטוי הזה הריבוע של הביטוי הזה אינו אלא מינוס דלתא. לכן אם נקדים כאן ונכתוב את הסימן מינוס, המשוואה הזו לובשת ביקום המרוכב את הצורה הזאת. ושוב נוכל לפרק לגורמים ולהציג את הפרש הריבועים כ-x מינוס I פעמים השורש של דלתא, כפול x ועוד I פעמים השורש של דלתא. ונטען כמו שטענו כרגע, המכפלה שווה ל-0 רק במקרה שאחד מהגורמים שווה ל-0. במילים אחרות x צריך להיות שווה ל-I פעמים השורש הריבועי של דלתא או x שווה לנגדי של I פעמים השורש הריבועי של דלתא. אם נרצה לכתוב את שתי המשוואות האלה באמצעות ביטוי אחד ויחיד אז נכתוב ש-x יכול להיות פלוס או מינוס I פעמים השורש הריבועי של דלתא. בואו נראה שביקום המרוכב אנחנו יכולים לפתור הרבה יותר משוואות ממה שציפינו מראש. בואו ניזכר במשוואה ריבועית מהצורה ax בריבוע ועוד bx ועוד c שווה ל-0 כאשר a, b, c הם שלושה מספרים ממשיים נתונים מראש יחד עם ההנחה ש-a הוא במפורש מספר שונה מאפס. אני מניח שאתם זוכרים שיש לנו נוסחה אשר מאפשרת לנו לכתוב בצורה מפורשת מהם הפתרונות של המשוואה הזו. ה-x יכול להיות הנגדי של b פלוס או מינוס השורש הריבועי של b בריבוע מינוס 4 פעמים a כפול c כל זה מחולק בפעמיים a. כאן אנחנו עושים שימוש בהנחה ש-a שונה מ-0 אז אנחנו יכולים לחלק ב-a. אבל שימו לב נזכור שעל מנת שהביטוי הזה יהיה בעל משמעות בהקשר בעולם הממשי בבואנו להוציא שורש ריבועי של מספר אני מדגיש, בבואנו להוציא שורש של מספר ממשי מה שצריך להיות בתוך השורש הוא בעצמו חייב להיות מספר לא שלילי. נהוג לכנות את המספר הזה באמצעות האות דלתא. דלתא הוא b בריבוע מינוס 4 פעמים ac אז בעולם הממשי נוכל להוציא את השורש הריבועי רק תחת ההנחה שהדלתא, דלתא מלשון דיסקרימיננטה הדלתא הזו היא דלתא חיובית. לא רק זה, אם אנחנו כבר כאן נזכיר לעצמנו אם אנחנו נכנה את כל אחד מהשורשים בשני שמות שונים אם r1 הוא שורש שמתקבל כאשר אנחנו משתמשים בסימן פלוס ו-r2 הוא כאשר נשתמש בסימן מינוס וזה במקרה שהדיסקרימיננטה היא ממש גדולה מ-0 לכן השורש הריבועי הוא שונה מ-0. יהיו לנו שני שורשים שונים. אז הביטוי הזה, a פעמים x בריבוע ועוד b פעמים x ועוד c, נוכל לכתוב אותו כ-a פעמים x מינוס אחד מהשורשים מוכפל ב-x מינוס השורש השני. התנאי שהביטוי הריבועי הזה יהיה שווה ל-0 לובש את הצורה הזו אשר מפורשות צועק במרכאות כפולות שה-x חייב להיות או r1 או ה-x חייב להיות r2. והם הם כל השורשים של המשוואה הריבועית. במקרה מיוחד שדלתא שווה ל-0 אין כאן אבחנה בין פלוס או מינוס שורש של 0 לכן יהיה לנו רק שורש 1 ואם נכנה אותו בשם r, אז במקרה זה הביטוי a פעמים x בריבוע ועוד b פעמים x ועוד c, לובש את הצורה: a פעמים x מינוס r, כל זה בריבוע. ושוב, אם הביטוי הזה חייב להיות שווה ל-0, זה אומר שהמכפלה כאן חייבת להיות 0. בגלל העובדה ש-a שונה מ-0 זה מכתיב ש-x מינוס r בריבוע יהיה שווה ל-0 לכן x מינוס r חייב להיות 0, או במילים אחרות x חייב להיות שווה ל-r. בשני המקרים האלה האפשריים, קרי, שאמנם יש לנו פתרונות ממשיים למשוואה הזו, אנחנו שמים שיש לנו שני פתרונות. במקרה שהדיסקרימיננטה גדולה מ-0 ממש, יש שני פתרונות שונים זה מזה. במקרה שהדיסקרימיננטה שווה ל-0 יש לנו שני פתרונות שווים או כמו שאנחנו הרבה פעמים מבטאים: פתרון כפול. אבל שימו לב שאם נזכור מה שאמרנו לפני דקות ספורות, הפעולה של הוצאת שורש ריבועי של מספר ממשי בעולם המרוכב אפשרית ללא כל אבחנה האם מה שבתוך השורש הוא חיובי או שלילי. אז להפתעתנו מתבררת העובדה הבאה, שלמעשה אם עכשיו נתייחס למשוואה הזו, אבל נאפשר לעצמנו לחפש פתרונות למשוואה הזו ביקום המרוכב, יתברר שלכל משוואה כזו יש פתרון. ולא רק שלכל משוואה כזו יש פתרון, אלא שיש שני פתרונות. או שני פתרונות שונים זה ממש או פתרון אחד כפול. בואו נמחיש את זה עם הדוגמה x בריבוע ועוד x ועוד 1 שווה ל-0. במקרה שלנו הן a הן b והן c, שלושת הערכים האלה שווים ל-1. מה אומרת לנו הנוסחה המפורסמת אודות לפתרונות האפשריים של משוואה כזו? x חייב להיות הנגדי של b, קרי, מינוס 1, פלוס או מינוס השורש הריבועי של b בריבוע, במילים אחרות, 1 בריבוע מינוס 4 פעמים a כפול c. 1 כפול 1 כל זה מחולק בפעמיים n. במילים אחרות, מינוס 1 פלוס מינוס שורש ריבועי של מינוס 3 חלקי 2. כמובן שהביטוי הזה, שורש ריבועי של מינוס 3, הוא חסר משמעות ביקום הממשי. אבל לא ביקום המדומה, ביקום המרוכב. הרי שורש של מינוס 3 אמור להיות מספר כך שהריבוע שלו יהיה בדיוק מינוס 3. או במילים אחרות, אנחנו מחפשים פתרון למשוואה z בריבוע ועוד 3 חייב להיות שווה ל-0. אבל בלבוש אחר, כאשר דיברנו בשפת ה-x ולא בשפת ה-z, הצגנו איך אנחנו יכולים לפתור את המשוואה הזו. מהו הרי הרעיון? להציג את ה-3 הזה כריבוע של משהו. פעלנו בצורה כזו: לקחנו את השורש הריבועי של 3, הצמדנו לו את המספר i ולקחנו את הביטוי הזה בריבוע. לפניו כתבנו את הסימן מינוס ושכתבנו את המשוואה הזו בזו הצורה: z בריבוע מינוס הריבוע של i פעמים שורש ריבועי של 3 כל זה שווה ל-0. ואמנם הריבוע של i פעמים שורש של 3, כפי שאז ציינו, זה שורש של 3 בריבוע זה 3, i בריבוע זה מינוס 1 מינוס, מינוס 3 ייתן לנו z בריבוע ועוד 3. אבל כפי שפעלנו לפני דקות ספורות נוכל להציג את הפרש הריבועים כ-z מינוס i פעמים שורש של 3 מוכפל ב-z ועוד i פעמים שורש של 3. או במילים אחרות ה-z יהיה פלוס או מינוס i פעמים שורש של 3. לכן הפתרון שאנחנו מחפשים למשוואה הריבועית הזו היא מהצורה מינוס 1 פלוס או מינוס i פעמים שורש של 3, כל זה חלקי 2. אם נכתוב את שני הפתרונות בצורה מפורשת, פתרון 1 או שורש 1 של המשוואה ומהצורה מינוס חצי פלוס שורש של 3 חלקי 2 כפול i, זה החלק הממשי וזה החלק המדומה של השורש הראשון. והשורש השני הוא מינוס חצי. הפעם נשתמש בסימן מינוס. שורש של 3 חלקי 2 פעמים i. שני המספרים האלה הם מספרים מרוכבים. ונשים לב לשתי עובדות. כפי שציפינו למשוואה ריבועית עם דיסקרימיננטה שונה מ-0 יש לנו שני פתרונות שונים והבה ניתן את הדעת שבמובן מסוים שני הפתרונות האלה הם לא כל כך שונים. אם אתם זוכרים, הצגנו שיש קשר הדוק בין שני מספרים מרוכבים כאשר החלק הממשי הינו אותו חלק, אותו מספר, אבל רק נבדלים בסימן של החלק המדומה. שני המספרים האלה נקראים צמודים זה לזה. אז שימו לב. מתברר שביקום שיש פתרון למשוואה x בריבוע ועוד 1 שווה ל-0 ובמילים אחרות יש מספר שהריבוע שלו שווה למינוס 1, מתברר שביקום כזה יש פתרון למשוואה ריבועית כלשהי כאשר שלושת המקדמים האלה הם מספרים ממשיים. אבל הסיפור הוא עוד יותר מרתק. מתברר שאנחנו יכולים לחשוב על המשוואה הזו במובן יותר רחב. לא רק לאפשר לעצמנו לחפש פתרונות שהם ממשיים, אלא למה לא לאפשר לעצמנו שגם המקדמים, סליחה, לחפש פתרונות שהם יוכלו להיות גם ממשיים וגם מרוכבים, אבל גם שהמקדמים A, B או C יהיו גם הם מספרים מרוכבים. מתברר שמשוואה כזו היא מקרה פרטי של משפחה של משוואות שאנו מכנים אותן: משוואות פולינומיאליות. מזו משוואה פולינומיאלית? מופיעות חזקות מהצורה X בחזקת X ,N בחזרת N מינוס 1 וכולי... מספרים N, N מינוס 1, מספרים טבעיים או אפס. אנחנו מצמידים להם מקדמים. ואנחנו שואלים את עצמנו האם יש פתרון למשוואה זו? הבא נדייק, מה אנחנו רוצים להגיד, האם יש פתרון למשוואה כזו? באיזה הקשר, היינו יכולים לבקש לחפש פתרונות למשוואה, כאשר המקדמים למשל הם מספרים ממשיים ולשאול האם ה-X הנעלם יכול להיות מספר ממשי? למדנו שמן הראוי לשאול את עצמנו מה קורה כאשר המשתנה יכול להיות מספר מרוכב אבל מה קורה אם באופן כללי ביותר אנחנו נשאל האם יש פתרונות למשוואה כזו, כאשר גם המשתנה וגם המקדמים הם מספרים מרוכבים? ופה יש תופעה מרתקת. מתברר שלכל משוואה כזו יש פתרונות בעולם המרוכב. לא רק שיש פתרונות, יש בדיוק את אותה כמות של פתרונות שהיינו מצפים. אם עסקנו במשוואה מסדר ראשון היינו מצפים לפתרון אחד. אם במשוואה ריבועית, לשני פתרונות. אם מדובר על משוואה מסדר N יהיו ביקום המרוכב N פתרונות. המשפט הזה ידוע במתמטיקה כמשפט היסודי של האלגברה. נפלאות הן דרכי המתמטיקה. מתברר שיש תופעה גם כן מעניינת ביותר הרי טבעי לשאול: אם ידוע שיש פתרונות למשוואה כזו האם יש איזשהי נוסחה שתוכל לתת לנו מפורשות, כמו במקרה הריבועי את הפתרונות האפשריים? ופה מתבררת התמונה הבאה, אילו היינו עוסקים במשוואה מסדר ראשון או מסדר שני או מסדר שלישי או מסדר רביעי אז ידוע לנו מהי צורתה של נוסחה שנותנת את הפתרונות. אני אדייק בפרט מסוים. כדי לפתור משוואה ריבועית אנחנו משתמשים באיזשהו שלב בהוצאה של שורש ריבועי. אילו המשוואה היתה מסדר שלישי טבעי הדבר שנעשה שימוש בהוצאת שורש שלישי של מספר. ידוע לנו שאילו אנחנו עוסקים במשוואה פולינומיאלית כזו מסדר N מסדר 5 ומעלה על אף העובדה שאנחנו יודעים שקיימים פתרונות אין נוסחה מפורשת שעושה שימוש בהוצאה של שורשים למינהן כדי לכתוב את הפתרונות. אבל לא רק שאין ואין בזה הצהרה של בורותנו. אלא להפך זו תרומתו של מתמטיקאי צעיר אמיץ ביותר בשם אבריסט גלואה. מתמטיקאי צרפתי שחי בתחילת, בשליש הראשון של המאה ה-19 אשר הוריש לנו את התובנה וההוכחה של משפט אשר גורסת כי על אף העובדה שאנחנו יודעים על קיומם של פתרונות למשוואה ריבועית פולינומיאלית, אם אנחנו עוסקים במשוואה מסדר חמש ומעלה לא תתכן נוסחה שמסתמכת רק על הליכים הכרוכים בפעולות של סכום או כפל או הוצאות של שורשים למיניהם. סיפור מרתק שמעבר גם אתוס גם פאתוס, גלואה היה איש בחור למעשה, מעורב פוליטית מעורב בסיפורי אהבה. ועל הסיפור הזה, בעיקר על חלקו המתמטי תוכלו לשמוע אצלנו בשנת הלימודים השנייה שלכם.
