בואו ניתן כמה שימושים. שימוש ראשון, נרשום לפנינו את הריבוע של הביטוי הבא: קוסינוס של t ועוד i פעמים סינוס של t. זה ריבוע של מספר מרוכב שמיוצג באמצעות ההצגה הסטנדרטית החלק הממשי ועוד i פעמים החלק המדומה. אז אם נשתמש בנוסחת המכפלה של מספר מרוכב בעצמו נוכל להציג את זה בצורה כזו: מה יהיה החלק הממשי? החלק הממשי נתון על ידי מה? הריבוע של הקוסינוס הריבוע של i פעמים הסינוס הרי זה i בריבוע כפול סינוס בריבוע, במילים אחרות מינוס מינוס סינוס בריבוע של t, זה יהיה החלק הממשי ועוד פעמיים הראשון כפול השני, כלומר ועוד i פעמים, פעמיים קוסינוס של t כפול סינוס של t. אבל בואו נחשוב על הביטוי הזה תוך שימוש בנוסחת דה מואבר. מה שמופיע כאן זה מכפלה של מספר מרוכב בעצמו למעשה מספר בעל אורך אחד. אז כשאני לוקח את הריבוע קרי אני לוקח את המספר ומכפיל אותו עם עצמו אני אקבל מספר שמידת הזווית תהיה מה? הסכום של שתי הזוויות. אבל אם זה הריבוע של אותו מספר אז מה שאני אקבל זה פעמיים את המידה של המספר המקורי. במילים אחרות מה שנוסחת דה מואבר נותנת היא העובדה שהמספר הזה חייב להיות מה? קוסינוס של פעמיים t ועוד i פעמים סינוס של פעמיים t. ועכשיו יש לנו הצגה של אותו מספר מרוכב בשתי צורות שונות. זה רק יכול להיות אם החלק הממשי בשתי ההצגות שווה. ודבר דומה לגבי החלק המדומה. במילים אחרות מה שנקבל זה חלק מהנוסחאות הידועות. אולי יותר מפתיעה היא העובדה שקוסינוס של פעמיים t שווה לקוסינוס בריבוע של t מינוס סינוס בריבוע של t. ולגבי החלק המדומה נקבל נוסחה אולי היא יותר ידועה שסינוס שלפעמיים t מתלכד עם מה? פעמיים סינוס t קוסינוס t או קוסינוס של t כפול הסינוס של t. שימו לב בצורה דומה היינו יכולים לפעול לגבי החזקה השלישית, החזקה הרביעית יש לנו כאן אוצר כדי לגלות קשרים בין קוסינוס וסינוס של כפולות שלמות של זווית ולבטא אותן באמצעות סכום של מכפלות, של חזקות של קוסינוס וסינוס של הזווית. בואו נציג שימוש שני. בואו נתבונן על שני המספרים קוסינוס של פאי חלקי 4 ועוד i פעמים סינוס של פאי חלק 4. וקוסינוס של פאי חלקי 6 ועוד i פעמים סינוס של פאי חלקי 6. נכנה את הראשון בשם z, נכנה את השני בשם w. ובגלל שמדובר על מכרים ותיקים בואו נשרטט את האינפורציה הזו על מעגל היחידה. הרי זה המספר שמתאים לפאי חלקי 4 יחידות על מעגל היחידה. פה יושב לו ה-z איפה יושב לו ה-w? הוא מתאים למידה פאי חלקי 6. לכן אם נחצה כאן פה זה חצי, לכן גם פה זה חצי. פה יהיה שורש של 3 חלקי 2. וזו הנקודה שמתאימה לפאי חלקי 6 יחידות על מעגל היחידה. נזכיר לעצמנו גם כן את הקואורדינטות הקרטזיות של z שורש 2 חלקי 2 שורש 2 חלקי 2. אם נשתמש בקואורדינטות הקרטזיות אז את z כמובן נוכל להציג כשורש 2 חלקי 2 ועוד i פעמים שורש 2 חלקי 2. בצורה דומה נוכל להציג את w כשורש של 3 חלקי 2 ועוד i פעמים חצי פעמיים. בואו נכתוב את ה-i באותו צד. אז מי יהיה z כפול w? אם נחשוב מפרספקטיבה של ההצגה הפולארית הרי יש לנו כאן שני מספרים מיוצגים באמצעות שתי זוויות, אז המכפלה או ליתר דיוק הזווית של המכפלה תהיה הסכום של הזוויות. מה הסכום של פאי חלק 4 ועוד פאי חלקי 6? פאי חלקי 4 ועוד פאי חלקי 6 אם נחשוב במונחים של יחידות חלקי 12 פה זה שלוש פעמים פאי חלקי 12 ועוד פה פעמיים פאי חלקי 12 אז זה סך הכל 5 פעמים פאי חלקי 12. אז גיאומטרית איפה הוא ישב? אם זה פאי חלקי 6 נחלק אותו ב-2, זה יהיה פאי חלקי 12. איפה נצייר את הנקודה על הלוח? זו תהיה הנקודה שמתאימה ל-z כפול w. נשאל את עצמנו מהן הקואורדינטות הקרטזיות של הנקודה הזו. כמובן אם הנקודה הזו מתאימה ל-5 פאי חלקי 12. ההצגה הפולארית תהיה קוסינוס של 5 פאי חלקי 12 ועוד i פעמים סינוס של 5 פאי חלקי 12. אבל אם נרצה להסתכל או לדעת מהן הקואורדינטות הקרטזיות. מה שנוכל לעשות זה להשתמש בהצגה הקרטזית באמצעות החלק הממשי והחלק המדומה של שני המספרים האלה. ולחשב את המכפלה כפי שאנחנו רגילים לעשות. בואו נעשה את זה כאן ישירות. איך נחשב את המכפלה של שני המספרים האלה? החלק הממשי יהיה נתון על ידי מה? שורש 2 חלקי 2 כפול שורש של 3 חלקי 2 זה יהיה שורש של 6 חלקי 4. ומה עוד? המכפלה של שני החלקים המדומים שורש 2 חלקי 2 מוכפל בחצי זה שורש 2 חלקי 4 אבל i בריבוע זה מינוס 1, אז נקבל מינוס שורש 2 חלקי 4. זה החלק הממשי של z כפול w. ומהו החלק המדומה? החלק המדומה כמובן יתקבל כאשר אנחנו נכפיל ממשי במדומה, מדומה בממשי, שורש 2 חלקי 2 כפול חצי, במילים אחרות, שורש 2 חלקי 4 ועוד שורש 2 חלקי 2 כפול שורש של 3 חלקי 2 קרי, שורש של 6 חלקי 4. ומה הועילו חכמים? שעכשיו אנחנו נוכל לדעת בדיוק מהו הקוסינוס של 5 פאי חלקי 2 של 5 פאי חלקי 12, ומהו הסינוס של 5 פאי חלקי 12, שוב נוסחת דה מואבר מספק לנו מידע נוסף על קוסינוס וסינוס של זויות בהסתמך על מה שידענו על זוויות אחרות. בואו נציג שימוש שלישי. נמצא את כל המספרים המרוכבים, אשר החזקה השלישית שלהם שווה ל-1. ובואו ניגש למלאכה הזו באמצעות הכלים שנובעים מההצגה הפולרית. אז שימו לב. אם נחשוב על המספר הזה z בהצגה פולרית, ניתן יהיה לכתוב אותו כאיזה שהוא r כפול קוסינוס של תטא ועוד i פעמים סינוס של תטא. אז מה תהיה החזקה השלישית שלו? כמובן זה יהיה r בשלישית כפול מה? קוסינוס של תטא ועוד i סינוס פעמים של תטא, כל זה בחזקת 3. קוסינוס של תטא ועוד i פעמים סינוס של תטא בחזקת 3. אבל בואו נחשוב על החזקה השלישית הזו מבחינה גאומטרית. מה כוונת המשורר? הרי הנקודה הזו, מייצגת מה? נקודה על מעגל היחידה. כשאני לוקח את החזקה השלישית, במילים אחרות, אני מכפיל את המספר בעצמו 3 פעמים, נוסחת דה מואבר מה היא מלמדת אותנו? כל פעם שאני מכפיל במספר עליי להוסיף זווית בהתאם לזווית הנתונה. אז אם אני לוקח גורם אחד, הוא נותן לי מידה של תטא, לוקח את הגורם השני עליי להוסיף עוד מידה של תטא, אני לוקח את החזקה השלישית, עליי לקחת אם כך 3 פעמים החזקה 3 פעמים הזווית תטא. במילים אחרות, אינו אלא קוסינוס של מה? 3 פעמים תטא ועוד i פעמים סינוס של 3 פעמים תטא. ואת כל זה עליי להכפיל ב- r בשלישית. זה אמנם z בשלישית. מצד שני זה אמור להיות שווה ל-1. אם נבטא את 1 בהצגה פולרית אז כמובן מה שנקבל, זו ההצגה הבאה. כמובן האורך, הערך המוחלט של 1 הוא 1 ואני אכפיל אותו במה? בקוסינוס. מהי הזווית או זווית שמתאימה ל-1? קוסינוס של 0 ועוד i פעמים סינוס של 0. המספרים החיוביים, מידת הזווית המתאימה בין 0 ל-2 פאי היא בדיוק זווית 0. אם כך, יהיה שוויון בין הביטויים האלה. על המקום נוכל לקבל את השוויון הבא: r בשלישית חייב להיות שווה ל -1. רגע של התבוננות. r בשלישית שווה ל-1? z בשלישית שווה ל-1, אבל z הוא אובייקט איפה? הוא חי בעולם המספרים המרוכבים. מה לגבי r? ל- r כאן יש תפקיד של מספר ממשי. מדובר על מספר ממשי, ולא רק מספר ממשי, הוא חייב להיות מה? גדול או שווה 0. אז בפועל, יש לנו מספר ממשי אחד ויחיד אשר מקיים את המשוואה הזו. זה r שווה ל-1 בעצמו. אז מה שנותר לנו זה השוויון בין קוסינוס של 3 פעמים תטא ועוד i פעמים סינוס של 3 תטא, עם קוסינוס 0 ועוד i סינוס של 0. זה מקום שעלינו להיות זהירים. האם נוכל להסיק ש-3 פעמים תטא שווה ל-0? טוב לא בדיוק. אם אתם זוכרים, אמרנו שאפשר להשתמש בהצגה טריגונומטרית אחרת בשביל אותו מספר בתנאי שנמיר את הזווית שאנחנו משתמשים בה בהוספה של כפולה שלמה של שני פאי. על כן מה שיתקיים היא העובדה הבאה. 3 פעמים תטא חייב להתלכד עם מה? עם 0 ועוד כפולה שלמה של שני פאי. או במילים אחרות, תטא יכולה להיות מה? אם נחלק ל -3 בשני הצדדים, k פעמים כפולה שלמה של שני פאי חלקי 3. מהן האלטרנטיבות השונות? כמובן אם k שווה ל-0, נקבל שתטא תהיה שווה ל-0. אם k שווה ל-1, נקבל שתטא תקבל את הערך, 2 פאי חלקי 3. אם k שווה ל-2 נקבל שתטא תקבל את הערך 4 פאי חלקי 3. אם k שווה ל-3, נקבל שפאי תקבל את הערך של 2 פאי. טוב. התמזל מזלנו ואנחנו חוזרים למעשה לערכים שהיו קודם. במילים אחרות, נוכל להסתפק בשלושת האלטרנטיבות, k שווה ל-0, k שווה ל-1, k שווה ל-2, כדי למצות את שלושת האפשרויות הודות למידה של זווית מתאימה כדי לתאר נקודה כך שהחזקה השלישית שלה שווה ל-1. אם כך, מה יהיו האפשרויות? אפשרות אחת היא כאשר תטא שווה ל-0 יהיה לנו קוסינוס של -0 ועוד i פעמים סינוס של 0, קוסינוס של 0 שווה ל-1, סינוס של 0 שווה ל-0, נקבל כאן 1 כפול ה-r שחייב להיות 1, אז נקבל את השורש הממשי הידוע לנו מראש. אבל הנה ההפתעה. בעולם המרוכב, יש לנו עוד שני שורשים. אם נציב במקום תטא 2 פאי חלקי 3 בואו נשרטט את שני הפתרונות, שני פאי חלקי 3. קודם כל איפה יושב פאי חלקי 3? אם פה זה חצי, אז המידה הזו מתאימה לפאי חלקי 3. אז כמובן אם פה זה מינוס חצי משיקולי סימטריה, זו הנקודה שמתאימה ל תטא שווה ל-2 פאי חלקי 3. אז כאשר z שווה ל-1, יש לנו את השורש הממשי. כאשר תטא שווה לפאי חלקי 3 יש לנו את השורש, z שווה ל- בהצגה קרטזית, זה מינוס חצי ועוד שורש של 3 חלקי 2 כפול i ואיפה יושב לו הפתרון השני? זה 4 פעמים פאי חלקי 3 או פעמיים. פעמיים פאי חלקי 3 זו המידה, תטא, שמתאימה ל-4 פאי חלקי 3. מהן הקואורדינטות? מינוס חצי ופה זה מינוס שורש של שלוש חלקי שתיים במילים אחרות, השורש השלישי יהיה, Z שווה למה? מינוס חצי, מינוס שורש של שלוש חלקי שתיים, כל זה כפול i. אז קודם כל נתבונן ביופי של הציור ונהרהר על התופעה. יש לנו כאן משוואה למעשה משוואה פולינומיאלית מסדר שלישי, ובאופן ראשוני, היינו מצפים שיהיו לה שלושה שורשים ואמנם ביקום המרוכב יש לנו את שלושת השורשים האלה. אם נזכור לרגע את המיומנות האלגברית שלנו אם נציג את המשוואה בזו הלשון Z בשלישית מינוס 1, נוכל לכתוב אותו כ-Z מינוס 1, כפול Z בריבוע ועוד Z ועוד 1. אם השומע לא זוכר את הזהות, יוכל להכפיל ולוודא בעצמו שאכן Z בשלישית מינוס 1, ניתן להצגה כמכפלה כזו. אז כמובן, אם יש פה ביטוי שהוא שווה ל-0 משמעות הדבר הזה שעלינו לקבל כאן 0. אבל יש לנו פה מכפלה של שני ביטויים שהם שווים ל-0. לכן אחד מהגורמים, לפחות, חייב להיות שווה ל-0. במילים אחרות Z מינוס 1 צריך להיות שווה ל-0, כלומר Z שווה ל 1. או Z בריבוע ועוד Z ועוד 1 צריך להיות שווה ל-0. וראו נא, זה בדיוק המקום איפה שאנחנו יכולים להבדיל או לשים לב בהבדל בין המשוואה הזו, אילו היינו חושבים עליה ביקום הממשי בלבד לבין המשוואה, כשאנחנו חושבים עליה ביקום המרוכב. הרי במשוואה הזו כבר טיפלנו, אמנם בלבוש של X. X בריבוע ועוד X ועוד 1 שווה ל-0 היא משוואה שחסרת פתרונות בעולם הממשי. ולכן באמת יש לנו פתרון ממשי אחד למשוואה. אבל, כאן האושר של העולם המרוכב. יש לנו למשוואה Z בשלישית שווה ל-1 שלושה פתרונות שונים. לא רק זה ישימו לב, תשימו לב ששלושת הפתרונות האלה יושבים על מעגל היחידה וממקומים בצורה יפיפייה. ראשית, נעיר את העובדה ששני המספרים האלה, בהיותם סימטרים ביחס לציר הממשי, הם אחד הצמוד של השני. וזו תופעה שתחזור על עצמה כשיש לנו משוואה פולינומיאלית עם מקדמים ממשיים, היה ונמצא פתרונות של אותה משוואה ביקום המדומה ונמצא פתרונות מרוכבים, הפתרונות האלה יבואו בזוגות. המספר והצמוד שלו. לא רק זה שימו לב, הסימטריה של הציור, הרי שלושת הפתרונות האלה הם בתפקיד של קודקודים של משולש שווה צלעות ואנחנו יכולים אפילו לראות את הדינמיקה שבציור. הרי, האחד מתקבל מהשני על ידי מה? הוספה, סיבוב, בכיוון החיובי של 2 פאי יחידות חלקי 3. בואו נסיים את ההצגה הפולארית בהכנסה של סימון מקובל. את הביטוי קוסינוס של תטא ועוד i פעמים סינוס של תטא נהוג להציג אותו באמצעות הביטוי הבא: E בחזקת i פעמים תטא. התלמיד המשכיל ישים לב להופעתו של המספר E. המספר E על שמו של מתמטיקאי שוויצרי בשם אוילר. מתמטיקאי ממוצא שוויצרי אחד מהמתמטיקאים הפורים ביותר וכמובן מי שמכיר את הפונקציות האקספוננציאליות, יוכל לשאול האם אנחנו זכאים להשיל את הכתיב הזה. אבל בואו נשתמש בו ונראה מה ההגיון הפנימי של השימוש בו. אז, נקח את מה שמופיע כאן כסיכום, או הגדרה, או זיהות בין שני ביטויים. אם שניהם מוכרים, אז כזהות, ואם לא הביטוי הזה נתון, וזה ביטוי שמייצג אותו. מהי הצורה שלובשת נוסחת דה-מואבר בהקשר זה? כמובן, אם אנחנו נקח את קוסינוס של תטא 1 ועוד i פעמים סינוס של תטא 2, כל זה מוכפל בסינוס של תטא 2. קוסינוס של תטא 1 ועוד i פעמים סינוס של תטא 1. מוכפל בקוסינוס של תטא 2 ועוד i פעמים סינוס של אותו תטא 2. נוסחת דה-מואבר אומרת לנו שזה צריך להיות, שווה למה? לקוסינוס של סכום הזוויות ועוד i פעמים הסינוס של הסכום של הזוויות. אם נאמץ את הכתיב שכרגע הצעתי, מה שמופיע כאן יהיה על תקן של E בחזקת i תטא 1, מוכפל ב-E בחזקת i תטא 2. ואם נאמין לביטוי, אילו באמת היינו עוסקים בביטויים אקספוננציאלים E בחזקת משהו כפול E בחזקת משהו אחר היה אמור להיות E בחזקת סכום המעריכים כלומר, i פעמים תטא 1 ועוד תטא 2 וזה בדיוק מה שהיינו מקבלים, אילו היינו מתרגמים את ההצגה הזו משמאל לימין. הכתיב הזה הוא מאוד נוח ובפרט, הוא מאפשר לנו להציג למשל את הנוסחא הבאה. מה זה הקוסינוס של תטא ועוד i פעמים סינוס של תטא, כל זה בחזקת n? בכתיב תוך שימוש במשוואה הזו, זה אמור להיות E בחזקת i תטא, בחזקת n. אבל מה אומרת לנו נוסחת דה-מואבר? נוסחת דה-מואבר אומרת לנו שאם אני לוקח את המספר הזה ומכפיל אותו בעצמו n פעמים מה שאני אקבל זה מספר מרוכב כך שהזווית שלו תהיה n פעמים הזווית המקורית. במילים אחרות, לפי נוסחת דה-מואבר, החזקה ה-n-ית הזו, תתן לנו את המספר המרוכב. קוסינוס של n פעמים תטא ועוד i פעמים סינוס של n פעמים תטא. וכמובן זה צריך להתלכד אם כך, עם איזה ביטוי? הרי באותו כתיב, מה שמופיע כאן, זה E בחזקת in פעמים תטא. על כן, הרבה פעמים נהוג להציג את נוסחת דה-מואבר בזו הלשון. E בחזקת i פעמים תטא בחזקת n, כל זה שווה ל E בחזקת i פעמים n פעמים תטא נוסחה עשירה ביותר, עמדנו עליה בשביל n מספר טבעי לא יתקשה השומע לראות ולשים לב שאכן הנוסחה הזו היא תקפה גם כן כאשר במקום n נוכל להציב מספר שלם כל שהוא. בואו נחזור להצגה הזו ונציב לפנינו, מה אומרת הנוסחה במקרה מאוד מיוחד כאשר במקום תטא נכתוב פאי. E בחזקת i פעמים פאי צריך להיות, שווה למה? קוסינוס של פאי ועוד i פעמים סינוס של פאי. מהו הקוסינוס של פאי? מינוס 1. מהו הסינוס של פאי? 0. במילים אחרות, מה שכתוב לפנינו זה E בחזקת i פאי, שווה למינוס 1. נציג משוואה כזו בצורה טיפ טיפה שונה, כדי לתת מקום לעוד אחד מהמספרים המפורסמים ביותר. E בחזקת i פאי ועוד 1 שווה ל-0. בואו נתבונן לרגע על הנוסחה הזו. E i, פאי, 1, 0, אולי המספרים החשובים ביותר, מעורבים בנוסחה פשוטה אחת. יש מי שרואה בנוסחה הזו, אולי הנוסחה היפה יותר במתמטיקה ואין לנו דרך יותר נאותה מלסיים את ההצגה הזו תוך התבוננות אמנם ביופיה.
