לקראת סיום בואו נשתמש או נבקר בעולם של המספרים המרוכבים כדי להמחיש מצב מאוד סימפטי. בואו נתבונן במשוואה z בחזקת n שווה ל -1. שורשי היחידה, n הוא מספר טבעי, ואני שואל את עצמי מהם כל המספרים המרוכבים שהחזקת ה- n שלהם שווה ל-1? אז כמובן אם n שווה ל-1 z בחזקת 1 שווה ל-1 יש לנו רק מועמד אחד ויחיד. אם n שווה ל-2, z בריבוע שווה ל-1. ובכן, אנחנו יודעים שיש לנו רק שני מועמדים ואפילו מבחינה אלגברית אנחנו יכולים להגיד מיהם השורשים, כי הרי המשוואה הזו שקולה למשוואה z בריבוע מינוס 1 שווה ל-0 אבל z בריבוע מינוס 1 אפשר לחשוב על זה כ- z מינוס 1 כפול z ועוד 1 ואם המכפלה שווה ל-0, זה אומר ש z שווה ל-1 או z ועוד 1 שווה ל-0, במילים אחרות z שווה למינוס 1. אז במקרה זה יש לנו שני שורשים. אם אנחנו לוקחים את המשוואה z בשלישית שווה ל-1, ובכן, בוודאי שמועמד אחד טבעי זה z שווה ל-1, אבל ראינו באחד מהשיעורים הקודמים, למעשה בשני מקרים, שאם נציג את הביטוי z בשלישית שווה ל-1 כ-z בשלישית מינוס 1 שווה ל-0, אנחנו יכולים לפעול אלגברית בצורה אנלוגית ולהציג את הביטוי z בשלישית מינוס 1 כ- z מינוס 1 מוכפל ב z בריבוע ועוד z ועוד 1. אם הביטוי הזה שווה ל-0, אז המכפלה הזו חייבת להיות שווה ל-0. גם פה נקבל, מכפלה של שני ביטויים שווה ל-0, זה אומר שאחד משני הגורמים חייב להתאפס. אם הגורם הראשון מתאפס, אז נקבל את ה 1 ו אם z בריבוע ועוד z ועוד 1, זה צריך להיות שווה ל-0, אז אני אזכיר לכם שראינו מהם הפתרונות של המשוואה הריבועית הזו. z במקרה הזה יכול להיות מינוס חצי ועוד שורש של 3 חלקי 2 פעמים i או מינוס שורש של 3 חלקי 2 ועוד i. אבל האמת היא שפגשנו את הביטוי הזה או את שני המועמדים האלה כשניסחנו את הבעיה z בשלישית שווה ל-1 תוך שימוש בהצגה הטריגונומטרית. בואו נזכיר לעצמנו, מה משמעות הדבר. אם אני מחפש את הפתרונות של המשוואה z בשלישית שווה ל-1. אם אני משתמש בהצגה של z כ- r כפול e בחזקת i פעמים t כאשר t היא זוית, אז תוך שימוש בנוסחת דה מואבר, z בשלישית חייבת להיות z r כפול e בחזקת it, e בחזקת i פעמים t בשלישית, זה r בשלישית כפול e בחזקת it הכל בשלישית. אבל נוסחת דה מואבר לימדה אותנו שהביטוי הזה שווה ל- e בחזקת i t כפול 3. אם אנחנו רוצים שהביטוי הזה ישתווה ל-1, אז נשתמש בהצגה של 1 גם באמצעות הצגה טריגונומטרית. אז ה-1 יהיה 1, זה הרדיוס שלו, הערך המוחלט שלו, כפול e בחזקת i, מהי הזוית שמתאימה ל-1? על מעגל היחידה, האחד יושב לו על ציר הממשי יחידה אחת מרוחק מהראשית. אז כמובן אנחנו יכולים ליחס לו את הזוית 0, אבל זו לו הזוית היחידה או זו לו המידה היחידה של זוית שמתאימה ל-1, הרי אם נוסיף ל-0 הזה כפולה שלמה של שני פאי כל שהיא, נקבל הצגה אחרת אמנם אבל של אותו מספר 1. אם z בשלישית חייב להיות שווה ל-1, z בשלישית שווה ל-1 גורר נוכל להסיק שוויון בין שתי ההצגות הטריגונומטריות. יש רק דרך אחת אפשרית, שהרדיוס של z בשלישית מתלכד עם הרדיוס שמתאים ל-1. רגע, זו משוואה מאוד דומה למשוואה הזו, אבל נזכור, מדובר על r שהוא מספר ממשי ולא רק מספר ממשי אלא מספר שחייב להיות גדול או שווה 0. במקרה הזה אין לנו אלטרנטיבה, אלא r חייב להיות שווה ל-1. ומה עוד אנחנו נקבל? שצריך להיות שוויון או התאמה בין הזויות. זה אומר ש i כפול 3 פעמים t חייב להיות שווה ל- i כפול 0 ועוד k פעמים שני פאי. במילים אחרות, 3 פעמים t חייב להיות שווה ל- 0 ועוד k כפול 2 פאי. מכאן נוכל להסיק ש-t שווה למה? k כפול 2 פאי חלקי 3. נזכיר לעצמנו ש-k הוא מספר שלם. אז אם ניקח k שווה ל-0, אז נקבל כמובן ש -t שווה ל-0. אם k שווה ל-1, נקבל ש- t יכול להיות 2 פאי. 2 פאי חלקי 3. אם k שווה ל-2, אז t יהיה פעמים 2 פאי חלקי שלוש, קרי, 4 פאי חלקי 3. מה קורה אם אני בוחר k שווה ל-3? האמת היא שאני חוזר לאלטרניטיבה שכבר הייתה לי. איך כל זה נראה מבחינה גאומטרית? אז בואו נשרטט לעצמנו את מעגל היחידה. הנקודה שמציגה את המספר 1 יושבת שם. איפה יושבות הנקודות על מעגל היחידה שמתאימות לזוויות 2 פאי חלקי 2 פאי חלקי 3 ו-4 פאי חלקי 3? האמת היא שזה מתלכד עם הבניה שעשינו. ניקח כאן מינוס חצי, נטפס למעלה, נטפס למטה ונקבל כאן את שורש של 3 חלקי 2, כאן את מינוס שורש של 3 חלקי 2 ושתי הנקודות האלה, יחד עם הנקודה הזו, הן הן, כפי שהזכרנו אז, מהוות את שלושת השורשים של המשוואה הזו. סיפרנו אז, שאנחנו יכולים לשרטט או לחשוב על שלושת הנקודות האלה כנקודות שיושבות על משולש. אפשר לחשוב על המשולש הזה או להתבונן על המשולש הזה ולהבחין ש למעשה מדובר על מדובר על משולש שווה צלעות. לא רק שהוא משולש שווה צלעות, אלא מבחינתנו הזווית שמתאימה לקשת הזו, מכאן עד לכאן יש בדיוק 2 פאי חלקי 3 רדיאנים. מכאן יש תוספת של אותה מידה, עוד 2 פאי רדיאנים קרי, 4 פאי חלקי 3, ואם נוסיף עוד שני פאי חלקי 3, נחזור ל-1. בואו נצייר גם כן את המקרה הקודם, זה המקרה n שווה ל-3. אם היינו לוקחים את המקרה n שווה ל-2, היינו מקבלים את הנקודה הזו והמינוס 1 שיושב לו כאן. מה קורה אם נפעל בצורה אנלוגית במקרה n שווה ל-4? אם אנחנו עכשיו נשאל את עצמנו, בואו נחפש את כל הפתרונות של המשוואה z בחזקת 4 שווה ל-1. שימו לב, בואו נממש את שתי המטלות שעשינו. מצד אחד, אמנם אנחנו יכולים להתבונן או לגשת למשוואה הזו בצורה אלגברית לגמרי. הרי המשוואה הזו שקולה למשוואה z בחזקת 4 מינוס 1 שווה ל-0. אפשר להתבונן על הביטוי הזה, נחשוב לרגע, בזו הלשון: אפשר לחשוב על זה כ- z בריבוע בריבוע, מינוס 1 בריבוע, לחשוב על הביטוי הזה כהפרש של ריבועים, לכן נקבל, לפי הנוסחה שמוכרת לנו, ש-z צריך להיות z בריבוע מינוס 1 כפול z בריבוע ועוד1. אם כל זה חייב להיות שווה ל-0, אז שוב כל אחד מהגורמים, או אחד מהם על כל פנים חייב להיות שווה ל-0. את הגורם הראשון הרי אנחנו יודעים להציג כמכפלה של z מינוס 1 כפול z ועוד 1. מה לגבי הגורם השני? גם אנחנו כאן ביקום המרוכב יכולים להציג את הסכום דווקא כהפרש של ריבועים. הרי זה z בריבוע מינוס מי? i בריבוע. ואם נפעיל את אותה נוסחה, איך לבטא את הפרש הריבועים כמכפלה של שני גורמים לינאריים, את ההפרש הזה, אפשר לכתוב אותו כ- z ועוד i כפול z מינוס i. אם המכפלה חייבת להיות שווה ל-0, זה אומר שאחד מהגורמים לפחות חייב להתאפס, ואז נקבל את ארבעת המועמדים או ארבעת הפתרונות למשוואה הזו. או ש z שווה ל-1 או ש-z שווה למינוס 1, או ש z שווה ל-i z שווה למינוס i או ש-z שווה ל -i. איך או איפה אנחנו יכולים לראות את הביטויים האלה על מעגל היחידה? z שווה ל-1 יושב לו כאן. z שווה ל-i יושב לו כאן. z שווה למינוס 1 יושב לו במקום הזה. ו-z שווה למינוס i יושב כאן. אם בשביל n שווה ל-2 קיבלנו שתי נקודות וקטע או צלע שמחברת ביניהם, אם בשביל n שווה ל-3 קיבלנו 3 נקודות ויצרנו משולש שווה צלעות אשר מחבר ביניהם, במקרה הזה כאשר n שווה ל-4 נקבל משהו דומה, או על כל פנים אנלוגי, אלא שהפעם מה שנקבל, זה שניתן לחבר את ארבעת הנקודות האלה, בצורה כזו שהן מהוות מה? הקדקודים של הריבוע. בואו ניתן את הדעת על כך שהיינו יכולים לגשת לאותה מלאכה אילו ניסחנו את הבעיה לא בצורה אלגברית, אלא תוך שימוש בהצגה הטריגונומטרית. אם במקום z בשלישית שווה ל-1 היינו מבקשים למצוא את כל המספרים המרוכבים אשר מקיימים z בחזקת 4 שווה ל-1, היינו יכולים להשתמש ממש באותו הליך, אלא שבמקום שפה כתוב 3 אנחנו רוצים שפה יהיה כתוב 4. במקום ה-3 הזה אנחנו רוצים שפה יהיה כתוב 4. בהמשך הדרך יהיה משהו מאוד אנלוגי, עדיין ה- r חייב להיות שווה ל-1. אלא שהפעם לא 3 פעמים t, אלא 4 פעמים t חייב להיות שווה ל-k פעמים 2 פאי, או במילים אחרות, המועמדים האפשריים הם מהצורה כפולות שלמות של שני פאי חלקי 4 הן מהצורה או אם אתם רוצים כפולות שלמות של חצי פאי. אז כמובן אם k שווה ל-0 נקבל את המועמד t שווה ל-0. זווית 0 מתאימה לשורש הזה. אם k שווה ל-1, אז יש לנו t שווה לפאי חלקי 2 כמובן זו הנקודה הזו אשר מייצגת את המספר i. ובצורה אנלוגית אם k שווה ל-2, נקבל ש- t שווה ל- פעמיים פאי חלקי 2 במילים אחרות פאי. מידה פאי מתאימה למספר מינוס 1 ובסוף אם k שווה ל-3, הזווית המתאימה היא שלושה פאי חלקי 2, ונקבל את הנקודה הזו שמתאימה למינוס i. מה היה קורה אילו היינו ניגשים למלאכה טיפ טיפה לכאורה אולי קצת יותר קשה והיינו שואלים את עצמנו האם אנחנו יכולים לאתר את כל הפתרונות של המשוואה z בחזקת 6 שווה ל-1? אז אולי ניגש הפעם דווקא מהזוית הטריגונומטרית. אז אם אני שואל את עצמי מהם אוסף כל הפתרונות של המשוואה z בחזקת 6 שווה ל-1. ניסוח מאוד דומה עם תיקוני מספרים קלים, פה יהיה 6, פה יהיה 6, פה יהיה 6. פה יהיה 6, פה יהיה 6, שפע של שישיות. זה יוביל אותנו לכך ששוב הערך המוחלט חייב להיות שווה ל-1, אלא שהפעם 6 פעמים t, שזו הזווית, או מידת הזווית המתאימה או האפשרית לפתרון, הפעם חייב להיות כפולה שלמה של 2 פאי. במילים אחרות t יכול להיות כפולות שלמות של 2 פאי חלקי 6. אז בואו ניגש ישירות למלאכת מיקום הנקודות המתאימות על מעגל היחידה. כאשר k שווה ל-0 יש לנו את המועמד הטבעי זווית 0 את ה-1 שמלווה אותנו בנאמנות כפתרון של כל המשוואות שהיו לנו. מה קורה אם אני לוקח k שווה ל-1? אז יש לי פעם אחת 2 פאי חלקי 6, או במילים אחרות פאי חלקי 3. אנחנו יודעים למקם בדיוק את הזווית שמתאימה, את הנקודה שמתאימה למידה פאי חלקי 7, פאי חלקי 3. כמו שכאן לקחנו חצי, כאן לקחנו מינוס חצי פה זה מתאים בדיוק לחצי. אנחנו עולים, הנקודה הזו היא הנקודה השנייה בירוק שמתאימה למידה פאי חלקי שלוש. אם נוסיף עוד פאי חלקי שלוש יחידות נגיע לנקודה הזו. את הנקודה הזו גם פגשנו אותה בצבע אחר. אם נוסיף עוד פאי חלקי שלוש יחידות, נגיע לנקודה הזו. ואני מקווה שאתם כבר רואים את הציור המקסים. בסופו של דבר מה שאנחנו נקבל זה שש נקודות על מעגל היחידה אשר מסתדרות בצורה של משושה משוכלל. וחלק מהסיפור המקסים הזה, על השילוב בין משוואות לבין נקודות על מעגל היחידה הוא שלכל משוואה מהצורה z בחזקת n שווה ל -1 אנחנו יכולים לייחס מצולע משוכלל, אם אין צלעות כאשר אחד מהקודקודים נשען בדיוק על הנקודה 1. אנחנו יכולים לפרש אפילו דינמית איך אנחנו מייצרים את הנקודות האלה הרי כמו שראינו במקרה, n שווה ל-2, n שווה ל-3, n שווה ל-4 ו-n שווה ל -6. תמיד הפתרונות של משוואה כזו יהיו על מעגל היחידה במובן שהרדיוס שמייצג אותם תמיד חייב להיות שווה ל -1. אז יהיו נקודות מהצורה e בחזקת it אבל ה-t יהיה כזה, בואו נחשוב לרגע. אם אתם זוכרים שהמשמעות של הכפלה של מספר מרוכב במספר מרוכב אחר אם יש לי מספר מרוכב שמכפיל מספר מרוכב אחר, אני חושב על w כ יציב, קבוע. אם ההצגה הטריגונומטרית, איזה שהוא רדיוס כפול e בחזקת i תטא בבואו z להכפיל את w, גם הוא יש לו הצגה טריגונומטרית, אולי פה נכתוב פסיק, r כפול e בחזקת it המכפלה הזו כרוכה בהכפלת שני הרדיוסים והזוית שנקבל היא e בחזקת i, זו התטא שהיתה לנו מראש, שעכשיו אנחנו מוסיפים לה בדיוק את גודל של ה זוית או המידה שמשמשת כדי לייצג את z. אז תראו, אם נסתכל על ה פתרונות האפשריים של המשוואה הזו, אנחנו יכולים לחשוב עליהם בצורה כזו. הרי המספר הזה, אני יכול לחשוב עליו כאותו מספר שמכפיל את 1. 1 בהצגה טריגונומטרית הוא e בחזקת i פעמים הזוית 0 למשל, ואז אם אני מכפיל את המספר הזה במספר הזה, אני מוסיף מידה t. אם אני אכפיל בריבוע, אני אוסיף פעמיים t. אם אני אכפיל בחזקה שלישית, אני אוסיף שלוש פעמים t. אז אנחנו יכולים לראות, נמחיש את זה בחזקות ה מסדר שש, שאני מייצר את ה מצולע המשוכלל הזה בצורה כזו: אני לוקח את כל השורשים, z בחזקת n שווה ל- 1, אז אני מוסיף קודם כל מה? שני פאי חלקי n, עד שאני מגיע לשורש הראשון. מוסיף עוד פעם שני פאי חלקי n ועוד פעם שני פאי חלקי n וכך אני ממשיך. בגלל העובדה שאני כל הזמן מוסיף בדיוק את אותה מידה של זוית, בצורה כזו נפרוס או נייצר את המצולע המשוכלל. ומתי נחזור הביתה נגיע בחזרה לנקודה 1? כאשר נממש n צעדים מישהו היה יכול לשאול את עצמו למה לא ציירתי את המקרה n שווה ל-5? אולי זה בגלל שאני שכחתי איך לספור, אבל זה לא בדיוק. הדבר המעניין הוא שאת כל הציורים שציירתי אפשר לגשת אליהם או לייצר אותם בכלים או בבנייה גאומטרית פשוטה. את הריבוע הזה בוודאי שאנחנו יכולים לייצר באופן גאומטרי. את הנקודות האלה גם כן יצרנו מתוקף העובדה שאנחנו יודעים שהנקודה הזו והנקודה הזו מרחקן מהראשית או מהנקודה 1 ומינוס 1 בהתאם, יש פה חצי. אנחנו יודעים איך לחשב את החצי של הקטע. מה שמתברר זה שעל אף העובדה שלא משנה מה יהיה n תמיד אם נצייר את כל הפתרונות של המשוואה z בחזקת n שווה ל-1, מדובר על נקודות בתפקיד של קודקודים של מצולע משוכלל על מעגל היחידה, לא עבור כל n אנחנו יכולים לבנות את הנקודות האלה באמצעות הכלים הקלאסים שעומדים לרשותנו: סרגל ומחוגה. המקרה n שווה ל-5, ניתן לעשות את זה, אז זה לא מוצדק לגמרי שאני דילגתי כי הייתי יכול להמחיש. אולי נראה את זה בתרגיל, אבל יש מקרים שאנחנו יודעים שיש משפט שגורס, למשל בשביל n שווה ל-7, שזה בלתי אפשרי לבנות את הנקודות האלה על מעגל היחידה בכלים של, או תוך שימוש בסרגל ומחוגה. אפשר היה לשאול כבר עכשיו שאלות אחרי שיצרנו את הקשר בין משוואות לבין נקודות על מעגל היחידה שבאות מההתבוננות על הגאומטריה של הציור שלה. למשל, הריבוע הוא נראה סימטרי ודמוקרטי, אולי גם המשושה, אבל המשולש הצהוב שנשען על שלושת שורשי היחידה מסדר 3, הקודקוד נמצא כאן, אבל הצלע ממול נמצאת כאן. האם יש איזה שהוא הקשר שאנחנו נוכל למשל לקבל משולש שהוא סימטרי למשולש הצהוב? בואו נחשוב לרגע מה היה יכול להיות, בואו נחשוב על משוואה אחרת. מה קורה אם אני שואל את עצמי מהם כל הפתרונות של המשוואה הזו: z בחזקת 3 שווה ל- מינוס 1, אבל הפעם ניגש למלאכה דווקא מהפרספקטיבה הטריגונומטרית, נחשוב בצורה גאומטרית. מה אנחנו שואלים את עצמנו? שוב לא תתקשו להראות שאם אני חושב על z בהצגה טריגונומטרית, הרדיוס יהיה חייב להיות שווה ל-1. הסיבה היא שבאמת בהצגה טריגונומטרית מינוס 1 הרדיוס שלו הערך המוחלט הוא גם כן 1. אז מדובר על מספרים מרוכבים על מעגל היחידה שהחזקה השלישית, במילים אחרות מספרים עם הצגה E בחזקת I שלוש פעמים T מתאים למה? מהי הצגה של המספר מינוס 1 כמספר מרוכב באמצעות הצגתו הטריגונומטרית? זה האחד, זה הרדיוס שכרגע הזכרתי, כפול E בחזקת I. מהי מידה של זווית שיכולה לשמש אותנו כדי לייצג את המספר מינוס 1? המספר מינוס 1 מיוצג למשל על ידי הזווית פאי. אבל כמובן אנחנו יכולים להוסיף לה כפולות שלמות שרירותיות של שני פאי. במילים אחרות המספר הזה חייב להיות שווה ל-E בחזקת מה שרשמתי שם למעלה I כפול פאי ועוד כפולות שלמות של שני פאי. נחשוב על מספר כזה, על מועמד כזה בצורה כזו, מדובר על נקודה על מעגל היחידה נתבונן על המידה של הקשת שמשמשת כדי להציג אותו ובשלושה צעדים שווי אורך הוא חייב להגיע לנקודה מינוס 1. אז אם אני מתחיל אמנם באמת מהנקודה הזו שהמידה היא בדיוק פאי חלקי 3, אם אני מוסיף פעם אחת פאי חלקי שלוש משם אני מתחיל, פעם נוספת. פעם שלישית אני מגיע למינוס 1 אז גאומטרית ברור לנו שהמועמד הראשון שאנחנו יכולים לקבל, זו הנקודה שיושבת כאן. אנחנו יודעים בדיוק מהן הקואורדינטות שלו, חצי כמו שפה היה מינוס חצי, אם פה היה שורש של 3 חלקי 2 גם כן שורש של 3 חלקי 2. איפה תהיינה הנקודות האחרות? נמשיך בעקבות הסרט אם התחלנו מהנקודה הזאת הוספנו פעם אחת פאי חלקי 3 פעמיים פאי חלקי 3, שלוש פעמים פאי חלקי 3 נחתנו על נקודה זו גם כן חייבת לקיים את המשוואה Z בשלישית שווה למינוס 1, אבל בוודאי שמינוס 1 בחזקת 3 שווה למינוס 1, אנחנו מצפים שיהיו שלושה שורשים. איפה יהיה השורש השלישי? טוב אנחנו לא נופתע אם נמשיך, נוסיף עוד פעם פאי חלקי 3 ועוד פעם נוספת פאי חלקי 3 וננחת בנקודה הזו. במילים אחרות הפעם הפתרונות של המשוואה Z בחזקת 3 שווה למינוס 1 יושבות על המשולש, גם הוא שווה צלעות שהוא סימטרי לחלוטין ביחס לציר המדומה של המשולש הצהוב שקודקודיו הם המספרים או הפתרונות של המשוואה Z בחזקת 3 שווה ל1. וזה כמובן מעורר המון חשיבה. למשל, האם זה נכון שכל נקודה על מעגל היחידה יכולה לשאת תפקיד כזה? במילים אחרות האם זה נכון שכל נקודה היא פותרת משוואה מהצורה Z בחזקת N שווה ל1? או אולי Z בחזקת N שווה למינוס 1. למשל, מה היה קורה אם יש לנו איזשהי נקודה על מעגל היחידה אבל שהמידה שלה היא נתונה על ידי אורך אי רציונלי? אם המידה היא אורך אי רציונלי ככל שאנחנו נוסיף כפולות שלמות, אני מדגיש כפולות שלמות של המידה הזו, המספר האי רציונאלי רק במקרה שניקח את הכפולה 0, אם נוסיף בכל זאת כפולות שלמות אף פעם לא נוכל להגיע למספר שלם. זה אומר שלא משנה כמה צעדים אנחנו נעשה אנחנו אף פעם ננחת על הנקודה 1. השילוב הזה בין האלגברה, המשוואות והגיאומטריה היא חתונה נפלאה שהיא מעוררת המון תהיות וכפי שנאמר בכל מני הקשרים זה לא סוף הסיפור אלא אולי רק תחילתו.
