אז בואו נראה איפה אנחנו עומדים נזכיר לעצמנו שהתחלנו עם הגדרה של הפוקנציה האקספונצילית בבסיס 2 כאשר לכל מספר טבעי הקצנו מספר ממשי ו-2 בחזקת N היה למעשה מה שמוכר לנו כמכפלה של 2 בעצמו N פעמים. למשל, 2 בחזקת 4 זה פשוט 2, כמובן, כפול 2 כפול 2 כפול 2 2 כפול 2, 4, כפול 2, 8, כפול 2 16. הרחבנו אחר כך את ההגדרה של הפונקציה כאשר בתחום ההגדרה היינו יכולים לקחת מספר שלם כלשהו. למשל, 0, 2 בחזקת 0 ראינו שכדאי לנו להגדיר אותו כערך 1. ומזה למשל 2 בחזקת מינוס, הנגדי של N כאשר N הוא בעצמו מספר טבעי. אז ראינו שרצוי שנאמץ את ההגדרה זה 1 חלקי 2 בחזקת N ההופכי הכופלי של 2 בחזקת N למשל מינוס 4 יהיה 1 חלקי 2 בחזקת 4. במילים אחרות 1 חלקי 16. אחר כך ראינו מה צריכה להיות הפרוצדורה כדי להרחיב את ההגדרה לעולם המספרים הרציונלים. אז למשל, 2 בחזקת 1 חלקי N ראינו שרצוי שנגדיר אותו כשורש ה-N של 2. אז למשל 2 בחזקת חמישית, זה יהיה השורש החמישי של 2. ובאופן כללי אם אנחנו רוצים להגדיר 2 בחזקת מנה של 2 מספרים שלמים אז כמובן ראינו שמה שאנחנו צריכים לעשות זה לחשב את החזקה ה-N ומכל זה להוציא את השורש ה-N. אז למשל, 2 בחזקת 4 חמישיות יהיה השורש החמישי של 2 בחזקת 4. וגם המחשנו שאם נרצה לחשב או להרחיב את תחום ההגדרה של הפונקציה האקספונצילית בבסיס 2 במספר ממשי כלשהו נפעיל מתוך שיקולים של רציפות אשר הדיוק של הבניה אתם תוכלו ללמוד בצורה כזו בהמשך הדרך אצלו תהיה לנו פונקציה שמקיימת את שתי המשוואות כפי כתבנו אותם בתחילת הדרך. 2 בחזקת N כפול 2 בחזקת M שווה ל-2 בחזקת N ועוד M 2 בחזקת N כפול M, כאשר הפעם או באופן כללי אנחנו נותנים ל-N ו-M להיות מספרים ממשיים כלשהם. ראינו שבצורה כזו הפונקציה האקספונצילית בבסיס 2 תחום ההגדרה שלה עובר על כל המספרים הממשיים והתמונה שלה רצה, ממצא את מלוא המספרים החיוביים. אנחנו יכולים לראות את התמונה על ציר ה-Y אם כך ראינו שניתן להגדיר את הפונקציה ההפוכה לוגריתם בבסיס 2 ונרשום לעצמנו את 2 התכונות המקבילות למשוואות הפונקציונליות האלה עבור הפונקציה הלוגריתמית 2. לוגריתם בבסיס 2 של P פעמים Q, יהיה הלוגריתם בבסיס 2 של P ועוד הלוגריתם בבסיס 2 של Q. מה הם הערכים האפשריים של P ו-Q? הרי P ו-Q יכולים או חייבים להיות בתחום ההגדרה של הפונקציה הלוגריתמית. לכן חייבים להיות מספרים חיוביים ממש. ובצורה דומה. לוגריתם בבסיס 2 של P בחזקת M זה יהיה ה-M יוצא החוצה. M פעמים הלוגריתם בבסיס 2 של P. ראינו גם שאנחנו יכולים לאמץ בסיס כלשהו כל עוד A הוא מספר חיובי שונה מ-1. אז נסתכל הפעם על הפונקציה האקספונצילית בבסיס A. במילים אחרות, נשתמש בסימון הידוע, אפילו הסימון A בחזקת X, בואו נשאל את עצמנו מהי הנגזרת של הפונקציה הזו בנקודה מסוימת. מהי הנגזרת של הפונקציה האקספונצילית בבסיס A בנקודה X אפס. אם אתם זוכרים את ההרצאות על הנושא של נגזרות ניתן להציג את הנגזרת באמצעות חישוב של הגבול הבא: גבול כאשר H הולך לאפס A בחזקת X אפס ועוד H מינוס A בחזקת X אפס כל זה חלקי H. עכשיו שימו לב אם נשתמש בתכונות המיוחדות של הפונקציה האקספונצילית בבסיס A והפונקציה הלוגריתמית בבסיס A נשים לב שאנחנו נקבל את הביטוי הבא. A בחזקת X אפס ועוד H. הרי זה A בחזקת X אפס כפול A בחזקת H. עדין אנחנו צריכים להחסיר את A בחזקת X אפס, לחלק ב-H ולחשב את הגבול כאשר H הולך לאפס. ועכשיו שימו לב שמה שאנחנו יכולים לעשות זה להוציא A בחזקת X אפס כגורם משותף של A בחזקת H מינוס 1 לחלק ב-H ועדין אנחנו צריכים לחשב את הגבול של כל הביטוי הזה כאשר H הולך לאפס. עכשיו בואו נחשוב לרגע. עלינו להתבונן בהתנהגותו של הביטוי הזה ככל ש-H נעשה יותר ויותר ויותר דומה לאפס וניתן את הדעת שעל כך למעשה A בחזקת X אפס הרי זה מספר קבוע הבסיס נתון ו-X אפס זו נקודה שבחרנו בראש בתחום ההגדרה של הפונקציה. וזה אומר שבפועל הביטוי שאכן תלוי ב-H הוא הביטוי שעכשיו אני מסמן קווי הגבול נותנים לנו אפשרות להוציא את הקבוע הזה ולרשום את החישוב הזה כ-A בחזקת X אפס כפול הגבול של A בחזקת H מינוס 1 הכל חלקי H. גבול כאשר H שואף לאפס. אז קודם כל הערה מעניינת. שימו לב מי לא מופיע כאן מי שלא מופיע כאן זה X אפס. לא משנה מה הנקודה שנבחר, מה הערך המיוחד שנבחר עבור X אפס, כל פעם נחזור על אותה הבניה, אותו חישוב וכאן נקבל את אותו גבול נניח לרגע שאכן המספר הזה קיים אז המסקנה היא מסקנה מאוד מפתיע שאם אנחנו נסתכל על מהו הערך של הנגזרת של הפונקציה האקספונצילית בנקודה X, 0 כמעט את הפונקציה עצמה מוערכת באותה נקודה מוכפלת אולי באיזשהו קבוע. במילים אחרות הפונקציה האקספונצילית לא משנה מהו הבסיס בפועל נגזרתה פרופורציונאלית לפונקציה עצמה. אנחנו נראה בהמשך שימושים רבים ואולי התכונה הזו, היא זו שהופכת את הפונקציה האיקספונצילית או את המשפחה של הפונקציות האקספונציליות למלא תפקיד מרכזי במתמטיקה ובשימושיה. בואו נעיר עוד הערה אמרנו שהחישוב הזה איננו תלוי ב-X אפס. אבל ניתן את הדעת על כך שלמעשה הביטוי הזה תלוי ב-A A שונים יתנו לנו קבועים שונים. אז בואו נאמר את הדבר הבא אם נחזור לרגע להתבוננות על הפונקציה הנגזרת במילים אחרות נחשוב על הביטוי הזה כפונקציה של X מה שמופיע שם, זה שאם נקח את הנגזרת או הפונקציה נגזרת של A בחזקת X נקבל את הפונקציה עצמה מוכפלת באיזשהו קבוע זה התרגום לרעיון שאכן הנגזרת של הפונקציה האקספונצילית בסיס A פרופורציונאלית לפונקציה עצמה. ואז נוכל לשאול את השאלה האם ניתן לבחור בסיס בהסתמך על העבודה שאכן הקבוע תלוי בבסיס האם אפשר יהיה לבחור בסיס כך שהקבוע הזה יהיה בדיוק 1. בואו נסתכל על הגרף של הפונקציה האקספונצלית בבסיס 2 נשחזר חלק מהנקודות כאשר X שווה לאפס יש לנו 1 כאשר X שווה ל-1 יש לנו 2, כאשר X שווה 2 יש לנו 4. כאשר X שווה ל-מינוס 1 יש לנו חצי כאשר X שווה למינוס 2 יש לנו רבע. למעשה כך נראה פחות או יותר הגרף של 2 בחזקת X. איך נראה הגרף של הפונקציה האקספונצילית בבסיס 4? אז קודם כל לפני נשרטט חלק ממנו על כל פנים ניתן את הדעת על כך ש-4 בחזקת X, הרי זה 2 בריבוע בחזקת X או במילים אחרות 2 בחזקת 2X. שימו לב מהו ההבדל על כל צעד שנעשה בתחום ההגדרה הפונקציה 4 בחזקת X תוכפל פי 2. למעשה הגרף יראה מאוד דומה לגרף של הפונקציה 2 בחזקת אם ניואנס קטן. כאשר X שווה לאפס אנחנו נעמוד גם כן על הגובה 1 אבל הפעם כאשר X שווה ל-1 אנחנו כבר טיפסנו לגובה 4. הגרף יהיה הרבה יותר תלול ככל שנתקדם לכיוון של הפלוס אין סוף. להבדיל בכיוון השני כאשר X שווה למינוס 1 אנחנו כבר בגובה רבע. למעשה הגרף יראה משהו כמו הציור הזה. אז שימו לב, למעשה זו המחשה של התופעה הבאה. אילו נעסוק בפונקציות אקספונציליות בבסיס A כאשר הבסיס הוא גדול מ-1 לכולן הגרף אותה צורה אבל נבדלים הגרפים בתלילותם. אם נתמקד קרוב לאפס ניתן את הדעת על כך שאולי אפשר יהיה לבחור בסיס מסוים כך שהשיפוע של הישר המשיק לגרף A בחזקת X כאשר X שווה לאפס יהיה בדיוק 1 זה בדיוק אותו מקדם פרופורציה שאני מחפש. אז נשאל באופן רטורי האם קיים בסיס אשר מקיים את התנאי שכרגע חלקו אני מחקתי? האם קיים בסיס כך שהגבול, כאשר H שואף לאפס של A בחזקת H מינוס 1 הכל חלקי H יהיה שווה ל-1 ואכן ניתן להוכיח את קיומו. הבסיס ה-1 ויחיד אשר מקיים את התנאי הזה הוא המספר E אשר ערכו הוא קרוב ל-2.718 ולמספר הזה בין היתר הסגולה הבאה. אילו נשתמש בו כבסיס לפונקציה הלוגריתמית ולפונקציה האקספונצילית הפונקציה האקספונצילית בבסיס E המכונה הפונקציה האקספונצילית, נגזרתה בדיוק הפונקציה עצמה. במילים אחרות הנגזרת של הפונקציה האקספונצילית בבסיס E היא בדיוק הפונקציה עצמה. זוהי אולי התכונה המרכזית של הפונקציה האקספונצילית. במקרה שאנחנו מאמצים את E כבסיס של הלוגריתמים הפונקציה לוגריתם בבסיס E מכונה לוגריתם טבעי ובדרך כלל נהוג לכתוב את שמה כ-LN Natural Logarithm בואו נכתוב את הביטוי הזה כאשר נשתמש ב-E בתפקידו של A הגבול של E בחזקת H מינוס 1 כל זה חלקי H כאשר H שואף לאפס חייב להיות המספר 1. במילים אחרות מה שכתוב כאן זה שבצורה לא פורמלית ש-E בחזקת H מינוס 1 חלקי H כאשר H קרוב לאפס מאוד דומה ל-1 כמובן את זה נוכל לכתוב בצורה כזו ש-E בחזרת H קרוב ל-H ועוד 1. או במילים אחרות ש-E המספר עצמו יהיה מאוד קרוב ל-1 ועוד H כל זה בחזקת 1 חלקי H ובכתיב אחר נוכל להגיד שהמספר E עצמו יהיה הגבול כאשר H שואף לאפס של 1 ועוד H כל זה בחזרת 1 חלקי H בואו נדייק במה שלא דייקנו למעשה על השומע, על המקשיב לתת את הדעת על כך שמה שעשינו כאן איננה הוכחה אלא המחשה של איזשהי אינטואיציה שמלווה אותנו, כמובן אם נאמץ את ההגדרות המדויקות אתם תוכלו ללמוד אצלנו בהמשך הדרך שאכן את כל השלבים שכתבתי כאן ניתנים אומנם להוכחה. בואו נלך גם עוד צעד מה קורה אם במקום לעבוד עם H כללי נעבוד עם מספרים חיוביים מהצורה 1 חלקי איזשהו מספר טבעי. או במילים אחרות 1 חלקי H יהיה מהצורה N כאשר N הוא מספר טבעי. בהקשר זה, מה שכתוב כאן כשיווין ילבש את הצורה הבאה במקום 1 ועוד H נכתוב 1 ועוד 1 חלקי N כל זה בחזקת M 1 חלקי H הרי זה M ועכשיו אנחנו צריכים לקחת את הגבול כאשר אם המרנו את המשתנה H במשתנה M ככל ש-H שואף לאפס אבל הוא מספר חיובי ה-N ירוץ על מספרים טבעיים לכיוון האין סוף בואו ניתן את הדעת על הביטוי האחרון ונחשוב לרגע על שתי אפשריות, או שתי שגיאות אפשריות אפשר היה לחשוב שכדי לחשב את הגבול של הביטוי הזה, אולי קודם כל נחשב את הגבול של הביטוי שבתוך הסוגריים כאשר N הולך לאין סוף 1 ועוד 1 חלקי M הגבול של הביטוי הזה ככל ש-N הולך לאין סוף הוא 1 ואז אם יש לנו 1, 1 בחזקת M כמובן תמיד שווה ל-1 אז הגבול של הביטוי הזה יהיה שווה ל-1 השיוויון הזה מזהיר אותנו שהשיקול שלנו הוא לא נכון גם שגיאה אחרת היינו יכולים ליפול בה אילו היינו חושבים לרגע שהביטוי שבתוך הסוגריים תמיד הוא גדול מ-1 ככל שניקח את הגבול של מספר גדול מ-1 בחזקת N כאשר N שואף לאין סוף אז היינו מקבלי םשהגבול היה חייב להיות שווה לאין סוף גם כאן אנחנו נגיע למסקנה לא נכונה. האמת היא שהמספר הזה מגלם את המורכבות של הגבול הזה. בואו נספר את הסיפור איפה הוא הופיע בהקשר אחר לגמרי.
