בואו נשלים את הסיפור מצידה של הפונקציה הלוגריתמית. הצגנו את הפונקציה הלוגריתמית כהפוכה של הפונקציה האקספונצילית. למעשה עבור פונקציה אסקפונצילית בבסיס 2, הציגנו את הפונקציה הלוגריתמית בבסיס 2. נציג עכשיו את הזוג המלכותי נעבוד עם הפונקציה האקספונצילית בבסיס E והפונקציה הלוגריתמית הלוגריתם הטבעי אז ראשית קודם כל נזכיר איך נראים הגרפים של הפונקציות הפונקציה האקספונצילית כאשר X=0 מקצה את הערך 1. וכאשר X=1 מקצה את הערך E כפי שאמרנו המספר E הוא סדר גודל של 2.7 אם כאן מיקומו של ה-2 אז שה מיקומו של המספר E זה אומר שהפונקציה האקספונצילית עוברת דרך הנקודה הזו והגרף שלה לובש את הצורה שציירנו אבל נדייק בעוד משהו הרי בחרנו את הפונקציה האקספונצילית, או ליתר דיוק את הבסיס המיוחס הזה אם הכוונה שהנגזרת של הפונקציה שווה לפונקציה עצמה. זה אומר שהנגזרת של הפונקציה האקספונצילית מוערכת בנקודה 0 חייב להיות בדיוק הערך של הפונקציה האקספונצילית ב-0 והרי זה 1. פירוש הדבר שהשיפוע של הישר המשיק לגרף של הפונקציה האקספונצילית ב-X שווה ל-0 הוא 1 או במילים אחרות אם נרצה לשרטט את הקו הישר המשיק לגרף של הפונקציה באפס, כך הוא יראה על כן הגרף של הפונקציה האקספונצילית יראה בצורה כזאת זה הגרף של Y שווה ל-E בחזקת X איך נראה הגרף של הפונקציה הלוגריתמית להזכירנו שיחסי הגומלין בין הגרף של פונקציה והגרף של הפונקציה ההפוכה, שהרי שני הגרפים אם נשרטט אותם בהיותם מערכת צירים, 1 הוא השיקוף של השני ביחס לאלכסון הראשי. על כן, הגרף של הפונקציה הלוגריתמית יראה בצורה כזאת אם זו נקודה על הגרף של הפונקציה האקספונצילית אז גם זו נקודה על הפונקציה האקספונצילית אם זו נקודה על הגרף של הפונקציה האקספונצילית עם קורדינטות 1, E זה אומר שפה זה 2 ופה זה 3 ופה מיקומו של E על ציר ה-X כאן כאן זה ציר ה-Y, אז הנקודה הזו שייכת לגרף של הפונקציה הלוגריתמית. על כן הפונקציה הלוגריתמית הגרף שלה יראה בצורה כזאת: Y שווה ללאנג של X. שימו לב אילו רצינו לדייק לגמרי היינו צריכים לתת גם כן את הדעת על כך שהקו הישר המשיק לגרף של הפונקציה הלוגריתמית שהקו הישר המשיק לגרף של הפונקציה הלוגריתימית כאשר X שווה ל-1 נראה כמו שציירתי ישר המשיק לגרף של הפונקציה האקספונצילית ב-X שווה לאפס. מה אנחנו יכולים להגיד על נגזרת של הפונקציה הלוגריתמית? בואו נזכור שהזוג הזה הוא זוג של פונקציות הפוכות. במילים אחרות אם אני לוקח מספר X שהוא בתחום הגדרה של הפונקציה הלוגריתמית, במילים אחרות מספר חיובי. נחשב את הלאנג שלו. ואחר כך לביטוי הזה אני מפעיל את הפונקציה האקספוניצלית, אני מקבל את הערך X עצמו. הבא נסתכל על הביטוי הזה כהרכבה של 2 פונקציות ונזכור מה אומר כלל השרשרת אודות לנגזרת של הרכבה של שתי פונקציות אם יש לנו שתי פונקציות, אם קודם כל נפעיל את הפונקציה G ואחר כך נפעיל את הפונקציה F היה ונרצה לגזור או לחשב את הפונקציה של ההרכבה הנגזרת נתונה כמכפלה של הנגזרות. הנגזרת של F בנגזרת של G, אלא ששתי הפונקציות האלה עובדות בשני מקומות שונים. הפונקציה הפנימית G עובדת על X, לכן נחשב את נגזרתה בנקודה X. להבדיל הפונקציה F אינה עובדת ישירות על X, אלא עובדת על הערך ש-G מחזירה עבור X. לכן נגזרת תחושב גם כן לא ב-X, אלא ב-G של X. נניח לרגע דבר שטרם הוכחנו, אבל נניח שאכן הפונקציה הלוגריתמית היא גזירה. אם אכן היא גזירה בואו נראה מה הכלל הזה מחייב אודות לערכה של הנגזרת של הפונקציה הלוגריתימית. נסתכל על הביטוי הזה, השיוויון הזה, כשיוויון בין פונקציות. הפונקציה שבשני המקרים אני מכניס X ואני מקבל בחזרה את X. זו הפונקציה Y=X אם משני הצדדים יש לי את אותה פונקציה משמעו שזה ששתי הפונקציות האלה חולקות את הנגזרות. אם אני אגזור את אגף ימין Y=X הנגזרת שלה זה יהיה שווה ל-1 מצד שני אם אני גוזר תוך שימוש בכלל השרשרת את הביטוי שמופיע בצד שמאל, מה נקבל? הפונקציה האחרונה שעובדת היא הפונקציה האקספונצילית הנגזרת שלה היא הפונקציה האקספונצילית עצמה אז הנגזרת של E בחזקת זו E בחזקת, אלא שאיפה היא תעבוד? איפה שהפונקציה הבאה בתור, קרי לאנג עובדת על המשתנה כפול הכפול הזה הוא במכלל השרשרת כאן אני צריך לכתוב את הנגזרת של הפונקציה הלוגריתמית. וזה כאן המקום שאנחנו עושים את התרגיל המחשבתי הרי אנחנו לא יודעים מהו הערך אבל אילו ידענו שהפונקציה הלוגריתמית היא גזירה מה שהיה צריך להופיע כאן זה הנגזרת של הפונקציה הלוגריתמית בנקודה X שהרי E בחזקת לאנג של X הוא הערך X עצמו. על כן הפונקציה הלוגריתמית היא כזו שהנגזרת שלה בנקודה מסוימת מוכפלת באותה נקודה נקבל את הקבוע 1. ברור אם כך שהנגזרת של הפונקציה לוגריתמית לא מתאספת ויתר על כן נקבל את המסקנה הבאה הנגזרת של הפונקציה לאנג בנקודה כלשהי היא הפונקציה 1 חלקי X בואו ניתן את הדעת על 2 דברים, קודם כל מצאנו פונקציה שהנגזרת שלה היא הפונקציה 1 חלקי X. הוספנו פונקציה קדומה לאחד מהפונקציות הידועות מצד שני בואו נסתכל על המשמעות הגאומטרית בהקשר של שטחים ואינטגרלים. נתבונן לרגע על הפונקציה Y שווה ל-F של T נתונה על ידי 1 חלקי T. אם זה ציר ה-T זה ציר ה-Y, איך נראה הגרף של הפונקציה Y שווה ל-1 חלקי T? הגרף הוא ענף 1 מהאיפרבולה עם משוואה T פעמים Y שווה ל-1. במילים אחרות הגרף עובר דרך הנקודות האלה, כך נראה הגרף אני אזכיר לכם מה שראינו בפרק על שטחים ואינטגרציה מה אומר המשפט היסודי? נניח לרגע שיש לנו איזשהי פונקציה נקרא לה F בקטן, ואנחנו מגדירים פונקציה F בגדול באמצעות הנוסחה הבאה: נחשב את האינטגרל של הפונקציה F בקטן בקטע מסוים כך שהקצה השמאלי קבוע אבל הקצה הימני יכול להשתנות. זה בדיוק התפקיד של המשתנה הבלתי תלוי בביטוי הזה. המשפט היסודי אומר לנו שאם נגזור את הפונקציה F בגדול לפי המשתנה X נקבל את הפונקציה F בקטן מוארכת בנקודה X יתר על כן, למעשה המשוואה הזו אומרת על F בגדול שהיא פונקציה קדומה של הפונקציה F בקטן פונקציה קדומה אין אחת למעשה כפי שראיתם אז בתרגיל פונקציות קדומות נבדלות בקבוע אבל הקדומה הזו יש לה התכונה המיוחדת שהערך של הפונקציה של הקדומה, בקצה התחתון של האינטגרציה שווה לאפס. בואו נטיל על 1 להיות בתפקיד של A ונגדיר את הפונקציה F של X באמצעות האינטגרל בין 1 לבין X של הפונקציה 1 חלקי T לפי המשתנה T גאומטרית במה שאנחנו עוסקים זה בחישוב השטח של האזור שאני מקוקו נזכיר לעצמנו מה אומר המשפט היסודי הפונקציה F בגדול חייבת לקיים את התנאי הבא הנגזרת שלה חייב להיות הערך של הפונקציה 1 חלקי T מוערכת ב-X יחד עם מה? יחד עם התנאי שהערך של הפונקציה ב-1 יהיה בדיוק שווה לאפס אבל הרי אנחנו מכירים איזשהי פונקציה שהנגזרת שלה שווה ל-1 חלקי X כרגע או לפני מספר דקות גילינו שלאנג היא כזאת. היא קדומה של 1 חלקי X. הנגזרת שלה היא בדיוק 1 חלקי X אם כך, לפי המשפט היסודי או לפי תרגיל שכרגע הזכרנו, הפונקציה F של X חייבת להיות הפונקציה לאנג של X ואולי עוד איזשהו קבוע אחד. אלא מה שכפי שהזכרנו הערך של הפונקציה הקדומה הזו ב-1 מצד 1 זה חייב להיות שווה לאפס מצד שני זה יהיה הלאנג של 1 ועוד הקבוע. אבל הלאנג של 1 הוא בדיוק אפס. מכאן נקבל שהקבוע חייב להיות אפס. במילים אחרות, הפונקציה שמשמשת אותנו כדי לחשב את האינטגרל הזה היא הרי הפונקציה לאנג. במילים אחרות, היה ונסתכל על הגרף של הפונקציה Y שווה ל-1 חלקי T נבחר בשביל X להיות ערך חיובי כלשהו אם X הוא מימנו של A, הרי המשמעות הגאומטרית, או משמעות גאומטרית 1 הרי שללאנג של X הוא בדיוק השטח של האזור המקוקו הערה שימו לב שהתוצאה הזו מאפשרת לנו להציג את הסיפור של X, ולאנג, לאנג ו-X בצורה אחרת. תתארו לעצמכם שהיינו מתחילים דווקא מהפונקציה F בקטן של T שווה ל-1 חלקי T. אחרי שלמדנו על שטחים ואינטגרלים היינו יכולים להגדיר את הפונקציה לאנג בזו הלשון. לאנג של X הגדרה נתונה על ידי האינטגרל מ-1 עד X של הפונקציה 1 חלקי T לפי המשתנה T. כמובן על מנת שהביטוי הזה יהיה בעל משמעות X חייב להיות גדול מאפס. כלומר אנחנו מאמצים לעצמנו את מה שעבורנו היתה מסקנה כהגדרה השטח הזה אם X הוא מימינו של 1, הוא, הוא זה שיהיה הערך של לאנג של X כמובן אם X היה בין אפס ל--1, X משמאלו של ה-1 אז היינו מקצים ערך שלילי מהמשפט היסודי נקבל את העובדה הבאה, שהפונקציה לוגריתמית היא כזו שהנגזרת שלה שווה ל-1 חלקי X וכך סלולה הדרך להגדיר את הפונקציה האקספונצילית, מדוע? כי ניתן את הדעת על כך שאם הנגזרת של הפונקציה לאנג היא 1 חלקי X אנחנו עוסקים ב-X חיוביים הביטוי הזה יהיה תמיד גדול מאפס. פונקציה שהנגזרת שלה כל הזמן חיובית, זה אומר שהפונקציה עולה, עולה ממש. זה אומר שהפונקציה היא הפיכה. על כן קיימת פונקציה הפוכה לפונקציה הלוגריתמית. והמסלול הזה היה יכול לשמש אותנו כדי להציג בדיעבד את הפונקציה האקספונצילית, כהפוכה של הפונקציה הלוגריתמית. כך אומנם אנחנו עושים בחלק מהקורסים שאנחנו מלמדים אצלנו וזה פן נוסף להערה שהערתי לפני זמן לא רב שהרבה פעמים אנחנו מגלים עצמים וקשרים מסוימים במתמטיקה ואפשר לשחזרם בדרכים שונות. ובואו נחזור להתחלה. אם אתם זוכרים הצגתי את הנושא של חזקות בהקשר של איזשהו ניסיון לפשט את הפעולות הריתנטיות ואם חשנו שהחזקות או הפונקציות האקספונציליות יכולות לשרת כדי לפשט למשל את המכפלה ולהפוך אותה לסכום. בואו נראה אז זה איך נעשה אפילו בחיי היום יום. במקום לעבוד בבסיס 2 נעבוד בבסיס E אני רוצה לכתוב בשבילנו מהם הלוגריתם או הערכים של לוגריתם טבעי עבור הערכים הבאים: אם X שווה ל-2 אנחנו לא נעשה כאן את החישוב המדויק אבל הוא סדר גודל של 0.69 קרוב ל- 0.7 הלוגריתם של 3 הוא קרוב ל-1.1. הלוגריתם הטבעי של 4 לוגריתם טבעי של 4, מה צריך להיות? אם 4 הוא 2 כפול 2, או 2 בחזקת 2 זה אומר שלוגריתם של 4 צריך להיות לוגריתם של 2 ועוד 2, אז צריך להיות קרוב ל-1.4 הלוגריתם הטבעי של 5 הוא יהיה קרוב ל-1.6. הלוגריתם הטבעי של 6 יהיה קרוב ל... מהו צריך להיות? האמת היא שהלוגריתם של 6 הוא הלוגריתם של 2 כפול 3 זה אומר שהלוגריתם של 6 חייב להיות הלוגריתם של 2 ועוד הלוגריתם של 3. אז הקירוב הוא יהיה בסדר גודל של 1.8. בואו נשרטט את הנתונים האלה על סרגל אבל הנה לפניכם ציר ועל הציר הזה אני ממקם את המספרים 1 2, 3 4, 6 וכו׳ אלא מה, אני לא משתמש במערכת קורדינטות רגילה. הקיוקווים האלה ממחישים את המיקום של השנתות הרגילות. נניח לצורך הדיון שמכאן על לכאן יש בדיוק יחידה 1, כך אנחנו קובעים לכן מכאן עד לכאן יש עוד פעם יחידה 1. אז למה כתבתי כאן 2 ולא מיקמתי אותו מעל הישר המקווקו הזה. מה שעשיתי זה שימוש בסקאלה לוגריתמית. במילים אחרות אני ממקם את ה-2 במקום שמרחקו מה-1 הוא לאנג של 2 יחידות. זה סדר גודל של 0.7 בצורה דומה, מקמתי את ה-3 לא במיקומו הטבעי אלא במקום שהנקודה מרחקה מה-1 הוא לאנג של 3 יחידות. וכו׳. שימוש במידות אלה מאפשר לנו לצייר את מה שאנחנו מכנים ציר בסקאלה לוגריתמית. תתארו לעצמכם שיש לנו מן סרגל כזה ומעליו אנחנו ממקמים סרגל דומה לו. אבל עם יכולת הזזה. ותתארו לעצמכם שאני לוקח ממש את אותו סרגל ומזיז אותו כך שראשיתו יהפוך להיות הנקודה הזו. במילים אחרות אני מזיז סרגל עד שה-1 בסרגל השני מצביע בצבע אחר יהיה ממקום מעל ה-1. איפה יפול ה-2? ה-2 יפול בדיוק כאן ואיפה יפול ה-3? ה-3 יפול בדיוק כאן. הרי הנקודות האלה לא הפתיעו אותנו מסיבה אחת פשוטה והרי זה השימוש, אני טוען שאפשר להסתכל על הציור הזה בזו הלשון. 2 כפול 2, 4 2 כפול 3, 6 כו׳. ומדוע? מדוע אני אומר ש-2 כפול 2 זה 4 הרי הנקודה הזו מרוחקת מה-1 לאנג של 4 יחידות. ואומנם זה כך. אם מכאן עד לכאן יש לנו לאנג של 2 יחידות והוספנו עוד לאנג של 2 יחידות. לאנג של 2 ועוד לאנג 2 זה הרי לאנג של 2 כפול 2 קרי 4. מהו המיקום של הנקודה הזו ביחס ל-1 הזה? כאן יש בדיוק לאנג של 6 יחידות. לאנג של 2 ועוד לאנג של 3 אז מה שעומד בפניכם זה מה שאנחנו יכולים לחשב או להציג כמחשבון פשוט ואומנם כך היה, בנו סרגלי חישוב שעוד מעט אני אראה לכם מוצר שעוד אני שומר מילדותי. אבל נאמר ביריאה יותר כללית. בחזרה לראשית ההצגה של הפונקציות האקספונציליות שאומנם במאה ה-17, 8 וכו׳. היו אנשים ששמם הטוב היה כרוך בזה שהכינו טבלאות של לוגריתמים אשר שימשו לחישובים מורכבים בצורה יותר פשוטה. היום אנחנו בעיצומה של המהפכה הדיגיטלית ואנחנו משתמשים במחשבים. אבל זה כמובן סיפור ותורה אחרת. בואו ניפרד בחזרה לרגע של נוסטלגיה. הנה מולכם מכשיר שמאוד אהבתי בצעירותי. סרגל חישוב. אני מבקש מכם לשים לב לשורה הזו, הירוקה. כפי שציירתי על הלוח, השורה הזו בנויה על בסיס של סקאלה לוגריתמית. פה אתם רואים את ה-1, פה אתם רואים את ה-2, פה אתם רואים את ה-3 אז ה-2 איננו ממוקם יחידה של אורך מימינו של ה-1 אלא לאנג של 2 יחידות מימנו של ה-1 ה-3 גם הוא ממוקם לאנג של 3 יחידות. וה-4 וכו׳. אז שימו לב איך היה אפשר להשתמש בסרגל חישוב כזה? בצורה דומה למה שעשינו על הלוח אני אזיז את ה-1 הירוק אני אסיט אותו ימינה עד שהוא למשל יעמוד בדיוק מעל הערך 2 שמתחתיו מיד אני אתכם. 1 עומד מעל ה-2 ואם כך, בפס הירוק אנחנו יכולים לראות את הגורמים השונים 2, 3, 4, 5 וכו׳. ומה יהיה מתחת ל-2? מה יהיה מתחת ל-3? מה יהיה מתחת ל-4? 2 כפול 2, 4. 2 כפול 2 וחצי 5. 2 כפול 3, 6. 2 כפול 3 נקודה 5 7. 2 כפול 4, 8, 2 כפול 5, 10 הנה לפניכם מה שהיה בזמנו מחשבון.
