בואו נחזור רגע על מה שראינו בשיעור שעבר אנחנו מעוניינים בשלב זה לחשב אינטגרל של פונקציה או שטח שכלוא מתחת לגרף של פונקציה, בינה לבין ציר ה-x בין שתי נקודות A ו-B זה הגדול שאנחנו מסמנים בתור האינטגרל של F בין A ל-B ודיברנו גם על משמעות הסימון הזה. ומה שראינו בשיעור שעבר זה שאם נגדיר פונקציה חדשה, סימנו ב-S גדולה של X שהיא האינטגרל של אותה פונקציה אנחנו סימנו אותה ב-F של Y אולי אותה פונקציה F בין A לבין Y כלומר לכל Y מדובר בשטח מתחת לגרף הפונקציה F אבל הפעם בין A ל-Y אז הפונקציה החדשה הזאת F גדולה מקיימת שתי תכונות, הראשונה היא שהנגזרת שלה בכל מקום שווה לפונקציה F קטנה שאת האינטגל שלה אנחנו רוצים לחשב קראנו ל-F גדולה אנטי נגזרת של F קטנה, שהשם היותר מקובל הוא פונקציה קדומה. פונקציה שהנגזרת שלה היא אותה F קטנה ובנוסף ראינו שבנקודה A כש-Y הולך ומתקרב ל-A, אז השטח הזה הולך וקטן כשבנקודה A עצמה, F של A תהיה שווה לאפס אלה התכונות המגדירות את אותה F גדולה את אותה אנטי נגזרת ואם היינו יודעים מהי אותה F גדולה, אז עכשיו כדי לדעת מה האינטגרל בין A ל-B כל מה שצריך זה להציב Y שווה B כלומר האינטגל בין A ל-B של F פשוט F גדולה משוערכת בנקודה B. תארו לכם שבאיזשהו אופן, אולי כי מישהו היה לוחש לנו, היינו מוצאים פונקציה, נסמן אותה ב-G שהיא אנטי נגזרת של F קטנה, כלומר פונקציה G, שבכל נקודה Y הנגזרת שלה שווה ל-F. F של Y האם ה-G הזו היא ה-F שאנחנו מחפשים? אז אנחנו יודעים שאם G הנגזרת שלה היא F אז היא לא הפונקציה היחידה שיש לה את התכונה הזאת אנחנו יודעים שאם ניקח את G של Y ונוסיף לה קבוע 5, שורש פאי, כל מספר, כל מספר קבוע נסמן את הקבוע הזה כפרמטר C, נקבל פונקציה חדשה שגם היא נגזרתה היא F קטנה. יודעים שהוספת קבוע לפונקציה אינה משנה את הנגזרת שלה ולכן אם אני מכיר פונקציה שהנגזרת שלה היא F לא מובטח לי שהפונקציה הזאת היא אותה פונקציה שאני מחפש שמבטאת את האינטגרל של F בין A ל-Y הפונקציה שאני מחפש יש לה תכונה נוספת שבנקודה A היא תהיה שווה לאפס אבל מישהו בא וגילה לי שקיימת פונקציה G שנגזרת היא F האם אני אוכל עכשיו למצוא מהו האינטגרל של F בין A ל-Y והתשובה היא כן. אם אני מכיר פונקציה אם אני אחסר ממנה G של Y את G בנקודה A שהוא איזשהו מספר, זה איזשהו קבוע אני אקבל פונקציה חדשה שנגזרתה היא בדיוק כמו הנגזרת של G היא F קטנה ולעומת זאת כשאני אציב Y שווה A אני אקבל G של A פחות G של A כלומר אפס במילים אחרות G של Y פחות G של A היא אותה F של Y המבטאת את האינטגרל של F קטנה בין A ל-Y ועכשיו כיצד נשתמש בעובדה זו כדי לחשב אינטגרלים ובכן בהינתן פונקציה F, אם ואוקי אני רוצה להדגיש את הנקודה הזאת, אם ידועה אנטי נגזרת G של F אוקי, פונקציה שנגזרתה היא F הרי שאני יודע שהאינטגל בין A ל-Y של F של DX X שווה ל-G של Y פחות G של A ובפרט האינטגרל בין ל-A ל-B של F של DX X שווה ל-G של B פחות G של A נוסחה זו שקושרת בין האינטגרל של פונקציה בין שתי נקודות לבין הפרש של פונקציה קדומה או אנטי נגזרת של F בין 2 נקודות הקצה, ידועה כנוסחת ניוטון לייבניץ על שם ניוטון ולייבניץ, שני אבות החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי והיא למעשה הכלי שבבית הספר למדתם באמצעותו לחשב אינטגרלים של פונקציות. בואו נתבונן בדוגמה נחשב את האינטגרל של קוסינוס X בין X שווה חצי ל-X שווה 1 אנחנו מכירים את פונקציית הקוסינוס היא פונקציה המקבלת את הערך 1 באפס והיא מתאפסת בפאי חלקי 2 שזה בערך 1.57 אז איפשהו פה נמצא 1 וכאן חצי זו פונקציה שצורתה היא בערך זו. אני מזכיר לכם שבשלב זה אנחנו עדין מצמצמים את הדיון לאינטגרלים של פונקציות חיוביות. אנחנו מיד נרחיב את הדיון גם לפונקציות שאינן בהכרח חיוביות. ובקטע חצי עד 1 הפונקציה שלנו היא באמת חיוביות, השטח המבוטא כאן הוא השטח הזה ומה שהנוסחה של ניוטון ולייבניץ מספרת לנו זה שלו רק הכרנו פונקציה שנגזרתה היא קוסינוס X שאז היינו יודעים לחשב את השטח הזה על ידי חיסור ערכי הפונקציה בנקודה 1 ובנקודה חצי האם אנחנו מכירים פונקציה שנגזרתה קוסינוס X אז למזלנו כן, אנחנו יודעים ש-G של X ששווה לסינוס X היא אכן אנטי נגזרת של קוסינוס X. היא פונקציה שכשנגזור אותה נקבל את קוסינוס X. אבל היא בוודאי לא הפונקציה היחידה המקיימת את התכונה הזאת, כן גם סינוס X ועוד 19 היא אנטי נגזרת של קוסינוס X אבל אין לנו סיבה לסבך. אני רק רוצה לציין שאותה נוסחת ניוטון לייבניץ תפעל עבור כל אנטי נגזרת של קוסינוס X ועכשיו פשוט נפעיל את אותה נוסחה נפלאה ונקבל שהאינטגרל בין חצי ואחד של קוסינוס קוסינוס X שווה לאותה אנטי נגזרת סינוס בנקודה 1 פחות האנטי נגזרת בנקודה חצי. חשוב לי להדגיש שיש כאן באמת תגלית מופלאה. תזכרו כיצד חישבנו את השטח שכלוא מתחת לפרבולה ב-1 השיעורים הקודמים ועד כמה שהיינו צריכים לעבוד קשה ולהסתמך על איזשהו נס שידענו לחבר סכומים של ריבועים כדי לחשב את השטח. פה לפנינו פונקציה הרבה יותר מסובכת, פונקציית הקוסינוס. ובזכות אותה נוסחה של ניוטון ולייבניץ אנחנו מסוגלים לחשב את השטח הזה, כשכל מה שזה דורש מאיתנו זה לדעת לשערך את ערכה של פונקצית הסינוס בשתי נקודות בלבד. אוקי, זה כלי אם כן, חזק ביותר לחישוב שטחים שלא היה קיים עבור מתמטיקאים ובכלל עבור האנושות לפני המצאת החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. ועכשיו אני רוצה סוף סוף להתמודד עם השאלה של אינטגרלים של פונקציות שיכולות להיות גם שליליות. בואו נזכור קודם כיצד אנחנו בונים את מושג האינטגרל. אנחנו רוצים לחשב שטח מתחת לגרף של פונקציה אנחנו מחלקים את הקטע שעליו עושים את האינטגרל לקטעים קטנים יותר בכל אחד מהקטעים האלה בנינו מלבן שאת שטחו ידענו לחשב כשגובהו של המלבן היה ערך הפונקציה אז פה בסופו של דבר יש איזשהי בחירה שהיה עלינו לעשות. אני אזכיר לכם שכשעסקנו בפרבולה אנחנו גם לקחנו את המלבנים שבנויים על הנקודה הימנית בקטע והנקודה השמאלית. בסופו של דבר אבל בנינו משהו שקראנו לו קירוב לאותו שטח שאנחנו רוצים לחשב וכו׳. כן, אז מה שבעצם בנינו זה קירוב שצורתו היתה למשל ערך הפונקציה בנקודה הראשונה או אחת הנקודות בקטע הראשון כפול, רוחבו של הקטע הראשון ועוד F שנלקחה מנקודה בקטע השני כפול רוחבו של הקטע השני וכך עד הקטע האחרון. והטיעון היה שכשהחלוקה הזו תעשה יותר ויותר עדינה אותו סכום שטח שמתקבל כסכום של מלבנים ישאף לאיזשהו מספר שהוא השטח המיוחד. שימו לב שהביטוי שכתוב כאן לא מניח שום דבר על הערכים של F אלה באופן עקרוני יכולים גם להיות שליליים. לביטוי שכתוב כאן, לסכום השטחים אוקי, כשהו כתוב כך באופן אלגברי כסכום של מכפלות יש משמעות גם כש-F שלילית. אז בואו לרגע נסתכל מה מתקבל כאן כשבאמת F הוא פונקציה שמקבלת ערכים שליליים. ובכן הנה דוגמה לפונקציה שמקבלת ערכים שליליים, הנקודות A ו-B ובואו ננסה לפרש רגע מה המשעות של הסכום שכתוב כאן כשלפנינו פונקציה שמקבלת ערכים שליליים. ובכן מה שהסכום מתאר הוא איזשהי חלוקה של הקטע AB, ל-A קוראים גם X0. יש לנו נקודה X1 X2 עד XN שווה ל-B. בואו נתבונן במחובר הראשון F של X1 כפול X1 כפול X0 כן אז F של X1 זה הערך הזה X1 כפול X0 זה רוחבו של הקטע הזה, אז יש לנו מכפלה. אורכו של קטע כפול אורכו של קטע האם מדובר, כן אם F של X1 כפול X1 פחות X0 מה המשמעות של הביטוי שכתוב כאן? יש לנו קטע כפול קטע, אז לכאורה שטח של מלבן, אלא שהגודל הזה הוא גודל חיובי והגודל הזה הוא גודל שלישי. שימו לב, שאם היינו מתבוננים בערך המוחלט של המכפלה הזאת היינו בדיוק מקבלים את השטח שכלוא שוב בין גרף הפונקציה בקירוב, כי אנחנו פה עשינו מלבן מקרב, ובין ציר ה-X. אם נוריד את הערך המוחלט מה שנקבל זה גודל שלילי שבעצם אפשר לחשוב עליו כאילו שתארנו את השטח הזה מכיוון שהוא מתחת לגרף כשטח שלילי. וכך אנחנו ממשיכים עם המחוברים האחרים שכולם בערכם המוחלט שווים לשטח שכלוא בין גרף הפונקציה לבין ציר ה-X. וכשנלך ונעדן יותר ויותר את אותה חלוקה, הסכומים האלה ישאפו לגודל שהוא שלילי וערכו המוחלט שווה לשטח שבין הגרף של הפונקציה לבין ציר ה-X. כלומר שיש לנו אינטגרל של פונקציה שמקבלת ערכים שליליים, שהיא פונקציה שלילית. האינטגרל יהיה גודל שלילי שערכו המוחלט הוא השטח, גודלו של השטח שבין גרף הפונקציה לבין ציר ה-X. בואו נתבונן בדוגמה. הפונקציה שאת האינטגרל שלה נחשב כפונקצית סינוס על פני מחזור אחד, כלומר בין 0 ל-2 פאי. ואנחנו רוצים לחשב את האינטגרל של סינוס X בין אפס ל-2 פאי. למה נצפה? ובכן, יש לנו קטע אחד בין אפס לפאי שבו הפונקציה היא חיובית, היא מתאפסת לקצוות הקטע ואנחנו יודעים שלו היינו מתנגרלים עד לפאי היינו מקבלים את השטח שכלוא כאן אלא שלאחר מכן אנחנו ממשיכים באינטגרציה ואז בין פאי ל-2 פאי הפונקציה מקבלת ערכים שליליים. ואז אנחנו יודעים שהאינטגרל בין שתי הנקודות האלה הוא מספר שלילי. שבערכו המוחלט שווה לשטח שכלוא כאן. אז זה נספר באופן חיובי והשטח הזה כאן נספר באופן שלילי מטעמי סימטריה, ברור לנו שהשטח הזה שווה לשטח הזה בערכים מוחלטים ולכן היינו מצפים שהאינטגרל של סינוס בין אפס ל-2 פאי יהיה שווה לאפס, שכן השטח הזה שנספר באופן שלילי יבטל את השטח הזה שנספר באופן חיובי. בואו נבדוק שבאמת זה מה שגם נוסחת ניוטון ולייבניץ מבטיחה לנו. אז שוב נפעיל אותה, אנחנו מחפשים פונקציה שנגזרתה מחפשים פונקציה G של Y שנגזרתה היא סינוס Y פונקציה אחת כזו מיני אינספור כאלה היא מינוס קוסינוס Y ואז נפעיל את נוסחת ניוטון לייבניץ האינטגרל הזה יהיה שווה למינוס קוסינוס 2 פאי פחות מינוס קוסינוס של אפס. מינוס קוסינוס שלם. קוסינוס של אפס וקוסינוס של 2 פאי. הם אותו מספר הם שווים ל-1, כתוב כאן מינוס 1, מינוס מינוס 1, זה אכן 0 כפי שהיינו מצפים מאותם שיקולי סימטריה. באמת בלימודי תיכון אתם למדתם את העובדה שכשאנחנו מחשבים אינטגרל של פונקציה שמחליפה סימן, למשל בין A ל-B אז מה שהגודל המתקבל הוא סכום של שטחים כשהשטחים שהם מעל ציר ה-X נספרים באופן חיובי ואלה שמתחת לציר ה-X נספרים כגדלים שליליים. שאלה שאני בטוח ששאלתם את עצמכם היא מה המשמעות של זה? מה המשמעות של שטח שלילי? התשובה המורכבת היא שאנחנו אומנם דיברנו פה על האינטגרל מתוך הקשר של חישוב שטחים אבל לאינטגרל במתמטיקה ולשימושים של מתמטיקה יש משמעויות שהן מעבר לחישוב של שטחים של צורות גאומטריות ואם נתבונן בחלק מהדוגמאות ייתכן שנבין טוב יותר מהי המשמעות של האינטגרל כשפונקציה מחליפה סימן. בתור דוגמה בואו נדמיין מצב של מכונית שנוסעת על כביש שהוא קו ישר אנחנו נוסעים ומודדים בכל רגע נתון את המהירות כשהמהירות נספרת כחיובית כשהתנועה היא ימינה ושלילית כשהתנועה היא שמאלה. ואנחנו עורכים גרף ובכן זו פונקציה ש-T זמן בשעות לכל T מותאמת מהירות ביחידות של קילומטר לשעה ונניח שהתחלנו באיזשהו זמן A והפסקנו את המדידה בזמן B התחלנו במצב מנוחה המהירות היתה אפס ונסענו ימינה התחלנו להאיץ ונסענו באיזשהו שלב עצרנו לשתות קפה ואז חזרנו אחורה ואנחנו נוסעים ובכן שמאלה ובזמן B פשוט הפסקנו את המדידה והייתי רוצה עכשיו לדון בשאלה של מה ה... אז נסמן את הגרף הזה, את הפונקציה הזאת ב-V שהיא אותה מקובלת לסמן מהירות V כפונקציה של T מה המשמעות של האינטגרל בין A ל-B של V של DT T כן, השאלה היא לא כל כך כמה זה שווה, זה כמובן תלוי בפרטים באותה פונקציה, אבל אני רוצה לדון בשאלה של מה המשמעות של אותו אינטגרל. אז כדי לענות על כך בואו נחזור שוב רגע על התהליך של קירוב האינטגרל ניקח את הקטע AB נחלק אותו לתת קטעים ונתבונן בקטע נתון, למשל הקטע הזה כשאנחנו מקרבים את ערכו של האינטגרל אנחנו מקרבים את השטח שכלוא כאן באמצעות שטח של מלבן, למשל המלבן הזה. המלבן הזה צלע אחת שלו מבטא אורך של קטע שמבטא זמן, משך זמן שמדוד בשעות. ולעומת זאת הגובה, ערך הפונקציה מבטא מהירות ביחידות של קילומטר לשעה כשאנחנו כופלים מהירות ביחידות של קילומטר בשעה במשך זמן שנמדד בשעות מה שמקבלים זה את הדרך שאותו עצם במקרה זה מכונית עברה כן, השטח הזה הוא קירוב שוב כי זה לא בדיוק הפונקציה, אלא קרבנו באמצעות מלבן קירוב לדרך שהמכונית עברה בקטע הזמן הזה. כשאנחנו הולכים ומחברים עכשיו שטחים כאלה, אנחנו מקבלים קירוב לדרך שהמכונית עברה המהירות שלה בקטע הזמן הזה באותו קטע היתה חיוביות, הינה ימינה ולכן כל אותה דרך שהיא עברה היתה בתנועה ימינה. ברגע שמתהפך הסימן של המהירות אנחנו יודעים שהמכונית נעה שמאלה ולכן כשאנחנו עכשיו כופלים שוב מהירות בזמן אנחנו מקבלים דרך, אלא שזאת דרך שהמכונית עשתה בתנועה שמאלה. עכשיו נחשוב מה קורה כאשר אנחנו מסתכלים על האינטגל, כן על סכום השטחים זה בעצם סכום של דרכים שהמכונית עברה בין זמן A לזמן B. ובכן הקטע הזה מחולק לשניים מ-A ועד לנקודה הזאת שהפונקציה התאפסה ואז מכאן ועד ל-B פה השטח מבטא מרחק שהמכונית עברה בתנועה ימינה והשטח שכלוא מתחת לגרף מכן ועד ל-B מבטא מרחק שהמכונית עברה בתנועה שמאלה כשאנחנו מחברים את השנים מה שנקבל זה את המרחק של המכונית מנקודת המוצא שלה והמרחק הזה יהיה חיובי אם היא מימין לנקודת המוצא ושלישי אם משמאל לנקודת המוצא. לגודל הזה שמתקבל מהאינטגרל של המהירות קוראים ההעתק של העצם שנע, העצם הנע מנקודת המוצא וכפי שהגדרנו את הדברים גודל זה יכול להיות חיובי או שלילי, זה תלוי כמובן בפרטי הארוע, אותה פונקציה של מהירות כפונקציה של זמן.
