כפי שאמרנו, בהינתן פונקציה f, אם אנחנו רוצים לחשב את האינטגרל שלה בין a ל-b, כל מה שאנחנו צריכים הוא להכיר פונקציה שהיא אנטי-נגזרת של f, פונקציה g, שיש לה את התכונה שנגזרתה בכל נקודה שווה ל-f, ואז נוכל להביע את האינטגרל של f בין a ל-b בתור g ערכה בנקודה b פחות g בנקודה a. נוסחה שכינינו נוסחת ניוטון-לייבניץ. בואו ניקח דוגמה. בתור פונקציה f נבחר את הפונקציה סינוס x חלקי x. ונקודות a ו-b גם צריך לבחור. ניקח את a שווה ל-1, ו-b שווה ל-2. הפונקציה הזו. כיצד נראית סינוס x חלקי x? את פונקציית סינוס אנחנו מכירים. היא פונקציה שמתנודדת, שמקבלת ערכים חיוביים ושליליים. גם את פונקציה 1 חלקי x אנחנו מכירים. יש לה צורה של היפרבולה. וקל להשתכנע שאם נסתכל על המנה של סינוס x חלקי x, אנחנו מתעניינים במנה הזאת בקטע 1 עד 2, סינוס נראית כך. אבל יש לנו חילוק ב-x, אז בקירוב הפונקציה הזאת תיראה משהו כזה. ואנחנו מדברים אם כן על חישוב השטח הזה. ובכן, כדי שנוכל לחשב את האינטגרל של סינוס x חלקי x בין 1 ל-2, אנחנו צריכים למצוא אנטי-נגזרת לפונקציה סינוס x חלקי x. אנחנו מחפשים פונקציה g, שנגזרתה מבוקשת g, שנגזרתה בכל נקודה x היא סינוס x חלקי x. האם נוכל למצוא g כזאת? זו השאלה שאני רוצה להעלות כרגע. בפרק שעסק בפונקציות דיברנו על העובדה שהפונקציות מהוות עולם מאוד עשיר. חלק מהפונקציות יש להן ביטוי אלגברי, ביטוי שנתון באמצעות נוסחה. אבל יש גם פונקציות הרבה יותר אחרות שלא בהכרח יש להן ביטוי פשוט באמצעות נוסחה. במידה רבה הפונקציות שהכרתם בבית הספר הן באמת פונקציות שניתנות להבעה באמצעות נוסחה, וגם מתוך אלה מדובר בקבוצה יחסית מצומצמת של פונקציות. למשל, הפונקציה שמעלה בחזקת n, או הפונקציה של שורש ריבועי, שלישי, שורש n. הכרתם את הפונקציות הטריגונומטריות, למשל, סינוס, קוסינוס, המנה שלהן: טנגנס. הכרתם את פונקציית העלאה בחזקת x, או במקרה הפרטי כש-a שווה ל-e: e בחזקת x. הכרתם את פונקציית הלוגריתם, או לוגריתם עם בסיס טבעי: ln. זו רשימה של פונקציות שאתם מכירים ובאמצעות הפונקציות האלה אנחנו יכולים לייצר הרבה מאוד פונקציות אחרות על ידי זה שנחבר פונקציות כאלה, נכפול, נחלק, נעשה הרכבה של פונקצויות כאלה. לפונקציות מהמשפחה הזאת וכל הפונקציות שאפשר לייצר באמצעותן, באמצעות פעולות אלגבריות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק, או באמצעות הרכבה. כן, למשל, הפונקציה שלוקחת את x, מחשבת את הסינוס שלה, את הלוגריתם הטבעי של הסינוס, ואז מוציאה שורש 17. זאת דוגמה לפונקציה שאנחנו יכולים לקבל באמצעות פעולות אלגבריות והרכבה של פונקציות מהסוג הזה. לאוסף כל הפונקציות שאנחנו יודעים לבטא באמצעות נוסחאות מהסוג הזה אנחנו קוראים פונקציות אלמנטריות. סינוס x חלקי x היא דוגמה לפונקציה אלמנטרית. היא מנה של סינוס ושל x. כלומר, פונקציית הזהות f של x שווה x ופונקציית הסינוס, המנה שלהן היא אותה פונקציה, שהיא פונקציה אלמנטרית, שאת האינטגרל שלה היינו רוצים לחשב. אחד הדברים שמעניינים בנוגע לפונקציות אלמנטריות זה שאנחנו תמיד יודעים לחשב את הנגזרות שלהן. כל הפונקציות האלמנטריות האלה, הרשימה הזאת, הן פונקציות שלמדתם לחשב את הנגזרת שלהן. אז אפשר להתחיל לעשות רשימה למעשה. הפונקציה והנגזרת. למשל, הפונקציה של העלאה בחזקת n, אנחנו יודעים שהנגזרת שלה היא n פעמים העלאת המשתנה בחזקת n מינוס 1. באותו אופן, שורש n של x, זה למעשה מקרה פרטי שבו n הוא 1 חלקי n. ו-1 חלקי n כפול x בחזקת 1 חלקי n פחות 1. הנגזרת של סינוס היא קוסינוס. הנגזרת של קוסינוס היא מינוס סינוס. אני אדלג לכאן, e ב-x. הכרתם אותה בתור פונקציה מאוד מיוחדת שיש לה את התכונה שנגזרתה שווה לפונקציה עצמה. הנגזרת של e ב-x היא e ב-x. והלוגריתם הטבעי, (Ln(x זו פונקציה שהנגזרת שלה היא הפונקציה ההופכית, מעתיקה את x ל-1 חלקי x. אז הנה דוגמה, זו רשימה מאוד מצומצמת של פונקציות אלמנטריות ונגזרותיהן. והכללים שלמדתם בבית הספר מאפשרים לכם לחשב עכשיו את כל הפונקציות שמתקבלות מפעולות אלגבריות והרכבות של פונקציות מהמשפחה הזאת. אני רק אזכיר, למשל, אם אנחנו נכפול e ב-x כפול סינוס x זוהי גם כן פונקציה אלמנטרית. הנגזרת שלה מתקבלת מהנגזרת של הפונקציה הראשונה במכפלה, שהיא e ב-x, כפול הפונקציה השנייה ועוד הפונקציה הראשונה כפול הנגזרת של הפונקציה השנייה. יש לנו פשוט מתכון שבהינתן שאנחנו יודעים לגזור שתי פונקציות, נדע תמיד גם לגזור את המכפלה שלהן. במקרה של הרכבה, למשל, e בחזקת x בשלישית, זו הרכבה של הפונקציה e בחזקת עם הפונקציה שמעלה בחזקה שלישית. הנגזרת שלה זו הנגזרת של e במשוערך ב-x בשלישית כפול הנגזרת של הפונקציה שמעלה בחזקת 3, שהיא 3x בריבוע. אלה דברים שאתם מכירים. ואני רק ניסיתי פה באמצעות דוגמאות להזכיר לכם שכל פונקציה ממשפחת הפונקציות האלמנטריות אנחנו יודעים לחשב את הנגזרת שלה. ועכשיו אנחנו שואלים שאלה הפוכה. יש לפנינו פונקציה אלמטרית, f של x שווה לסינוס x חלקי x. האם נדע למצוא פונקציה שהנגזרת שלה היא הפונקציה הזאת. אז הדבר הטבעי שאדם חובב מתמטיקה אולי היה עושה הוא להתחיל ולנסות. למשל, כן, למשל מכיוון שהפונקציה שהנגזרת שלה היא סינוס עם מינוס קוסינוס אולי היינו רוצים לנחש שהפונקציה המבוקשת שלנו היא מינוס קוסינוס X חלקי X. אם נגזור אותה נראה שלא, לא נקבל סינוס X חלקי X מפני שאנחנו צריכים גם לגזור את החלקי ה-X שבו ואז היינו אולי רוצים לנסות לתקן את מה שהתקבל סביר להניח שאם תנסו לעשות כך תיכשלו במשימה מלקבל את הפונקציה שהנגזרת שלה היא סינוס X חלקי X לא רק שסביר, אלא ודאי אבל מיד נגיע לכך. אחד הדברים, שתראו למעשה המצב הוא כזה, אנחנו יכולים הרי לייצר רשימות ארוכות מאוד של פונקציות ולצידן נגזרותיהן וזה דבר שנעשה בהיסטוריה. מי שבעיקר התפרסם בכך היה אוילר שייצר מאות עמודים של פונקציות אלמנטריות שנעשות יותר ויותר מסובכות ולצידן ניגזרותיהן. אילו היינו מייצרים רשימות כאלה, ובאיזשהו אופן מחוכם היינו ממיינים אותם לפי העמודה הימנית, עמודת הנגזרות היה אולי מקום לקוות שבסופו של דבר היתה נמצאת אותה פונקציה שבמקרה, כם היינו מייצרים כזאת שנגזרת היא סינוס X חלקי X ודרך אגב כיום אנחנו לא זקוקים יותר לכתביו של אוילר, יש תוכנות, תוכנות סימבוליות למשל, מייפל ומתמטיקה שיש בהן פונקציות שבהינתן אנחנו מזינים, שם של פונקציה והתוכנה עושה ניסיון למצוא את הפונקציה, את האנטי נגזרת שלה. אחד הדברים שהתבהרו עם השנים ושלהבדיל מהנגזרת שמובטח לנו שכל פונקציה ממשפחת הפונקציות האלמנטריות נגזרתה היא גם כן פונקציה אלמנטרית, זה לא המצב לגבי אנטי נגזרת זה לא נכון שלפונקציה אלמנטרית בהכרח יש אנטי נגזרת של פונקציה אלמנטרית. סינוס X חלקי X היא דוגמה כזאת לפונקציה שלא קיימת פונקציה אלמנטרית שנגזרתה היא סינוס X חלקי X. עכשיו אני רק רוצה לחדד את דברי, למנוע אי הבנות. האם אני טוען של סינוס X חלקי X אין אינטגרל? שאין אנטי נגזרת לסינוס X חלקי X? לא, בשום אופן לא. זה לא מה שאמרתי. יש פונקציה שנגזרתה סינוס X חלקי X. מה שאמרתי, זה שהפונקציה הזאת היא לא פונקציה אלמנטרית. היא לא פונקציה שאפשר לבטא באמצעות פעולות אלגבריות והרכבות של פונקציות מהמשפחות האלה. אבל נשאלת עכשיו שאלה פרקטית. דמיינו שאני באמת רוצה לדעת מהו האינטגרל של סינוס X חלקי X בין 1 ל-2. כיצד אני אחשב את האינטגל הזה אם אין לי נוסחה או אני לא יכול להשתמש בנוסחת ניוטון לייבניץ כי אין לי. אין בידי פונקציה שאני יודע לבטא שהיא אנטי נגזרת של סינוס X חלקי X. התשובה לכך למעשה, אנחנו צריכים לחזור אחרוה לתחילת הפרק שבו עסקנו בחישובי שטחים ולזכור את דרכו של ארכימדס בחישוב השטח שמתחת לפרבולה. בסופו של דבר, בהינתן כל פונקציה, כשסינוס X חלקי X היא דוגמה לאחת כזאת אנחנו יודעים לקרב את האינטגרל שלה על ידי זה שאנחנו נחלק את הקטע שאליו עושים אינטגרציה לתת קטעים ונקרב את השטח שכלוא מתחת לגרף הפונקציה באמצעות סכום של שטחי מלבנים, כן, נוסחה מהצורה. סכום על הקטעים שלנו היה הולך מ-1 עד N מספר הקטעים ערך הפונקציה בנקודה XI כפול רוחבו של המקטע בין XI ל-XI פחות 1. מה שאנחנו יודעים זה שאם N יהיה גדול, אם נחלק את הקטע 1, 2 במקרה זה. כן, וה-F של XI במקרה הפרטי שלנו הוא לא אחר מאשר סינוס של X חלקי XI. מה שאנחנו יודעים זה כש-N מאוד גדול כשאנחנו אנחנו מחלקים את הקטע 1 עד 2 להרבה קטעים קטנים נקבל סכום שנוכל לחשב, שארכו יהיה קרוב לאינטגרל המבוקש. ואם הוא לא מספיק קרוב עבורנו נגדיל את M, נחלק לעוד ועוד קטעים. כמובן שכיום אין שום צורך לבצע את החישוב הזה באמצעות דף ועיפרון ואפילו לא באמצעות מחשבון. כיום אנשים שבאמת רוצים לחשב אינטגרלים משתמשים במחשב ולמעשה כבר לא צריך לתכנת, יש הרבה תוכנות יעודיות שמזינים להם, שוב, שם של פונקציה קטע A עד B ובאמצעות שיטות קירוב כאלה הן מחשבות מספר שמקרב את האינגרל ואפשר לומר עד כמה אנחנו מעוניינים לקרב אפשר לומר לאותה תוכנה אני רוצה לקבל תשובה שהיא מדוייקת עד כדי 10 בחזקת מינוס 15 והתוכנה בנויה באופן כזה שהיא יודעת, אומנם היא אינה יודעת מהו ערכו המדויק של האינטגרל אבל היא מסוגלת לבוא עם תוצאה מקרובת והערכה מה למשל השגיאה לכל היותר וכך להבטיח לנו שבאמת קיבלנו תוצאה שעונה לדרישות שלנו. כן, מספר שעד כדי שגיאה מבוקרת שעונה לדרישות שלנו שווה לשטח המבוקש.
