עכשיו נציג את הפונקציות הטריגונומטריות. נשרטט לנו שוב את מעגל היחידה. נקודת המוצא שלנו, הנקודה A עם קואורדינטות 1,0 נבחר איזה שהוא t, אני אמחיש עם מספר t חיובי, ונטייל על מעגל היחידה t יחידות בכיוון החיובי. אילו זה היה T שלילי, היינו מטיילים בכיוון ההפוך, עד שננחת בנקודה P שמתאימה ל-t. נשרטט ואני אצבע את הנקודה P של t בצבע צהוב ונסתכל על שתי הקואורדינטות שלה x ו-y. לנקודה כזו אנחנו יכולים לייחס את שני ההיטלים על ציר הx ועל ציר הy בהתאם. נצבע את ההיטל על ציר הy בצבע אדום. נצבע את ההיטל על ציר הx בצבע ירוק ואז נוכל להגדיר כך: הקואורדינטה הx תהיה מה שאנחנו נכנה הקוסינוס של המספר t והקואורדינטה הy תהיה, הפונקציה סינוס תוגדר כקואורדינטה הy של הנקודה t. במילים אחרות ניקח מספר, ובאמצעותו נטייל על מעגל היחידה עד שננחת על הנקודה P של t ונתבונן על הערכים של שני ההיטלים. בצורה כזו הגדרנו זוג של פונקציות. לכל מספר R נציב שני מספרים, אחד יהיה הקוסינוס והשני יהיה הסינוס בואו נראה בדוגמאות שראינו במפגש הקודם. נזכיר לנו את הטבלה לקחנו כמה ערכים. t נתנו לו את האפשרות להיות 0, פאי חלקי 6, פאי חלקי 4 פאי חלקי 3, פאי חלקי 2 והתבוננו על שתי הקואורדינטות של הנקודה שמתאימה להם. בשביל t שווה ל-0 אנחנו נחתנו, למעשה לא זזנו כלל וכלל, אז התחלנו מהנקודה עם קואורדינטות 1 0. זו היתה קואורדינטה x וזו קואורדינטה הy ועכשיו אנחנו נכנה את זה הקוסינוס של t, זו הקואורדינטה הראשונה, הסינוס של t זו הקואורדינטה השנייה. אם טיילנו פאי חלקי 6 יחידות הקואורדינטה הראשונה היתה שורש של 3 חלקי 2. הקואורדינטה השנייה חצי. אז הקוסינוס של פאי חלקי 6 הוא שורש של 3 חלקי 2, סינוס של פאי חלקי 6 חצי ובצורה אנלוגית אם t שווה לפאי חלקי 4, נחתנו על הנקודה עם קואורדינטות שורש 2 חלקי 2, שורש 2 חלקי 2. שני הערכים האלו מתלכדים עם הקוסינוס סינוס של פאי חלקי 4. בשביל הנקודה פאי חלקי 6 פאי חלקי 3. הקואורדינטה הראשונה היתה חצי והקואורדינטה השנייה היתה שורש של 3, חלקי 2, ובשביל הנקודה שבפסגה כאשר t שווה לפאי חלקי 2, הקואורדינטות שלה היו 0 ו-1. בואו נציע על כמה תכונות של הפונקציות הטריגונומטריות. התכונה הראשונה, מרכזית אומנם, בשביל תכונה זו יש לנו דווקא את הזוג המלכותי הזה של הפונקציות הטריגונומטריות: המחזוריות. נזכיר לעצמנו שאם אנחנו נטייל על מעגל היחידה t יחידות ונוסיף עוד 2 פאי יחידות, אנחנו ננחת על אותה נקודה. אותה נקודה משמע אותן הקואורדינטות. אותן הקואורדינטות אותם ההיטלים. על כן, הקוסינוס של t ועוד 2 פאי שווה לקוסינוס של t ובצורה אנלוגית: הסינוס של t ועוד 2 פי שווה לסינוס של t. תכונה שנייה נובעת מהעובדה שההיטלים האלה נעים בין מה לבין מה. אם ניקח את הקואורדינטה השנייה, היא תנוע על ציר הy בקטע הסגור מינוס 1, 1. בצורה אנלוגית הנקודה בירוק, ההיטל על ציר הx, גם היא תנוע בקטע הסגור מינוס 1, 1 הפעם על ציר הx. במילים אחרות, שתי הפונקציות האלה יש להן את תכונת החסימות. לt כלשהוא הן הקוסינוס של t והסינוס של t חסומים מלמטה ולמעלה בהתאם על ידי מינוס 1 ו-1 התכונה השלישית היא נובעת מהעובדה ששתי הפונקציות האלה מוגדרות באמצעות מה? קואורדינטות של נקודה על מעגל היחידה. נזכיר לעצמנו שזה מחייב את x וy לקיים את המשוואה x בריבוע ועוד y בריבוע שווה ל-1 מכאן נקבל את הזהות הפיתגורית שלכל t הקוסינוס של t בריבוע, קרי הריבוע של הקואורדינטה x ועוד הסינוס של t בריבוע, קרי הריבוע של הקואורדינטה y. זה צריך להיות שווה ל-1. שימו לב, הערה, שתכונת החסימות גם כן נובעת למעשה מהזהות הפיתגורית. הרי יש לנו כאן סכום של שני ריבועים. שני הערכים אינם שליליים, מה שמחייב את כל אחד מהערכים האלה לא להיות יותר גדול מ-1. אם קוסינוס בריבוע חייב להיות לא יותר גדול מ-1, זה אומר שקוסינוס לא יכול להיות אלא בין מינוס 1 ל-1. עכשיו נזכיר שאילו אנחנו רוצים להשוות בין הנקודה שמתאימה לt יחידות לבין הנקודה שמתאימה למינוס t נקודות. סליחה. הנקודה שמתאימה ל-t יחידות לבין הנקודה שמתאימה למינוס t יחידות, אם פעם נוסעים למשל t יחידות בכיוון החיובי ופעם נוסעים t יחידות בכיוון השלילי, קרי מינוס t יחידות, אנחו ננחת בנקודה שהיא סימטרית ביחס לציר הx של הנקודה המקורית. שתי הנקודות האלה סימטריות זו בזו, זו ביחס לזו ביחס לציר הx, על כן מתחלקות בקואורדינטה הראשונה ונבדלות בסימן של הקואורדינטה השנייה. מכאן נקבל את התכונה הבאה: קוסינוס של מינוס t הוא מתכלד עם הערך של קוסינוס של t. תכונה זו נקראת: הזוגיות של הפונקציה קוסינוס. מקור השם בכך שאם אנחנו נסתכל על הפונקציות הידועות: הריבוע של, החזקה השלישית של, החזקה הרביעית של, קוסינוס של t מתנהג כמו t בריבוע. להבדיל, אם אנחנו ניקח את הסינוס של מינוס T זה יהיה מינוס הסינוס של T במילים אחרות נקבל את מה שבאופן טבעי נוכל לכנות האי זוגיות של הפונקציה סינוס. בואו נעיר גם כן הערה לתכונה נוספת ולאחר מכן ננמק מדוע היא נכונה. שימו לב, שתי הפונקציות האלו מסתמכות על האפשרות למדוד היטלים על ציר זה או אחר. במובן מסוים זה אותו מכשיר הרי, טבעי לחשוב שאילו היינו מתבוננים על הציור הזה עם הראש מוטה, מה שהיה סינוס הופך להיות קוסינוס ומה שהיה קוסינוס הופך להיות סינוס. ננסח את התופעה הזו בצורה כזו: תתארו לעצמכם שאנחנו רוצים לסובב את כל הציור הזה, פאי חלקי 2 יחידות בכיוון השלילי. אם כך, אם זו הנקודה שמתאימה ל T, אם נלך ברוורס, אם נלך אחורה פאי חלקי 2 יחידות, זו תהיה הנקודה T מינוס פאי חלקי 2. אז ראו נא המשולש הזה, הופך להיות המשולש הזה, ומה שהציור מזמין הוא שהקורדינטה הראשונה של הנקודה הזו, קרי קוסינוס של T מינוס פאי חלקי 2 מתלכד עם מה, עם הקורדינטה השניה של הנקודה שמתאימה ל T, שהרי היא סינוס של T. השוויון הזה מצביע לעבודה שלמעשה הפונקציה סינוס איננה אלא מה, הפונקציה קוסינוס מוזזת, עוד מעט אנחנו נראה בגרפים של שתי הפונקציות. בוא נשרטט חלק מהגרף של הפונקציה סינוס. אז הנקודה תתחיל לנוע וההיטל שלה על ציר הY, הוא מה שניסתי להמחיש עם יד שמאל. אם נפרוס את ההיטלים כפונקציה של T, אז מה שנקבל יהיה משהו שיראה כך. אנחנו נטייל ביחד. ככל ש T נע בין 0 לבין פאי חלקי 2, הקורדינטה Y עולה אם נציג את זה בצורה של גרף פרוס ככל שT נע בין 0 לפאי חלקי 2, אנחנו לוקחים כפי שהזכרנו ומיישרים את הT. ואם נשרטט את הגובה Y כפונקציה של T נקבל את החלק על כל פנים של הגרף המוכר של הפונקציה C. כמובן שאחרי שהקפנו פעם אחת, קרי טיילנו אורך של 2 פאי יחידות, גאומטרית אנחנו מתחילים סיבוב נוסף והפונקציה, או הגרף של הפונקציה סינוס תחזור על עצמה כביטוי למחזוריות של התופעה עצמה. בצורה אנלוגית, בואו נקח את הגיר בצבע ירוק, ככל שאנחנו נעים על מעגל היחידה אנחנו יכולים להתבונן הפעם, ככל ש T רץ, זה החלק הקשה, אם נסתכל על ההיטלים ונפרוס אותם על הגרף, נקבל משהו שחלקו הראשון נראה כך. אנא מכם כהערה על גרפים של פונקציות, הדרך הנכונה להתבונן על הציור הזה זה אם נטה את הראש בצורה כזו ואז נוכל לבטא אכן את X כפונקציה של T. הבא נשלים את ההצגה של הפונקציות הטריגונמטריות על ידי כך שנגדיר את הפונקציה טנגנס: טנגנס של T, ההגדרה היא שאנחנו נקח את הסינוס של T חלקי הקוסינוס של T. אלא מה, נשים לב שהביטוי הזה אינו מוגדר לכל T, הוא רק יכול להיות מוגדר כל עוד הקוסינוס של T שונה מ-0. מתי הקוסינוס שווה ל-0? הקוסינוס שווה ל-0 כאשר אנחנו נמצאים על נקודה על מעגל היחידה שהקורדינטה שלה, הראשונה שלה הינה אפס. אז או שאנחנו בנקודה כזו או שאנחנו בנקודה כזו. הנקודה הזו, אנחנו מגיעים אליה כעבור פאי חלקי 2 יחידות של טיול. ואנחנו נגיע לנקודה הזו אם נוסיף לה עוד פאי יחידות של טיול, וכהנה וכהנה. במילים אחרות תחום הגדרה של הפונקציה טנגנס, הוא כל עוד T שונה מפאי חלקי 2 יחד עם כפולות שלמות של פאי. K הוא מספר שלם כלשהו. בואו נזכיר לעצמנו, בוא נראה, מהו הקשר בין ההצגה הזו של הפונקציות הטריגונומטריות לבין ההצגה של הפונקציות הטריגונומטריות, כפי שלמדתם בתיכון אולי, באמצעות משולשים. בהינתן משולש ישר זווית אנחנו מתבוננים על אחת מהזוויות נקרא לה T, אשר איננה הזווית הישרה. נניח כי אורכי הצלעות הן A, B ו-C. נהוג להגדיר את הקוסינוס של T כיחס בין: האורך של הצלע ליד A, חלקי האורך של האלכסון או של היתר A חלקי C. בצורה דומה הסינוס של T מוגדר כ-B חלקי C. ובצורה אנלוגית הטנגנס של T מוגדר כיחס בין B חלקי A. שימו לב, אולי לא מצביעים על זה מפורשות, אבל האמת היא שהיחסים האלו הם לא יחודיים למשולש הזה, אלא הם למעשה פונקציה של הזווית או המידה של הזווית. במובן הזה שהיה ונכפיל את כל אחד משלושת הגדלים: A, B, C בקבוע חיובי כלשהו, אז מה שנקבל יהיה למעשה: משולש שגאומטרית יהיה דומה, מלשון דמיון בין משולשים, למשולש המקורי. והערכים שנקבל קוסינוס, סינוס וטנגנס בהתאם, יתלכדו עם הערכים שקיבלנו מלכתחילה. אז למעשה הערכים האלו והפונקציות הן תלויות זווית ולאו דווקא המשולש המשמש אותנו כדי לחשב. אם כך, אנחנו יכולים לבחור מראש משולש עבור זווית נתונה כך שאורך האלכסון או היתר יהיה בדיוק יחידה אחת. ובמקרה זה, כל משולש כזה, יש לו ייצוג באמצעות משולש בתוך מעגל היחידה, כאשר הקודקוד שמתאים לזווית שאנחנו מתמקדמים בה, הוא מתלכד עם הראשית.
