הבה נציג כמה זהויות, אה, טרגונומטריות. הפונקציות הטרגונומטריות הן עתירות יחסים ביניהן. למשל בהצגה המקורית שלנו הצגנו מלכתחילה את הזהות הפיתגורית אשר מקשרת בין שתי הפונקציות קוסינוס וסינוס כפי שבטח אתם זוכרים יש סדרה ארוכה של זהויות. הבה נציג זהות אחת שממנה אפשר יהיה להסיק כמסקנות זהויות אחרות. נציג את זה כמשפט: לכל זוג של מספרים ממשיים מתקיים הקוסינוס של ההפרש של שני המספרים T מינוס S ניתן להצגה של מכפלה של קוסינוס של הראשון כפול הקוסימנס של השני ועוד הסינוס, של הראשון כפול הסינוס של השני. בואו נשים לב האם בכל זאת בחרנו את הסימונים. -נכונים במקרה המיוחד של T שווה לS T מינוס C שווה לאפס, אז מצד שמאל של המשוואה מה שמוצג לנו כאן זה הקוסינוס של אפס, ערכו שווה לאחד. מצד ימין של המשוואה אם T שווה ל-S, מה שמופיע כאן זה הקוסינוס בריבוע של T הסינוס בריבוע של T ואמנם קוסינוס בריבוע ועוד סינוס בריבוע של אותו T אכן הוא אחד. אז בואו נציג הוכחה. של משפט זה. הדבר הראשון שאני רוצה לטעון זה הדבר הבא: נוכל להניח, שהן T והן S מקיימים את התנאי הבא. הם מספרים שניהם בין אפס לבין שני פאי. שימו לב מה אני רוצה לעשות כאן. אמנם אנחנו מציגים משפט שהוא נכון לכל זוג של מספרים T ו-S אבל מה שאני מתיימר לעשות כאן, זה מה שאנחנו מכנים רדוקציה. מהמקרה הכללי אנחנו נמחיש, נראה, ננמק שאנחנו יכולים להסתפק בהוכחה של מקרים אשר מהם נוכל להסיק את כלל הטענה. מדוע אמנם אני יכול להניח שהמספרים האלו הם בין אפס לבין שני פאי? כי הרי, אם אתם זוכרים אחת התכונות המרכזיות של שתי הפונקצית זה שהן קוסינוס וסינוס הן מחזוריות. היה ואני אקח מספר, אם אני מוסיף או גורע כפולה שלמה של שני פאי. הן קוסינוס והן סינוס מקבלות את אותו הערך. על כן אילו היינו עוסקים מלכתחילה עם איזשהו מספר שהוא גדול משני פאי. נחסיר יחידה אחת של שני פאי. אם עדיין נשאר לנו מספר שהוא גדול משני פאי נמשיך ונגרע, נמשיך ונגרע, עד שבסופו של דבר נשאר עם מספר שהוא בין אפס לשני פאי. אילו היינו עוסקים במספר שהוא בעצמו היה קטן מאפס למשל, היינו יכולים להוסיף פעם אחת שני פאי, אולי פעמיים, פעולה שלמה של שני פאי עד שנוכל לקבל ביטוי, שהוא נמצא בין אפס לשני פאי. בצורה אנלוגית אנחנו ניתן לגבי S אז ההנמקה היא, משיקולים של מחזוריות של הפונקציות קוסינוס וסינוס. עוד משהו שאנחנו יכולים להניח. נוכל להניח גם, ש-T מספר שהוא גדול או שווה ל-S. שימו לב בטענה המקורית, בניסוח המקורי של המשפט, לא ביקשנו שתהיה גדול או שווה ל-S שוב מה שאני טוען שאני יכול לעסוק רק במקרה לעשות רדוקציה של המקרה הכללי, למקרה ש-T גדול או שווה S, מדוע? לפי שיקול של זוגיות של הפונקצייה קוסינוס. לולא היה T גדול או שווה S מה שהיינו מקבלים זה ש-T קטן מ-S. במקרה זה אם T קטן מ-S אנחנו נקבל שלילי מה שנוכל לעשות זה להפוך ולעבוד במקום T מינוס S ו-S מינוס T והקוסינוס של מספר והקוסינוס של התני שלו הם אותו מספר, אם כך מהמקרה הכלל, נוכל להצטמצם להנחה ששני המספרים האלה המעורבים הם בין אפס לבין שני פאי. ויחד עם הדרישה הנוספת או המקרה המיוחד, שה-T גדול או שווה ל-S. שימו לב שבתנאים אלה, מה שהתקיים זה גם כן, ש-T מינוס S גם הוא נמצא בין אפס לבין שני פאי. אם אתם רוצים לחשוב על זה באופן גיאומטרי על הישר, אם יש לכם פה את אפס ופה את שני פאי. פה יש לכם את S ופה יש לכם את T, המרחק בין T ל-S בודאי שלא יכול להיות ארוך או יותר גדול מהאורך של הקטע שמכיל אותם. אם אנחנו רוצים לחשוב על זה באופן גיאומטרי על מעגל היחידה יש לנו כאן מעגל שאורכו שני פאי. קודם כל מגיע S אחר כך מגיע T אז אורך הקשת שמחברת בין T לבין S, בוודאי שלא יכול להיות יותר גדול מהאורך או ההיקף של מלוא המעגל. אם כך, נוכל להמצטמם לעבוד עם שלושת הערכים S T ו-T מינוס S; כאורכים על מעגל היחידה בסיבוב ראשון, נזכיר לעצמינו מול מעגל היחידה הנקודה A שמשמשת כראשית על הטיולים למעגל. נטייל T יחידות עד שננחת על נקודה שמתאימה ל-T. אנחנו תחת ההנחה, ש-S קטן הוא שווה ל-T, לכן אם נתחיל מנקודה A, ונשרטט מסלול שאורכו S אנחנו ננחת על נקודה שמקדימה את הנקודה שמתאימה ל-T. בואו נכנה את הנקודה הזו בשם Q, בואו נכנה את הנקודה הזו בשם R. בואו, בואו נתבונן לרגע על הקשת שמחברת בין Q לבין R הנקודה שמתאימה ל-S ובין הנקודה שמתאימה ל-T. מהו האורך של הקשת? אז להזכירכם אם אני לוקח את האורך את המרחק על המעגל בין הנקודה A עד הנקודה Q מה שיהיה לנו זה S יחידות של אורך. עד ל-T יש הנקודה שמתאימה ל-T היא R יש T נקודות של אורך, לכן האורך של הקשת שמחברת את Q ל-R היא בעלת אורך T מינוס R יחידה. מה שנוכל לעשות אם כך זה לנוע אחורה, עד שנבחר או נוכל למקם נקודה על מעגל היחידה, שמתאימה לאורך T מינוס S. נכנה את הנקודה הזו בשם T. במילים אחרות, המרחק על המעגל בין הנקודה Q, לא בין הנקודה, בין הקשת QR,הוא אותו מרחק על המעגל של הקשת TA. אולי יהיה יותר אסתטי אם נציג את הקשר לכיוון, מתחילים ב-A ונוסעים עד ל-T. במקרה זה נוכל לחזור על טיעון שכבר עשינו שימוש בו יותר מפעם אחת. נתבונן על המיתרים שמחברים בין הזוגות בהתאם. לאורכים שווים על מעגל היחידה, נוכל לקבל אורכים שווים של המיתרים כנקודות במישור. במילים אחרות, המרחק בין הנקודה Q לבין הנקודה R כנקודות במישור, שווה למרחק בין הנקודה A לנקודה T במישור. שימו לב, בהיותם מספרים חיוביים, שני המספרים האלה הם שווים אם ורק אם אורכם הריבוע שלהם, ריבועי האורכים גם הם שווים. נוח יותר לעבוד עם ריבוע של מרחק על מנת להימנע במידת האפשר בשימוש של שורש ריבועי. אז הבה נתרגם את העובדה הגאומטרית של השיוויון הזה במונחים של האלגברה של הקואורדינטות של הנקודות. מי הן הקואורדינטות של ארבעת הנקודות? הנקודה הזו יש לה שתי קואורדינטות, הקואורדינטה הראשונה זה כמובן קוסינוס של T, סינוס של T. הנקודה הזו, Q, בעלת קואורדינטות קוסינוס של S, סינוס של S. והנקודה T היא בעלת קואורדינטות קוסינוס של T מינוס S, קואורדינטה ראשונה. סינוס של T מינוס S, קואורדינטה שנייה. A כמובן בעלת קואורדינטות 1,0. בואו נתרגם את העובדה הגאומטרית שריבוע המרחק בין הנקודה Q לבין הנקודה R מתלכד עם הריבוע של המרחק בין הנקודה T לנקודה A במונחים של האלגברה. אז קודם כל, מהו הריבוע של המרחק בין הנקודה Q לנקודה R? הפרש הקואורדינטות הראשונות, קוסינוס T מינוס קוסינוס של S, כל זה בריבוע, ועוד סינוס של T מינוס סינוס של S, כל זה בריבוע. ולמה זה שווה? נזכור את הנוסחה של ריבוע של סכום או הפרש של מספרים, ונקבל, הריבוע של הראשון, ועוד הריבוע של השני, מינוס פעמיים הראשון כפול השני, קוסינוס של T כפול קוסינוס של S, ועוד, נפתח את הריבוע של ההפרש של הסינוסים, הריבוע של הסינוס של T ועוד הריבוע של הסינוס של S, מינוס פעמיים הסינוס של T כפול הסינוס של S. ונשים לב שמה שכתוב כאן, קוסינוס בריבוע ועוד סינוס בריבוע, עוד פעם, קוסינוס בריבוע ועוד סינוס בריבוע של T, קוסינוס בריבוע ועוד סינוס בריבוע של T זה 2. מינוס פעמיים קוסינוס של T כפול קוסינוס של S ועוד סינוס של T כפול סינוס של S. מצד שני, מה הריבוע של המרחק בין הנקודה T לבין הנקודה A? הריבוע של הפרש הקואורדינטות הראשונות קוסינוס של T מינוס S מינוס 1 בריבוע, ועוד סינוס של T מינוס S בריבוע. ואם נפתח את שני הריבועים האלה,או הריבוע כאן נקבל הריבוע של הראשון, קוסינוס בריבוע של T מינוס S, ועוד הריבוע של השני, מינוס פעמיים קוסינוס של T מינוס S כפול 1, ועוד הריבוע של T מינוס S. ולמה זה שווה? קוסינוס בריבוע של T מינוס S ועוד סינוס בריבוע של T מינוס S אמנם 1, ועוד 1 זה 2, מינוס פעמיים קוסינוס של T מינוס S וכמובן אם נסתכל על שני הביטויים האלה, בשניהם מופיע 2 נוכל לצמצם או לחלק במינוס 2 ולכן נקבל את הזהות שביקשנו להוכיח. כפי שאנחנו נוהגים לסמן במתמטיקה הנה סוף ההוכחה. בואו נסיק כמה מסקנות מהמשפט הזה זה גם כן מצב פורה מאוד במתמטיקה, אנחנו טוענים, אנחנו מוכיחים משפט ומתברר שהאמת הזו מגלמת בתוכה יותר מאשר מה שאנחנו רואים מלכתחילה. ראשית הדבר הבא, מה קורה אם אנחנו ניקח המקרה המיוחד ש-S שווה לפאי חלקי 2? אז, אם נתרגם הקוסינוס של T מינוס פאי חלקי 2, יהיה שווה למה? הקוסינוס של T כפול הקוסינוס של פאי חלקי 2 ועוד הסינוס של T כפול הסינוס של פאי חלקי 2. מהם הערכים המיוחדים האלה? פאי חלקי 2, אנחנו בקוטב הצפוני הקוסינוס מתאפס, והסינוס של פאי חלקי 2 הוא אמנם 1. על כן, מה שנקבל זה שהקוסינוס של T מינוס פאי חלקי 2, שווה לסינוס של T. זו הזהות שהצבענו כאשר הגדרנו את הפונקציות הטריגונומטריות והמחשנו את הזהות שכרגע הוכחנו על מעגל היחידה. ומגלמת את העובדה שבמובן מסוים שתי הפונקציות הן אותה פונקציה או אם ננסח ביתר דיוק שהפונקציה סינוס אינה אלא הפונקציה קוסינוס מוזזת בפאי חלקי 2 יחידות. מה קורה אם במקום T מינוס פאי חלקי 2 נרשום ערך S בביטוי שכרגע כתבנו? מה שכתוב כאן זה שהקוסינוס של ST מינוס פאי חלקי 2 שווה למהו הסינוס של T בלשון זו. אם T מינוס פאי חלקי 2 שווה ל-S אז T שווה ל-S ועוד פאי חלקי 2, אז הסינוס של S ועוד פאי חלקי 2. שוב התבוננות דומה. מה שהזהות הזו מגלמת היא את העובדה שהפעם אנחנו יכולים לחשוב על קוסינוס כפונקציה סינוס מוזזת בדיוק באותן היחידות אלא בכיוון השני. מה קורה אם נכתוב מהו הקוסינוס של S ועוד פאי חלקי 2? בואו נכתוב את זה כאן קוסינוס של S ועוד פאי חלקי 2 אמנם לא כתבנו מהו הקוסינוס של הסכום אבל הפרש וסכום זה הינוח במובן הבא. תוך שימוש בזהות שהוכחנו הקוסינוס של הסכום אפשר יהיה להציג אותו כקוסינוס של S מינוס מינוס פאי חלקי 2 ואם נפעיל את הזהות שכרגע הוכחנו אז מה שנקבל זה הדבר הבא: זה הקוסינוס של הראשון כפול הקוסינוס של השני ועוד מכפלת הסינוסים. סינוס של הראשון כפול הסינוס של השני, קרי מינוס פאי חלקי 2. מה אנחנו יכולים להגיד על שני הערכים המיוחדים האלו? הפעם במקום להיות בקוטב הצפוני פאי חלקי 2 יחידות, עכשיו אנחנו בקוטב הדרומי, הקוסינוס גם הוא מתאפס אבל הפעם הסינוס של מינוס פאי חלקי 2 הוא מינוס 1. אז מביטוי זה מה שנשאר לנו זה סינוס של S עם סימן מינוס. הבה נרשום את זה כאן. זה הסינוס של S עם סימן מינוס. בואו ניישם לפנינו עוד מסקנה. בואו נתבונן בביטוי שמופיע כאן לפנינו ונעשה שימוש בעובדה שהפונקציה קוסינוס הינה פונקציה זוגית. במילים אחרות אם נמיר את מקומם של הT והפאי חלקי 2 במילים אחרות נכתוב קוסינוס של פאי חלקי 2 מינוס T, נקבל את הערך של סינוס של T. כמובן, במובן מסוים זו אותה אינפורמציה שמופיעה בזהות בצד שמאל אבל הצגה זו תאפשר לנו לקשר בין ההצגה שלנו של הפונקציות הטריגונומטריות בצורה שאולי למדתם בתיכון, שהזכרנו באמצעות משולש. אם בונים משולש ישר זווית ועל אחד מהקודקודים שהיננו ממוקם בזוית הישרה אנחנו משרטטים זווית במידה T אז הזווית שממול היא בעלת מידה פאי חלקי 2 מינוס T. אז מה שכתוב כאן מכבד בדיוק את השם או הקשר בין השמות. הקוסינוס זה הקו-ערך של הסינוס במובן הבא: הסינוס של T זה הערך של הצלע ממול חלקי האורך של היתר. אבל אם נתבונן מהפרספקטיבה של פאי חלקי 2 מינוס T, זה אמנם הערך של הצלע שליד חלקי האורך של היתר וזה אמנם הקוסינוס של הזווית שאנחנו דנים. בתרגיל אתם תקבלו הזמנה לנסח ולהוכיח זהויות חלקן מוכרות וחלקן אולי חדשות מעולם הזה, הקסום של הפונקציות הטריגונומטריות.
