[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА] [МУЗЫКА]
Двойственным в понятии управляемости
служит свойство наблюдаемости непрерывных систем.
Пусть у нас имеется пара процессов одной и той же системы,
заданных на одном и том же промежутке времени.
Система, заданная в пространстве состояний,
или, что то же самое, пара матриц {A, C} наблюдаема,
если из совпадения входов и выходов
следует совпадение состояний.
Теорема двойственности формулируется следующим образом.
Наблюдаемость пары матриц {A, C} эквивалентна
управляемости пары сопряженных матриц {A*, C*}.
Доказательство.
По линейности системы достаточно рассмотреть случай,
когда вход и выход равны 0.
В этом случае мы получаем что 0 —
это выход первого процесса,
это по формуле Коши матричная экспонента,
умноженная на стартовое значение.
И Cx1(t) = C на матричную экспоненту,
умноженное на конечное значение первого процесса.
Если сравнить полученные
условия со вторым условием управляемости,
то мы получаем полное совпадение с точностью до сопряженных матриц.
Таким образом, на случай наблюдаемости
сразу переносятся все признаки управляемости.
Достаточно просто вместо самих исходных матриц A и C поставить их сопряженные.
И мы получаем признаки наблюдаемости Iн Iн–VIIн,
которые я даже не буду выписывать, но на которые буду ссылаться.
Что касается дискретных систем, то возникает та же проблема.
Для того чтобы можно было говорить о наблюдаемости,
длина промежутка, на которые сравниваются выходы,
должна быть не меньше, чем порядок системы.
После этого утверждение теоремы
двойственности будет справедливо и для дискретных систем.
Просто потому, что оно эквивалентно условию Iн.
А по уже доказанному условию все
остальные условия наблюдаемости эквивалентны первому.
Рассмотрим вопрос об
эквивалентности уравнений вход-выход и уравнений в пространстве состояний.
Уравнение вход-выход синее, уравнение в пространстве состояния — красное.
В каком смысле они могут быть эквивалентны?
Система — это отображение из входа в выходы.
Системы эквивалентны, если они задают одно и то же отображение.
Проблема только в том,
что процессом первой
системы вход-выход является пара функций,
а процессом второй системы — тройка функций,
в которую кроме входа и выхода входит еще и состояние.
Чтобы навести в этом какой-то порядок, объявим системы эквивалентными,
если из второго уравнения следует первое,
а из первого уравнения следует существование таких начальных данных x0,
что решение второго уравнения удовлетворяет условию 1.
Выше были предложены два способа,
переводящие уравнение вход-выход в пространство состояний,
которые приводят к матрице A в пространстве состояний
либо в так называемой первой нормальной форме, или форме Фробениуса,
либо ко второй нормальной форме — это жорданова форма.
В обоих случаях, как нетрудно убедиться,
система в пространстве состояния наблюдаема, а это
приводит к существованию единственности искомого x0.
Это нетрудно проверить самостоятельно,
используя определение наблюдаемости.