Видео 2.2. «Наблюдаемость»

Loading...

From the course by Saint Petersburg State University

Введение в теорию кибернетических систем

1 rating

Saint Petersburg State University

Введение в теорию кибернетических систем

1 rating

В основе предлагаемого курса лежат лекции, которые читаются студентам математико-механического факультета на 3-ем году обучения сразу после поступления на кафедру теоретической кибернетики. Цели курса: Изложить по возможности строго и полно основы теории управления в следующем объеме: линейная теория, синтез обратных связей для стабилизации линейных систем, линеаризация нелинейных систем в малом, линеаризация обратными связями, дискретизация непрерывных систем, анализ нелинейных систем. Заинтересовать студентов и подготовить их к восприятию более углубленных специальных курсов. Выявить у обучаемых и убедить их заняться устранением пробелов в базовом математическом образовании.

From the lesson

Модуль 2. Управляемость, наблюдаемость, устойчивость и стабилизация линейных стационарных систем

Видео 2.2. «Наблюдаемость»5:47

Meet the Instructors

Бондарко Владимир Александрович
доцент
Кафедра теоретической кибернетики

[МУЗЫКА]

[МУЗЫКА] [МУЗЫКА]

Двойственным в понятии управляемости

служит свойство наблюдаемости непрерывных систем.

Пусть у нас имеется пара процессов одной и той же системы,

заданных на одном и том же промежутке времени.

Система, заданная в пространстве состояний,

или, что то же самое, пара матриц {A, C} наблюдаема,

если из совпадения входов и выходов

следует совпадение состояний.

Теорема двойственности формулируется следующим образом.

Наблюдаемость пары матриц {A, C} эквивалентна

управляемости пары сопряженных матриц {A*, C*}.

Доказательство.

По линейности системы достаточно рассмотреть случай,

когда вход и выход равны 0.

В этом случае мы получаем что 0 —

это выход первого процесса,

это по формуле Коши матричная экспонента,

умноженная на стартовое значение.

И Cx1(t) = C на матричную экспоненту,

умноженное на конечное значение первого процесса.

Если сравнить полученные

условия со вторым условием управляемости,

то мы получаем полное совпадение с точностью до сопряженных матриц.

Таким образом, на случай наблюдаемости

сразу переносятся все признаки управляемости.

Достаточно просто вместо самих исходных матриц A и C поставить их сопряженные.

И мы получаем признаки наблюдаемости Iн Iн–VIIн,

которые я даже не буду выписывать, но на которые буду ссылаться.

Что касается дискретных систем, то возникает та же проблема.

Для того чтобы можно было говорить о наблюдаемости,

длина промежутка, на которые сравниваются выходы,

должна быть не меньше, чем порядок системы.

После этого утверждение теоремы

двойственности будет справедливо и для дискретных систем.

Просто потому, что оно эквивалентно условию Iн.

А по уже доказанному условию все

остальные условия наблюдаемости эквивалентны первому.

Рассмотрим вопрос об

эквивалентности уравнений вход-выход и уравнений в пространстве состояний.

Уравнение вход-выход синее, уравнение в пространстве состояния — красное.

В каком смысле они могут быть эквивалентны?

Система — это отображение из входа в выходы.

Системы эквивалентны, если они задают одно и то же отображение.

Проблема только в том,

что процессом первой

системы вход-выход является пара функций,

а процессом второй системы — тройка функций,

в которую кроме входа и выхода входит еще и состояние.

Чтобы навести в этом какой-то порядок, объявим системы эквивалентными,

если из второго уравнения следует первое,

а из первого уравнения следует существование таких начальных данных x0,

что решение второго уравнения удовлетворяет условию 1.

Выше были предложены два способа,

переводящие уравнение вход-выход в пространство состояний,

которые приводят к матрице A в пространстве состояний

либо в так называемой первой нормальной форме, или форме Фробениуса,

либо ко второй нормальной форме — это жорданова форма.

В обоих случаях, как нетрудно убедиться,

система в пространстве состояния наблюдаема, а это

приводит к существованию единственности искомого x0.

Это нетрудно проверить самостоятельно,

используя определение наблюдаемости.

Explore our Catalog

Join for free and get personalized recommendations, updates and offers.

Coursera provides universal access to the world’s best education, partnering with top universities and organizations to offer courses online.

© 2018 Coursera Inc. All rights reserved.

Download on the App Store

Get it on Google Play