0:00
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]
Стабилизация аффинной
системы предусмотрено именно для того,
чтобы осуществить синтез регулятора типа обратной связи.
Если мы ее линеаризовали, то она приведена к виду
z с точкой = Az + B /
β и × u − α(x),
где T(x) — соответствующий диффеоморфизм.
Построим такую матрицу K, что сумма A + BK — гурвицева.
Обратная связь вида u = α +
βKT(x) приводит к линейному устойчивому уравнению замкнутой системы: z
с точкой = A + BK × z в области D.
Аналогично строятся пропорциональные интегрально-дифференцирующие,
пропорционально интегральные регуляторы.
Чтобы понять, как полученные
процедуры применяются для конкретных
систем управления, разберем пример линеаризации двухзвенного
манипулятора с упругим шарнирным соединением.
Уравнение такой системы имеют вид x с
точкой = f(x) + gu,
g от x не зависит.
А f(x) — это четырехмерный вектор с
выписанными компонентами.
g имеет единственную ненулевую компоненту на четвертом месте.
Мы в соответствии с проделанными рассуждениями
ищем T1, такое,
что dTi / dx × g = 0 для i-того от 1 до 3.
А производная от T4 / dx × g ≠ 0.
И, соответственно, оранжевые уравнения
отражают связь между i-тым и i +
1-м компонентами функции T.
Итак, исходя из конкретных функций f и g,
мы видим, что dTi по Tg = 0.
И Ti + 1 выражается так,
как нужно — через Ti.
Раз производная от T1
/ dx × g = 0,
а g имеет единственный ненулевой компонент — последний,
то dT1 / dx4 = 0,
T1 не зависит от x4.
Раз это так, то T2(x),
в соответствии с оранжевыми уравнениями, выражается так,
как написано в новом оранжевом уравнении.
Далее.
Производная от T2 / dx × g = 0.
Из этого следует, что dT2 /
dx4 = 0.
А в оранжевом уравнении мы видим,
что dT2 / dx4 — это dT1 / dx3.
Следовательно, эта производная dT1 / dx3 = 0.
Подставляя это новое значение,
получаем выражение для T3.
А поскольку dT3 / dx × g = 0,
то dT3 / dx4 = 0,
откуда dT2 / dx3 тоже = 0.
Следовательно, dT1 / dx2 = 0
и T2 / x — это просто dT1 / dx1 × x2.
Мы получили, что T1 не зависит еще и от x2,
поскольку частная производная dT1 / dx2 = 0.
Отсюда следует,
что T2 =
произведению dT1 / dx1 × x2,
T3 — это dT / dx1 × x2 +
dT / dx2 × квадратную скобку.
Поскольку производная от T4 / dx × g ≠ 0,
а g опять-таки имеет только
одну ненулевую компоненту, мы получаем,
что 0 не должен быть = dT3 / dx3,
что в свою очередь = b × dT2 / dx2.
И, продолжая это равенство, получаем,
что 0 не должна быть равна производная T1 / dx1.
На этом месте рассуждений наступает момент волюнтаристского выбора.
Мы можем сами выбирать ту функцию, у которой производная не ≠ 0.
Самый простой выбор, естественно — выбрать T1(x),
равное x1.
Тогда из полученных равенств по цепочке получаем,
что z1 = x1, z2 = x2,
z3 — это −asin
x1 − b × разность между x1 и x3.
И аналогично: z4 — это −ax2 ×
cos x1 − b × (x2 − x4).
Подставляя это в уравнение,
получаем цепочку интеграторов: z1 с точкой = z2,
z2 с точкой = z3, z3 с точкой = z4.
А последнее уравнение имеет как раз желательный для нас вид.
Это некое нелинейное слагаемое
+ слагаемое, пропорциональное u.
Теперь мы можем, как это и было рекомендовано,
разбить u на два слагаемых.
С помощью одного из них уничтожить всю нелинейность,
а вторым стабилизировать полученную управляемую систему.
Таким образом, действительно,
полученные утверждения относительно того,
что для линеаризуемой системы всегда искомые
диффеоморфизм и матрицы α и β удовлетворяют
неким дифференциальным уравнениям,
реально помогает нам построить стабилизирующую обратную связь.
Итак, мы рассмотрели нелинейные системы,
и в некотором смысле перенесли на них всю или почти всю линейную теорию.
Многие вопросы, разумеется, не были в этом курсе освещены,
отчасти потому — некоторые, — из-за того, что курс вводный,
и такие вопросы будут затронуты позже, на специальных курсах.
А некоторые вопросы просто еще не решены,
поскольку теория управления — это живая область науки,
которая еще развивается и ждет новых
исследователей.
Бондарко Владимир Александровичдоцент
