В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Матрица поворота. Активная и пассивная точка зрения
Loading...
From the course by Moscow Institute of Physics and Technology
Кинематика
14 ratings
From the lesson
Способы задания ориентации тела
Meet the Instructors
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
Продолжаем говорить о твердом теле и о задаче ориентации твердого тела.
Мы только что с вами получили матрицу направляющих косинусов для твердого тела,
и я напомню две основные формулы, которые у нас были выведены.
Во-первых, разложение вектора одного и того же в системе
координат, связанной с телом, и в системе координат неподвижной
через матрицу направляющих косинусов у нас записывалось вот таким образом.
И во-вторых, мы говорили, что если на матрицу A, матрицу направляющих косинусов,
смотреть как на матрицу, которая задает некоторые преобразования,
как мы договорились, преобразования, сохраняющие модуль вектора, то матрица A,
действуя на вектор r, создает вот такой вот его образ вот по такому правилу.
Мы также договорились, что матрица A у нас ортогональна,
и теперь давайте продолжим говорить о свойствах ортогональных матриц.
Вообще, свойств у ортогональных матриц достаточно много, но мы сегодня
поговорим об избранных — о тех, которые нам непосредственно понадобятся.
Свойства ортогональных матриц.
Первое, что нам, наверное, просто необходимо осознать про эти
ортогональные матрицы — это то, что у них хороший определитель.
Ну смотрите, мы договорились,
что A транспонированное * A — это единичная матрица, вот.
Поэтому детерминант такого произведения — 1, а значит,
определитель матрицы A — тоже 1.
+1 или −1 — мы не знаем.
Но вот либо так, либо так.
Это одна важная вещь, которая нам пригодится.
И второе: давайте рассматривать множество
всех ортогональных матриц, у которых определитель 1.
Значит, рассмотрим все ортогональные
матрицы, такие,
что их определитель — 1.
Оказывается, это множество находится во взаимно однозначном
соответствии со всеми преобразованиями поворота.
Значит, вот это вот множество взаимно
однозначно множеству
всех поворотов базиса
E, [ШУМ]
базиса E — базиса, связанного с телом.
Ну, действительно, как вы помните, мы писали, что такое матрица A.
Ее столбцы — это коэффициенты разложения базисных
векторов базиса E по неподвижному базису.
Соответственно, если мы задаем матрицу A,
то она своими компонентами однозначно определяет базисные векторы базиса E.
И наоборот, если мы задаем базис E,
то его компоненты однозначно определяют коэффициенты матрицы A.
Итак, мы получаем взаимно однозначное соответствие между всеми матрицами A — вот
все ортогональные матрицы A с единичным определителем — и
множеством всех поворотов базиса, связанного с телом.
Это тоже важный факт, который нам пригодится.
Вот теперь давайте посмотрим на какой-то конкретный пример поворота,
получим матрицу поворота, ортогональную матрицу.
Раз уж поворот соответствует матрице, давайте ее напишем.
Поворот будет такой.
Я нарисую прямоугольную декартову систему координат xyz.
В этой системе координат рассматривается какой-то абстрактный вектор r.
И мы говорим: а теперь давайте повернем все это
замечательное пространство вокруг оси x.
Поворот вокруг
оси x на угол φ какой-то, на угол φ.
Вот.
Ну, я сейчас нарисую вектор r, давайте другим цветом его обозначим.
Вектор r взяли и повернули на угол φ.
[ШУМ] Повернули все пространство,
естественно, но обозначаем это как поворот вектора r.
Вот здесь вот угол φ обозначим.
И для тех построений, которые нам сейчас понадобятся,
давайте вместе с вектором r повернем вот этот вот треугольничек.
r — ортогональная проекция вектора r на ось y, вот такой треугольник.
Давайте считать, что он весь и повернулся.
Значит, вот так это выглядит как-то.
Вот этот вот угол между осью
y и вот этим катетом прямоугольного треугольника — тоже φ.
Нарисовали повернутый вектор r,
и теперь давайте посчитаем.
Да, давайте вот этот вектор у нас будет r, а вот этот вот — r' после поворота,
чтобы работать во всех обозначениях, о которых мы договорились.
Теперь давайте посчитаем координаты вектора r' после преобразования поворота.
Это у нас x', y' и z'.
Поскольку поворот у нас происходил вокруг оси x,
x', понятное дело, никак не изменился.
Давайте смотреть, что у нас с координатой y' произошло.
Длина вот этого вот отрезка у нас равняется y.
Я тут его тоже спроецирую и здесь тоже обозначу проекцию.
Соответственно, игрековая компонента в разложении вектора r' по базису x,
y, z будет у нас записываться как y * cosφ — это вот это расстояние.
Вот здесь вот у нас угол тоже получается φ.
y * cosφ
− z * sinφ.
z — это вот этот вот отрезочек.
Теперь зетовая компонента вектора r'.
z' = Давайте смотреть, как у нас z' выразится.
z' — это у нас сумма y * sinφ
и z * cosφ.
Итак, мы получили соответствие между x', y' и z' и x, y, z.
Можем выписать соответствующую ортогональную матрицу преобразования.
А, давайте я ее, наверное, то есть,
собственно, здесь же и напишу рядом.
Матрица A.
Из этих соотношений видно,
что первый столбец — 1, 0, 0, второй столбец — 0,
cosφ, sinφ, коэффициенты при y, и третий
столбец — коэффициенты при z,
0, −sinφ, cosφ.
Матрица поворота вокруг оси x.
Конечно же, аналогичным образом можно выписать матрицы для
поворотов вокруг оси y и вокруг оси z.
Вот я думаю, вы это сможете сделать сами,
или мы это сделаем вместе на практических занятиях.
Вот.
И теперь, для того чтобы завершить вот этот логически связанный материал,
давайте еще одну вещь обозначим, еще один важный момент, который нам часто будет
пригождаться — это так называемая активная и пассивная точка зрения на повороты.
Итак, поворот
с активной
и пассивной
точек зрения.
Имеется в виду вот что:
когда мы говорим о повороте с активной точки зрения,
мы имеем в виду, что вот есть неподвижный базис и вот я прихожу и
начинаю что-то в этом в этом неподвижном базисе поворачивать.
Соответственно, ну вот как мы сейчас поворачивали вектор r.
Поворачивается все пространство, и вот по этим правилам, которые мы сейчас с успехом
применяли, пересчитываются все компоненты в разложении радиус-векторов.
То есть это ровно вот та ситуация, про которую мы сейчас разбирали пример,
тут ничего неожиданного для нас не происходит.
А пассивная точка зрения — там поворачивается базис,
то есть пространство остается на месте, а базис, связанный с тем, кого поворачивают,
он переходит в какое-то новое положение.
И понятно, что в этом базисе все векторы,
которые были в пространстве раньше, они получают какие-то новые координаты.
Ну то есть если говорить о задачах, активная точка зрения — я пришел, кого-то
повернул и понял, что вот новые координаты теперь такие, у того, кого я повернул.
Пассивная точка зрения — ко мне пришли, меня повернули, и я пытаюсь понять,
как же я теперь ориентирован.
Пассивная точка зрения — то, что часто применяется в спутниковых системах
ориентации, когда спутник совершает маневр.
И после маневра он должен, например, осознать, какие координаты у
какой-нибудь силы внешнего возмущения, вроде солнечного давления, которое,
естественно, не поменялось от того, что у спутник у нас маневрирует.
Итак, просто для примера.
Активная точка зрения у нас будет здесь.
Активная точка зрения.
Базис остается на месте,
вектор поворачивается.
r, r'.
Пересчет координат вектора с помощью матрица поворота ровно так,
как мы только что сделали, осуществляется по таким правилам.
Пассивная точка зрения.
Вот исходное положение базиса, вот опять же есть вектор.
И дальше мы берем и поворачиваем базис.
[ШУМ] Вот был базис x,
y, например, — стал базис x', y'.
Вот тут в пассивной точке зрения,
давайте я подпишу, получается,
что связь r' и r —
тоже через матрицу поворота, но уже транспонированную.
Это несложно понять, если мы обратимся к самой первой формуле,
которую мы писали про матрицу направляющих косинусов.
Мы именно писали, как связаны разложения в разных базисах.
И у нас разложение в базисе, связанном с телом,
и в базисе неподвижном именно таким образом и выражалось.
Вот когда мы двигаем базис,
матрицы поворота сюда входят в транспонированном виде, вот.
Мы еще поговорим на эту тему, наверное, около двух раз,
потому что это важный момент и он часто встречается.
А пока, наверное, давайте попробуем перейти к практическим примерам.
Explore our Catalog
Join for free and get personalized recommendations, updates and offers.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2018 Coursera Inc. All rights reserved.
