Так. Последнее замечание на сегодня – это...
давайте мы вернёмся к нашим любимым комбинаторным тождествам.
Мы с вами кучу уже тождеств надоказывали, там, кажется, шесть штук было.
Ну типа того.
Вот, давайте ещё одно комбинаторное тождество напишем, но прежде, чем
я его напишу, я вам напомню комбинаторное тождество, которое у нас с вами уже было.
А именно было вот такое утверждение: c из n по нулю + c
из n по единице + … + c из n по n...
Сумма всех биномиальных коэффициентов,
сумма всех чисел сочетания, равняется 2 в степени n.
И это очень легко доказывалось с помощью бинома Ньютона.
Мы просто писали 1 + 1 в n-ной,
и это оказывалось в точности вот этим, а с другой стороны в точности вот этим.
Доказательство тривиально.
Но его прямым обобщением является тождество с полиномиальными
коэффициентами.
Давайте напишем сумму в точности в том же виде,
в котором она присутствовала в теореме, которую мы только что доказали.
А именно вот эту страшную сумму по всем n1 … nk,
упорядоченным набором чисел n1 … nk,
для которых каждая ni-тая не отрицательна,
и сумма этих ni-тых в точности равняется n.
А суммировать будем просто все возможные такие вот полиномиальные коэффициенты.
Почему это прямое обобщение?
Ну во-первых, потому что здесь мы зафиксировали n и рассмотрели
все возможные коэффициенты, которые присутствуют в биноме при данном числе n.
Ну то есть x + y в n-ой степени содержит эти и только эти коэффициенты.
Здесь мы тоже зафиксировали число n.
Видите?
Число n нам дано с самого начала.
Н, впрочем, мы ещё зафиксировали число k.
А вот после того, как мы зафиксировали чиселки n и k,
мы просуммировали по всем возможным способам выбрать вот эти вот числа n1
… nk, все мыслимые полиномиальные коэффициенты.
Все коэффициенты, которые присутствуют в полиномиальной формуле.
Мы их все-все-все сложили.
То есть, у нас вот было выражение x1 + … + xk в n-ной степени, и мы все коэффициенты,
которые в его разложении получились, мы их все сложили.
Ну так понятно.
Давайте так сделаем: вот здесь умножим на 1 в степени n1 на 1
в степени n2 – совершенно по аналогии с тем,
что было в биноме – … на 1 в степени nk.
Естественно, от такого домножения ничего, вроде как, не изменится.
Ну как была вот эта вот штучка, так она и осталась.
На единицу сколько не домножай, ничего не поменяется.
Но! Мы-то с вами знаем полиномиальную формулу.
И согласно этой полиномиальной формуле, мы имеем дело вот с таким вот выражением,
в котором вот здесь вот стоит знаете сколько единиц?
Ну очень легко сообразить – k штук.
Мы просто вместо x1 … xk – видите,
здесь были x1 … xk – вместо x1 … xk подставили k штук единиц.
Точно так же, как вот в том выражении.
Так.
k единиц, k в степени n.
Такое обобщение.
При k равном двойке мы возвращаемся в точности к уже доказанному тождеству,
потому что, как вы помните, обычная C-шка, я сегодня это говорил,
и P от (kn − k) – суть одно и то же.
Ну раз это одно и то же, то при k равном двойке,
это действительно получается просто частный случай.
И всё.
Вся недолга.
Ладно.
Давайте на этом сегодняшнюю лекцию завершим.
Мне кажется вполне достаточно.
Полностью разобрались с полиномиальными коэффициентами.
Я надеюсь.