Замечательно то, что это тождество, которое мы только что доказали,
а мы его доказали, как видите.
Замечательно то,
что оно лежит в основе построения всех биномиальных коэффициентов.
Есть такой прекрасный объект,
который называется треугольник Паскаля.
Паскаль в свою очередь — это замечательный
математик и философ французский, который жил в XVII веке.
И вот, в частности, он придумал некий треугольник, который мы сейчас нарисуем,
который многие школьники знают, но вот не все все-таки.
Давайте вспомним, как можно сформировать все биномиальные коэффициенты.
Ну, давайте, во-первых, я вам напомню, что если вы возводите x + y.
Ну мы с вами в квадрат начинали возводить прошлый раз,
потом в третью степень, потом в четвертую.
Давайте начнем, совсем, так сказать, с яйца.
И будем возводить сначала в нулевую, потом в первую, потом в квадрат,
в куб и так далее.
То есть добавим еще нулевую и первую степень.
Понятно, что если x + y возводить в нулевую степень,
то это получится просто 1.
И никаких больше интересных слагаемых тут не будет.
Дальше, если вы возведете x + y в первую степень, то у вас получится x + y.
То есть множество биномиальных коэффициентов, которые присутствуют в этом
разложении – это 1 и 1, коэффициенты при x и y.
Дальше мы напишем x + y в квадрате.
Это будет x квадрат + 2xy + y квадрат.
То есть стало быть коэффициенты – это 1, 2, 1, правильно?
Ну я уж напомню все по полной программе,
чтобы как-то соответствовать прошлой лекции.
Здесь у нас будут коэффициенты 1, 3, еще раз 3.
Симметрия, повторяю, обусловлена первым тождеством,
которое мы доказали еще в прошлый раз.
И снова 1 при y в кубе.
Ну и давайте, наконец, x + y в четвертой для полноты картины и, повторяю,
для полного соответствия с тем, что было в прошлый раз.
Здесь у нас будет коэффициент 1, потом будет коэффициент 4.
Потом будет коэффициент 6 с квадрат y квадрат.
Дальше будет снова 4, xy в кубе, ну и 1 при y в четвертой степени.
Ну даже на этой картинке видно, что вырисовывается некий треугольник.
И это не удивительно,
потому что коэффициентов в разложении x + y в нулевой степени по биному 1.
Коэффициентов в первой степени – 2, в квадрате – 3.
В кубе – 4, ну и так далее,
то есть такое происходит расширение в форме треугольника.
И вот давайте выпишем просто эти коэффициенты.
1 – это единственный коэффициент, который возникает в разложении x + y в нулевой.
Дальше идет 1 1, вот буду рисовать прямо как треугольник.
Дальше идет 1 2 1.
Дальше 1 3 3 1 1
4 6 4 1 и так далее.
А теперь, товарищи, посмотрите, пожалуйста,
на принцип формирования этого треугольника.
Вот если вы глядите на него, то вы видите некую закономерность.
Ну здесь единица, она ж называется и в Африке единица,
тут как-то вот некий базис такой, вершинка этого треугольника.
Дальше идут 2 единицы, но, по большому счету,
они тоже в своей Африке находятся, то есть – это тоже некий базис.
Вот, а дальше начинается понятное формирование.
По бокам все время стоят единицы,
а вот эта вот двойка – это сумма вот этих 2 единиц.
Двойка – это сумма 2 единиц.
Тройка – это сумма единицы и двойки.
Эта тройка – это сумма двойки и единицы.
Четверка – это сумма 1 и 3.
Шесть – это сумма 3 и 3.
Четверка – это сумма 3 и 1.
Ну а единица, она уже обрамляющая.
То есть, такой очень понятный принцип формирования.
То есть я могу вот это многоточие стереть и попробовать порисовать дальше,
не выписывая явно никакие степени.
А именно обрамляю единицей, складываю 1 и 4, получаю 5.
Складываю 4 и 6, получаю 10.
6 и 4 тоже получаю 10, 4 и 1 – получаю 5,
ну и дальше ставлю обрамляющую единицу.
И давайте я нарисую многоточие.
Дальше я могу формировать этот треугольник до бесконечности, пользуясь ровно этим.
Но откуда такое свойство?
Почему это верно?
Ну а ровно, потому что у нас было справедливо вот это тождество.
Ведь это тождество – это и есть утверждение о том,
что очередной биномиальный коэффициент c из n по
k это есть c из n-1 по k-1 плюс c из n-1 по k.
Вот так вот, смотрите.
Вот это, фактически, c из n по k.
С определенными n и k.
Вот это строчкой выше – это c из n − 1 по k − 1.
При этом мы сместились влево, поэтому по k − 1.
А здесь мы смещаемся по диагонали вправо, поэтому это будет просто по k.
C из n-1 по k.
K − это просто номер элемента внутри строчки, а n – это номер строчки.
То есть вот это вот – это c из 0 по 0.
Если хотите, ну c из 0 по 0 равняется по определению равняется 1.
Из ничего выбрать ничто можно ровно одним способом, и это вполне согласуется,
что у нас 0 факториал равен единице.
Соответственно вот это – c из 1 по 0.
Вот это c из 1 по 1, ну и так далее.
Такой вот замечательный принцип формирования так называемого треугольника
Паскаля.
Если вы не хотите честно раскрывать скобки.
Если вы не хотите честно считать биномиальные коэффициенты по формулам с
факториалами, то вы вполне можете вот так вот портянку такую вырисовывать и в конце
концов вы найдете всю последовательность коэффициентов очередного бинома.
То есть такое нехитрое искусство.
И многие тождества комбинаторные, которыми мы сейчас еще пожонглируем,
они так или иначе пляшут вокруг различных свойств этого самого треугольника Паскаля.
Дмитрий Ильинскийпреподаватель
Андрей Райгородскийпрофессор, доктор физико-математических наук
