Вот такие вот интересные бывают способы жонглировать различными биномиальными коэффициентами. В рамках нашего курса мы научимся жонглировать ими еще более хитро. Но для того чтобы научиться жонглировать еще более хитро, например, нужно научиться писать знакопеременные тождества. Ну одно знакопеременное тождество я вам напишу прямо сейчас и это будет, в каком-то смысле, затравкой к будущему. А в будущем мы научимся действительно нетривиальным способам того, как можно подобные штуковины делать. Ну конечно, на простейшем уровне, но все-таки уже нетривиально. Давайте последнее тождество, которое я на сегодня напишу, и на этом, собственно, закончу, оно будет знакопеременным, то есть в нем будут не только слагаемые со знаком «+», но и слагаемые со знаком «−». А именно, давайте сделаем вот так: возьмем C из n по 0, вычтем из него С из n по 1, не прибавим, как это было раньше, а именно вычтем. Прибавим С из n по 2, вычтем С из n по 3 +..., и давайте сообразим как будет выглядеть последнее слагаемое. Разумеется, последнее слагаемое — это С из n по n, но с каким знаком? Смотрите, если n = 0, то последний знак – «+». Ну кроме С из 0 по 0 никаких слагаемых нету. Если n = 0, мы остановились на одном единственном слагаемом С из 0 по 0. Если n = 1, то очевидно последний знак будет «−», потому что тогда мы остановимся на втором слагаемом. Если n = 2, то последнее слагаемое — вот оно: С из 2 по 2, и снова знак «+». То есть смотрите, когда мы останавливаемся на каком-то четном значении числа n, на четном значении числа n, мы получаем знак «+» в самом конце. А когда мы останавливаемся на нечетном значении, скажем, на 1, мы получаем в самом конце знак «−». Проще всего написать это вот так: − 1 в n-ой степени. Ну действительно, если n — четное число, здесь получится «+», а если n — нечетное, то здесь получится «−». То есть, в зависимости от четности числа n, действительно, последнее слагаемое будет тем или иным – с минусом или с плюсом. Вот. Но чему же это равняется? Я утверждаю, что это равняется, на самом деле, 1, в случае, когда n = 0, и 0 во всех остальных ситуациях, если n больше или равняется1. n — натуральное число, если оно не 0, то оно больше либо равняется 1. Доказательство совершенно замечательное. Можно сказать, в каком-то смысле, издевательское. Ну, кто-то наверное догадался. Значит, первый случай: если n = 0, тогда вся вот эта сумма представляет собою просто С из 0 по 0. Это мы с вами только что обсуждали. Ну и это, конечно, есть 1 по определению. Мы это тоже много раз с вами проходили в рамках уже этого курса. Теперь давайте пусть у нас n больше либо равно 1. А давайте-ка запишем бином вот для такого выражения. Что б сие означало? Бином — это, вроде бы, (x + y) в n-ой, да? Мы знаем, как расписывать бином в этом случае. Ну, то есть это означает, что вот здесь вот в этом выражении x = 1, а y = − 1. Мы к 1 прибавляем − 1, к 1 прибавляем − 1, вот получаем 1 − 1. Ну, понятное дело, что если n больше либо равняется 1, то возведение в степень вот этого числа, которое, как вы понимаете, равняется 0, оно корректно определено и мы, безусловно, получаем 0. Ну просто 1 − 1 = 0. 0 в любой степени отличной от 0 — это 0. Но с другой стороны, мы можем применить бином. А как выглядит бином? Ну давайте напишем: сумма по k от 0 до n, С из n по k x в степени k на y в степени n − k. Правда же? По-моему, правда. Но x у нас 1, y = − 1. То есть давайте это перепишем. Получится сумма по k от 0 до n, C из n по k 1 в степени k на − 1 в степени n − k. на − 1 в степени n − k. Ну или давайте это напишем явно. Так. При k = 0, получаем С из n по 0 умножить на − 1 в n-ой степени. Так. При k = 1, получаем С из n по 1, вот здесь вот, здесь 1 — она ни на что не влияет — умножить на − 1 в n − 1. На − 1 в n − 1, ну и так далее. В конце мы получаем С из n по n. C из n по n. n-ая степень единица ни на что не влияет, а здесь у нас − 1 в нулевой. Ну не посчастливилось мне сразу доказать тождество. Сейчас исправимся! Смотрите: С из n по 0 — мы знаем это то же самое, что и С из n по n. C из n по 1 — это то же самое, что С из n по n − 1. С из n по n — это то же самое, что С из n по 0. Читаем вот это утверждение вот это утверждение справа налево. Смотрите, − 1 в нулевой — это 1. Единица, правда? − 1 в нулевой, да? И это умножается на С из n по 0. Дальше справа налево читаем. Какое следующее слагаемое? Там будет − 1 в первой степени. Минус, значит. А С из n по кому? Ну, очевидно, по 1. С из n по 1 +. − 1 будет в квадрате на С из n по 2, поэтому «+». −... +. Ну и смотрим в конец. Правильно? − 1 в n-ой степени на С из n по n. В точности то, что и утверждалось. Вот такое вот несложное, симпатичное, знакопеременное тождество, которое тоже является следствием бинома Ньютона. Давайте на этом на сегодня закончим. Я думаю, что это так вполне компактно замкнуто в себе, а дальше продолжим изучать какие-то основные принципы комбинаторики, на самом деле. То есть классические задачи, простейшие утверждения и тождества с ними пока что не исчерпаны. Вот на сегодня я рассказал некоторое количество тождеств, а в следующий раз мы продолжим.
