Вот такие вот интересные бывают способы жонглировать
различными биномиальными коэффициентами.
В рамках нашего курса мы научимся жонглировать ими еще более хитро.
Но для того чтобы научиться жонглировать еще более хитро,
например, нужно научиться писать знакопеременные тождества.
Ну одно знакопеременное тождество я вам напишу прямо сейчас и это будет,
в каком-то смысле, затравкой к будущему.
А в будущем мы научимся действительно нетривиальным способам того,
как можно подобные штуковины делать.
Ну конечно, на простейшем уровне, но все-таки уже нетривиально.
Давайте последнее тождество, которое я на сегодня напишу, и на этом,
собственно, закончу, оно будет знакопеременным,
то есть в нем будут не только слагаемые со знаком «+», но и слагаемые со знаком «−».
А именно, давайте сделаем вот так: возьмем C из n по 0,
вычтем из него С из n по 1, не прибавим, как это было раньше, а именно вычтем.
Прибавим С из n по 2, вычтем С из n по 3 +...,
и давайте сообразим как будет выглядеть последнее слагаемое.
Разумеется, последнее слагаемое — это С из n по n, но с каким знаком?
Смотрите, если n = 0, то последний знак – «+».
Ну кроме С из 0 по 0 никаких слагаемых нету.
Если n = 0, мы остановились на одном единственном слагаемом С из 0 по 0.
Если n = 1, то очевидно последний знак будет «−»,
потому что тогда мы остановимся на втором слагаемом.
Если n = 2, то последнее слагаемое — вот оно: С из 2 по 2, и снова знак «+».
То есть смотрите, когда мы останавливаемся на каком-то четном значении числа n,
на четном значении числа n, мы получаем знак «+» в самом конце.
А когда мы останавливаемся на нечетном значении, скажем, на 1,
мы получаем в самом конце знак «−».
Проще всего написать это вот так: − 1 в n-ой степени.
Ну действительно, если n — четное число, здесь получится «+», а если n — нечетное,
то здесь получится «−».
То есть, в зависимости от четности числа n, действительно,
последнее слагаемое будет тем или иным – с минусом или с плюсом.
Вот. Но чему же это равняется?
Я утверждаю, что это равняется, на самом деле,
1, в случае, когда n = 0,
и 0 во всех остальных ситуациях, если n больше или равняется1.
n — натуральное число, если оно не 0, то оно больше либо равняется 1.
Доказательство совершенно замечательное.
Можно сказать, в каком-то смысле, издевательское.
Ну, кто-то наверное догадался.
Значит, первый случай: если n = 0,
тогда вся вот эта сумма представляет собою просто С из 0 по 0.
Это мы с вами только что обсуждали.
Ну и это, конечно, есть 1 по определению.
Мы это тоже много раз с вами проходили в рамках уже этого курса.
Теперь давайте пусть у нас n больше либо равно 1.
А давайте-ка запишем бином вот для такого выражения.
Что б сие означало?
Бином — это, вроде бы, (x + y) в n-ой, да?
Мы знаем, как расписывать бином в этом случае.
Ну, то есть это означает, что вот здесь вот в этом выражении
x = 1, а y = − 1.
Мы к 1 прибавляем − 1, к 1 прибавляем − 1, вот получаем 1 − 1.
Ну, понятное дело, что если n больше либо равняется 1,
то возведение в степень вот этого числа, которое, как вы понимаете,
равняется 0, оно корректно определено и мы, безусловно, получаем 0.
Ну просто 1 − 1 = 0.
0 в любой степени отличной от 0 — это 0.
Но с другой стороны, мы можем применить бином.
А как выглядит бином?
Ну давайте напишем: сумма по k от 0 до n,
С из n по k x в степени k на y в степени n − k.
Правда же?
По-моему, правда.
Но x у нас 1, y = − 1.
То есть давайте это перепишем.
Получится сумма по k от 0 до n,
C из n по k 1 в степени k на − 1 в степени n − k.
на − 1 в степени n − k.
Ну или давайте это напишем явно.
Так.
При k = 0, получаем С из n
по 0 умножить на − 1 в n-ой степени.
Так.
При k = 1, получаем С из n по 1,
вот здесь вот, здесь 1 — она ни на что не влияет — умножить на − 1 в n − 1.
На − 1 в n − 1, ну и так далее.
В конце мы получаем С из n по n.
C из n по n.
n-ая степень единица ни на что не влияет, а здесь у нас − 1 в нулевой.
Ну не посчастливилось мне сразу доказать тождество.
Сейчас исправимся!
Смотрите: С из n по 0 — мы знаем это то же самое, что и С из n по n.
C из n по 1 — это то же самое, что С из n по n − 1.
С из n по n — это то же самое, что С из n по 0.
Читаем вот это утверждение вот это утверждение справа налево.
Смотрите, − 1 в нулевой — это 1.
Единица, правда?
− 1 в нулевой, да?
И это умножается на С из n по 0.
Дальше справа налево читаем.
Какое следующее слагаемое?
Там будет − 1 в первой степени.
Минус, значит.
А С из n по кому?
Ну, очевидно, по 1.
С из n по 1 +.
− 1 будет в квадрате на С из n по 2, поэтому «+».
−...
+.
Ну и смотрим в конец.
Правильно?
− 1 в n-ой степени на С из n по n.
В точности то, что и утверждалось.
Вот такое вот несложное, симпатичное, знакопеременное тождество,
которое тоже является следствием бинома Ньютона.
Давайте на этом на сегодня закончим.
Я думаю, что это так вполне компактно замкнуто в себе, а дальше
продолжим изучать какие-то основные принципы комбинаторики, на самом деле.
То есть классические задачи,
простейшие утверждения и тождества с ними пока что не исчерпаны.
Вот на сегодня я рассказал некоторое количество тождеств,
а в следующий раз мы продолжим.
Дмитрий Ильинскийпреподаватель
Андрей Райгородскийпрофессор, доктор физико-математических наук
