[BOŞ_SES] Hello, We have reviewed the previous session has eigenvalues of symmetric matrix problems. Here we will see the real eigenvalues. The opposing these different eigenvalues of eigenvectors We will see each other. Eigenvalues, eigenvectors as tekraral even if the number of times tekararl We saw we could find. There's only a slight difference in steepness. Eigenvectors from eigenvalues may not automatically opposed to the same upright. But the team also found that other all the time. Now we will show it on this example. Given matrix, As you can see here that we find the eigenvalues and eigenvectors. Eigenvalues first step. We write the matrix. Diagonal on the minus lambda, minus lambda, We calculate the determinant of this matrix minus the write lambda. Lambda with lambda cube so that it appears three times We will find a starting power function. This function first line work force, first column, in accordance with appropriate according to which if you open. I can not give details of intermediate opened. See lambda lambda cube minus the future. Because three times older Lambda, Lambda, Lambda multiplied. Lam, minus that we have taken out the term lambda cube, there lambda squared term, lambdal there are no fixed term, and there is also a lambda term. Now how do we find the root of it? Of course, not easy to find the roots of a cubic equation, but this example It was selected from the appropriate number on the cubic equation lambda lambda squared minus times minus gold can write at 12. This can be checked. Lambda is equal to put six cubes, square 24 times, 28 times the self-432 çıkarar that we also can see that it provides zero and 12. So now we're having our two distinct smell. One 12, the other is a two-storey root as you can see. Now we account eigenvectors opposing them. Let's start from the previously simple, let's start from 12 for discrete eigenvalues. We write the matrix by placing the lamp 12 is equal. That's well above the diagonal minus 12, minus 12, minus 12 in Put here We solve the equations by equating to zero. Now minus five times the first equation x minus two times y, z, we see that at once. Second minus two times the x, y minus two times, we see that our negative twice. The third equation in x minus two years, we see that our minus five times. Now every time we encounter situations where there are three unknown: x, y, z. It seems as though there are three equations to three unknowns. But at the other one of these equations We know that the account without dependents. Because the determinants of the equation will be here to do zero We guarantee can not be independent from an extremely useful convention. We can work with the other two threw any of them. Indeed, we can work with them to take the second and third here. So there are ultimately three against two unknown equation. If we want to be independent from the rest of the equation we see that this horse The first minus multiply merger, see also here occurred five. I multiply the second of two plus, minus four occurred. Minus four of five events have collected remains of an x staying. Here again we received was plus minus 2y. I hit it good effect, was 4y. When the ball is going 2y minus. We got here as similar as we hit it at minus two plus, minus, five minus four is also more negative, meaning that out of the first two third equation, These three equations that we provide addicts themselves. There's no need really. To ensure that the zero determinant because it No. 12, 12 equal eigenvalues, we already know will be dependent of the equation. We can work with any two, it just ourselves better persuading the equation to see concretely Let's say the practice is interdependent. In these two equations, we can even further simplify the first one. Minus two, minus, minus minus two so we divide the two are lifted, x plus y plus z is happening. These, we find others from making any choice. For example, we put x an equation with two unknowns going two. Here we find that z is a minus y is two. Let's put an X instead of a matter of fact, one. year was minus two plus four. One plus four, became five. z a, minus five, five, minus five, zero. It provides the means. We can provide the first equation. x plus y plus z, x minus two latter first, z thirdly, when we collect them x plus x plus y plus y plus z because the first equation z is equivalent to zero. We see that provide it. We do the same process again when we go to the second eigenvalues. We write the matrix. Root root over this time we put on the diagonal, minus six, minus six, minus six, we look at the equation. As you can see for the first equation x minus 2y plus our stay here, x minus 2y plus z. The second equation 2x minus 4y plus minus 2z as you can see here, the third equation x minus y plus z this process so we do x, y, We put away our horizontal vector, here with a number of opposing all We take the inner product line that we do because it is a vector matrix multiplication. Now we see the first and third equation is the same as you can see very easily, which means that two of the same dependent. The second equation you see here divide into two minus one, minus two here, It is going on here, so I split the bill in half, changing the sign before then. We see that it is the same thing, that is two times the first equation, therefore, only one seems there are three equations We have one independent equation. He x minus 2y plus z. There are three unknown here, There is one equation, means that we can freely choose two. These two free choice we can in any way. But convenience is: For example, say you have an x, You say a zero interest y minus z. Conversely, a negative starting z, y, z minus one to zero, you say, y is zero, x is present as a. Here is a vector in which it opposed x, y is zero, z this vector as a negative. As a second choice of z, y a seçsek. But you might ask why such seçiyos. I also possible to infinitely many solutions, but only two of them One independent from each other vector data, I chose them, because what little knowing, because I think what needs to happen. When we choose them to a to z, y a, as you can see X also comes a. This means that x, y, z are each a one by one as we find this vector. This vek, take the product of two vectors As you can see the inner product a plus minus zero, e3 e2 to say to each other by giving zero. I think it is possible that we are infinitely many solutions out tricks I found that by hook or crook or the other seems like magic. The first is completely arbitrary, you can select anything. The latter is perpendicular able to build a little more thinking. Also said that the theorem. Others would say automatically, but you can choose to be straight. Örneğin ikinci seçimi buradaki gibi değil de x sıfır, y bir almış olsaydık, bakınız x sıfır, y bir olmuş olsaydı z de iki çıkardı yani şöyle bir vektör çıkardı bu bulduğumuz e3 vektörü yerine e3 üssü diyeceğimiz yeni bir başka vektör çıkardı bu da sıfır bir iki olurdu ve e3 ile e2'yi karşılaştırdığımız zaman da biribirine dik olmazdı. Bakınız bu iç çarpımı alın, bir kere sıfır, sıfır. Sıfır kere bir, sıfır, eksi bir kere iki, eksi iki, demek ki birbirine dik değil bu iki vektör. Ben ama burada biraz da sonucu gösterebilmek için uygun seçimi yapmış oldum. Daha büyük sistemlerde tabi sırf böyle bakarak seçmek mümkün olmaz ama her zaman dik bir takım inşa etmek mümkün olabilir. Burada sanki iki tane defa tekrarlanan özdeğere karşı üç tane vektör bulduk gibi geliyor e2, e3, e3 üssü. Ama bunlar birbirinden bağımsız değil. Örneğin e3 üssüden pardon e3'ten e2'yi çıkarsanız sıfır, bir, birden de eksi biri çıkarınca iki verir yani e3 üssüyü verir. Yani e3 üssü e2 ve e3'den bağımsız değildir. Bunun gibi sonsuz tane vektör çıkarabilirisiniz. Düzlemde de sonsuz tane vektör çıkarabilirsiniz düzlemde ama bunların sadece ikisi birbirinden bağımsızdır. Bunlar arasından da birbirine dik gelecek mesela ij gibi veyahut daha başka dik gelecek vektörler her zaman inşa edebilirsiniz. Durum onun burada bunun bir yansıması. Ve burada da ilgili teoremleri somut olarak sağlamış oluyoruz. Sonuçları şöyle derli toplu bir kuşbakışı bakarsak, özetleyerek bir kök var 12. Bir kök iki defa tekrarlanmış. Bu tek köke karşıt gelen e1 vektörünü buluyoruz. Tekrarlanan köke karşı e2 ve e3 veya e2 ve e3 üssü veya e3 ve e3 üssü diyebileceğimiz iki tane bağımsız vektörleri seçebiliyoruz. Birinci gözlemimiz yine teorem açısından matris simetrik olduğu için bakınız buradaki matirisi bir kere daha hatırlarsak köşegen üzerindeki sayılara göre eksi iki ile ona eşdeğer konumdaki eksi iki aynı. Birle ona eşdeğer konumdaki bir görüyoruz. Yine eksi ikiler eşdeğer konumda. Bu simetrik matris. Bunun devriğini alsak, yani transpozesini de demeyi tercih edenler de oluyor, aynı matris olduğunu görüyoruz, simetrik. Bizim esas teoremimiz diyordu ki simetrik matrislerin özdeğerleri gerçel olur. Hakikaten de buradan gerçel olduğunu gördük. Farklı özdeğerlere karşıt gelen bir ve 12 ve altıya karşıt gelen özvektörler birbirine diktir. Yani e1, e2'ye de diktir, e3'e de diktir, e3 üssüye de diktir. 15 tane daha başka vektör de bulsanız lambda eşittir altı için bulabilirsiniz, sonsuz tane bulabilirsiniz ama bunlar birbirinden bağımsız olmaz. Ancak iki tanesi bağımsız olur. e1 bunların hepsine de diktir. Ama bu lambda'ya karşıt gelen inşa edebileceğiniz vektörler arasında birini seçtikten sonra ancak bir tane daha buna dik bulabilirsiniz, öbürkiler dik olmaz. Bu kendiliğinden otomatik olarak dik olmaması ama dik vektör bulanabileceğinin örneği olarak bunu görüyoruz. Şimdi bir ara vererek bundan sonra Hermit matrisi denen katsayıları yani matrisi oluşturan sayılar, matrisin ögelerinin gerçel olmadığı matrisler var ki bunlar da çok önemli. Bunlar da simetrik matrislere benzer sonuçlar veriyorlar. Daha doğrusu bu Hermit matrisi dediğimiz matrisler simetrik matrislerin daha geneli. Şimdi bunlara bakacağız çünkü bu çeşit matrisler de sık sık karşılaşılabilen matrislerdir.
