Главная сила идеи о непрерывности состоит в возможности доказывать теоремы о существовании неподвижных точек. Это и решения систем уравнений, и теорема о промежуточном значении, и некоторые другие более сложные результаты, о которых мы еще поговорим. Давайте представим себе, что мы едем на машине. И нас обгоняет какая-то очень быстрая машина, мимо нас проезжает машина, но впереди гаишник ее тормозит за превышение. И вот мы едем, она нас вроде уже обогнала, но она тормозит, и в какой-то момент мы видим, что мы едем параллельно с одной и той же скоростью. А потом она уже отстает от нас и занимается там уплатой штрафа. Каждый из нас наблюдал такую картину, и здесь важно понимать, что если вас обгоняла машина, а потом она стала тормозить, то обязательно существует такой момент времени, в которой ваша машина и та машина едут с одинаковой скоростью. Поэтому если посмотреть в этот момент туда, в то окно, в окно их машины, то кажется, что она просто стоит относительно вас. Более интересным приложением идеи непрерывности служит замечательная теорема о двух картах одного и того же города. Давайте, например, рассмотрим город Москву. Вот карта очень большого масштаба, крупная, по которой очень хорошо ориентироваться, а вот карта более мелкого масштаба, то бишь сама она будет, по сравнению с вот этой картой, занимать меньшую территорию. Я беру вот эту карту и бросаю наугад сверху на вот эту, как угодно, каким угодно образом положил одну карту на другую. Теорема, которую мы с вами строго докажем, заключается в том, что я могу взять булавку и проткнуть обе карты в одной и той же точке города. То есть, например, я протыкаю, смотрю, здесь это Савеловская эстакада, поднимаю эту карту, и там тоже в этом месте Савеловская эстакада. Результат достаточно интересный и, я бы сказал, неожиданный. Многие, с кем я общался и кому я этот результат рассказывал, просто не верили в него. Давайте я это докажу следующим образом. Возьму фломастер и нарисую на вот этой маленькой карте ту зону города Москва, которую вот эта маленькая карта, в свою очередь, занимает на большой карте, то есть обведу вот ту зону Москвы, которая закрыта вот этой картой. Получается тоже очертание, конечно же, города Москва, только еще меньшего размера. Дальше я на вот этих, на этой, на этих очертаниях нарисую опять ту зону — это же тоже как бы карта Москвы, если мы нарисовали на этой карте вот эту карту, то, соответственно, это тоже карта Москвы, только еще меньшего масштаба. Мы на этой зоне рисуем зону, которую на ней закрывает вот эта вот карта. На этой рисуем снова и так далее. Совершенно очевидно после этого, что в пересечении вот этой вот бесконечной последовательности зон убывающей, друг в друга вот так вложенной, существует одна и только одна точка. Ну и по очевидным причинам это именно та точка, которая изображается одинаково на обеих картах, потому что это единственное место, которое могло сохраниться на всех вот этих картинках. То есть это та точка, которая оказалась невидимой на вот этой карте по сравнению с большей, на меньшей по сравнению с меньшей и так далее. Именно эта точка является той, куда надо вонзить иглу. Любопытно, что на самом деле теорема, о которой я говорю, гораздо более общая. И, может быть, даже наблюдательный слушатель заметил, что в то время как вот эта карта, она по-настоящему масштабная, то есть в ней, скажем, Садовое кольцо занимает именно ту часть, внутреннее Садовое кольцо занимает именно ту часть Москвы, которую она на самом деле по площади занимает, внутри он большой, а к границам Москвы он начинает уменьшаться, и здесь Садовое кольцо занимает слишком большую территорию, не такую, как на самом деле. То есть это карты разного масштаба, и мой аргумент с рисованием зон, которые закрывают последовательно накладываемые карты воображаемые, он уже не сработает, но любопытно, что теорема все равно будет верна. То есть, исходя из некоторого общего результата, который я сформулирую чуть позже, всегда будет такая точка, которую мы пронзим иголкой, она будет изображать одно и то же место города и там, и там. Более того, даже если я карту как-то скомкаю, сложу и брошу, все равно будет возможно найти такую точку. Правда, может быть, при этом я проколю несколько точек на этой верхней карте, но одна из них совпадет по положению в городе с тем, которое будет на нижней. И на самом деле теорема формулируется следующим образом. Рассмотрим непрерывное отображение некоторой территории на плоскости в себя. Что значит «непрерывное отображение в себя», и какая именно территория здесь допустима? Территория, говоря простым человеческим житейским языком, должна ограничиваться каким-то овалом, или, математически говоря, должна быть выпуклой. А что значит «непрерывное отображение»? Это значит, что каждой точке я сопоставляю некоторую точку, лежащую тоже внутри этой территории. То есть каждой точке территории сопоставляется некоторая точка той же самой территории. И важно, чтобы близкие точки переходили в близкие. Когда я кладу одну карты Москвы на другую, я как раз осуществляю такое отображение, а именно беру точку на большой карте, нахожу ее же на маленькой и сопоставляю то место, которое здесь будет отражено снова на большой карте. То есть вот этой точке соответствует вот эта, вот этой точке, мы должны найти Лосиный остров и смотреть, что под ним лежит, соответствует вот эта точка и так далее. Любой точке на большой карте соответствует какая-то точка на большой карте, которая получается, если мы найдем изображение этой точки на маленькой карте и заглянем под нее. Совершенно ясно, что такое отображение непрерывно, потому что близкие точки на большой карте соответствуют близким точкам на маленькой. И поэтому применима теорема Брауэра, этот великий результат, который говорит, что если есть непрерывное отображение вот такой вот выпуклой области в себя, то всегда существует неподвижная точка, то есть всегда существует точка на верхней карте и точка на нижней, которые лежат друг над другом, которые можно проткнуть одной иголкой. Это настолько общий результат, что совершенно поразительно, что его удалось доказать. И 100 лет назад, в общем, некоторое время не было уверенности, что это действительно никаких дополнительных условий не требует, что эту теорему можно доказать в такой общности. Но я хочу предостеречь слушателей вот от чего. Если я могу рвать верхнюю карту, то результат верен уже не будет. То есть здесь непрерывность, она по существу, непрерывность очень важна. Давайте я приведу наглядный пример, как теорема перестает быть верна, если я близким точкам сопоставляю далекие точки. Я совершаю кощунственное действие, разрезаю маленькую карту Москвы на две части. Вот у меня условный север, и вот у меня условный юг. Условный юг я кладу на север, условный север я кладу на юг. Предлагаю каждому из вас убедиться в том, что точки, которая изображает одну и ту же точку, одну и ту же точку Москвы на обоих картах, не существует, потому что здесь, на верхней карте, все точки северные, а на нижней — все точки южные, а здесь ровно наоборот. И проблема здесь именно в том, что на границе произошел разрыв, какие-то точки отсюда перешли сюда, а очень близкие к ним точки перешли сюда. Поэтому непрерывность потеряна, и из-за этого потеряна возможность найти неподвижную точку, поэтому видно, что непрерывность — это ключевое понятие и ключевое требование для этой теоремы. Без непрерывности теорема уже будет неверна.
