Ces quelques leçons de mécanique lagrangienne font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton https://www.coursera.org/learn/mecanique-newton 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne Le formalisme de Lagrange permet une résolution efficace de problèmes complexes de mécanique. Il permet aussi d'apporter un éclairage plus fondamental sur les lois de conservation (théorème de Noether). A titre d'illustration de la méthode de Lagrange, on traitera le problème très important des oscillateurs harmoniques couplés, exprimé comme un problème de valeurs propres et de vecteurs propres. On termine avec un formalisme permettant d'analyser les résonances paramétriques, notion illustrée par l'expérience montrant la stabilité d'un pendule inversé forcé.
Le rayonnement synchrotron par Giorgio Margaritondo
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From the course by École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Mécanique Lagrangienne
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Cinématique relativiste (optionnel)
Dans cette introduction à la cinématique relativiste, on applique des principes de symétrie très généraux pour arriver aux célèbres transformations de Lorentz. Avec elles, on explique ce qu'on entend par contraction des longueurs et dilatation du temps.
Meet the Instructors
Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Bonjour!
Aujourd’hui j’aimerais vous parler de relativité.
Alors, très souvent lorsqu'on entend le mot relativité, on pense à l’image
iconique d'Albert Einstein et on imagine qu’il s’agit d’un
phénomène de la physique théorique mais bien éloigné de la vie de tous les jours.
Et moi,
j’aimerais vous montrer aujourd’hui que cela n’est pas vrai.
On peut observer les phénomènes prévus par la relativité, même dans
notre vie quotidienne. Par exemple, si vous, vous
imaginiez un phénomène de magnétisme comme, par exemple,
un aimant, au fond le magnétisme est une conséquence de la relativité.
Mais dans le cas spécifique d’aujourd’hui, je voudrais parler
d’une technologie très pratique, qui est strictement liée à la relativité et qui
a, dont l’objectif est de, émettre
des rayons X. On connaît très bien les rayons X pour
le diagnostic médical, on l’utilise pour contrôler
la partie intérieure des corps des patients.
C’est un peu moins connu le fait que pour contrôler on peut utiliser non pas
seulement des patients humains, mais aussi des
échantillons, des cristaux, des pièces d’avion et cetera.
Donc les rayons X sont très importants pour la technologie.
On est à la recherche continuellement de manière efficace de les émettre.
Et donc,
je vais vous proposer une idée, et voici ce jeu.
Donc imaginons un électron, voilà, qui
se déplace à grande vitesse vers un
système, ici, constitué par une série périodique
d’aimants. On peut imaginer que les aimants vont
interagir avec l’électron et donc l’électron sera obligé à se déplacer sur
la direction transversale, c’est-à-dire avoir des petites ondulations.
Donc voilà, l’électron oscille et de cette
façon il va émettre des ondes électromagnétiques.
Les ondes électromagnétiques sont des oscillations périodiques dans l’espace
qui se propagent avec une certaine vitesse.
Donc, notre électron va émettre des ondes électromagnétiques.
Et on aimerait émettre les ondes électromagnétiques spécifiques qu’on
appelle rayons X. On peut imaginer facilement, que la
longueur d’onde de l'onde émise est liée à la période de l’électron.
La longueur d’onde, on le sait, c’est
la période dans l’espace de l’oscillation de l’onde.
Dans le cas des rayons X, il s’agit d’une période qui est très, très, très petite.
Si vous prenez, par exemple, les ondes radios,
ou les ondes de la télévision, on parle
de centimètres, de mètre, peut-être, Lorsqu’on passe aux
rayons X, on a des longueurs d’ondes de l’ordre
des n angströms, c’est-à-dire un dixième de milliardième de mètre.
Donc il faudrait en principe, construire
une série d’aimants, ici, avec un période de l’ordre de l’angström.
Cela est impossible aujourd’hui, cela sera impossible demain
parce que l’angström c’est essentiellement la dimension de l’atome.
On ne peut pas
avoir une série d’aimants de la dimension d’un atome individuel.
Et donc, faut-il renoncer à cette belle
technique et passer à quelque chose de différent?
La réponse est négative.
La raison est que dans notre analyse,
jusqu’à présent, nous n’avons pas tenu compte
de ce fait de la relativité, le fait que l’électron, qui arrive ici, arrive avec
une très grande vitesse, une vitesse proche de la vitesse de la lumière.
Alors on sait que les phénomènes de la relativité sont souvent
négligeables sur la vitesse limitée mais lorsqu’on arrive à la vitesse
de la lumière, ou presque à la vitesse de la lumière,
on a de ce fait important dont il faut tenir compte.
Par exemple, dans le cas, on peut de cette
façon, partir d’une série d’aimants avec une période de l’ordre d’un
centimètre et arriver à émettre des rayons X, c’est-à-dire, comme on l’a
dit, une longueur d’onde qui est 10- 7 ou 10- 8 fois plus petite
que celle de la période des aimants dans notre système.
Alors on va voir comment est-ce qu'on peut comprendre
ce phénomène. L’électron arrive avec sa vitesse.
Il faut changer de point de vue, imaginez d’être
l’électron, alors par rapport à vous, l’électron, c’est le
système d’aimants qui se déplace à une grande vitesse,
une vitesse presque égale à la vitesse de la lumière.
Alors, à ce point, il existe un phénomène, en relativité,
qui s’appelle contraction de Lorentz.
Donc, vu par l’électron, l’onduleur, le système d’aimants, se déplace
à une vitesse moins v et en raison de la
contraction relativiste de Lorentz, la longueur de l’onduleur,
comme tout objet qui se déplace par rapport à l’observateur, est raccourcie,
elle est diminuée d’un facteur gamma.
Le facteur gamma, c’est le facteur relativiste.
Ça on peut l’écrire également comme 1 divisé par la
racine carré de 1 moins v carré sur c carré.
On peut bien voir ici que si la vitesse, v, est
petite alors le facteur est plus ou moins limité, donc on n’a
pas de phénomène, ou le phénomène est négligeable.
Mais si la vitesse est proche de la vitesse de la lumière, alors le
facteur devient très important et l’onduleur, le
système d’aimants, se raccourcie par rapport à l’électron.
Donc de cette façon, on commence par une période de l'ordre, en centimètres
et on commence à se déplacer vers les petites périodes des rayons X.
De plus, on a un deuxième phénomène,
c’est-à-dire quand vous avez des ondes émises par
une source qui se déplace, on sait que
la fréquence et donc la longueur d’onde change.
Par exemple, si vous êtes à la gare et
vous avez un train qui arrive mais qui ne s’arrête
pas à la gare, le bruit produit par le train
change, on passe de « hiiiiiiiiiiiii » à « ouuuuuuuu
», donc un changement de fréquence.
Et pour la lumière, c’est la même
chose, pour les ondes électromagnétiques, c’est la
même chose, par exemple, on connait le
déplacement dans le rouge des émissions des galaxies.
Ici, nous avons la même chose, donc on aura aussi l’effet Doppler qui,
pour les ondes électromagnétiques, est un phénomène strictement relativiste.
Alors on a un facteur
gamma de la contraction de Lorentz, l’effet Doppler donne 2 gammas,
le tout donne un 2 gammas au carré. Et donc ça change
la période que peut produire une longueur d’onde très
petite. Pour un accélérateur typique, gamma
est 4000, L, 1 centimètre, et cela donne
lambda, égal 3 angström.
Alors cette technologie est très importante, on a un
réseau mondial, aujourd’hui, qui est utilisé par des dizaines de
milliers de chercheurs, on a 50 accélérateurs de type lumière
synchrotron, avec un investissement de plusieurs dizaines de milliards d’euros.
Et ça montre que la relativité n’est pas
seulement de la théorie mais c’est quelque chose de la vie de tous les
jours et aussi quelque chose de très pratique pour la technologie.
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