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16.1 Dynamique terrestre

Course video 27 of 29

On applique le formalisme de la leçon précédente à la dynamique d'un point matériel se déplaçant à la surface de la Terre, en cherchant à caractériser la perturbation qu'engendre la rotation de la Terre par rapport à ce qu'on observerait si la Terre était un référentiel d'inertie.

Ces quelques leçons de mécanique du point matériel font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton https://www.coursera.org/learn/mecanique-newton 2. Mécanique du point matériel Pour illustrer les concepts introduits dans la première partie, on traite ici des problèmes pour lesquels le système mécanique peut être considéré comme un point matériel. Cette partie couvre notamment les problèmes à traiter en coordonnées cylindriques ou sphériques, le problème des orbites des planètes et les référentiels accélérés. 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne

Taught By

Jean-Philippe Ansermet
Professeur

Transcript

Bonjour, bienvenue au cours de physique générale de l'EPFL.

Dans cette leçon, on va appliquer le formalisme

du mouvement relatif et traiter la dynamique d'un point matériel

à la surface de la Terre

lorsqu'on fait des expériences telles que on ne peut plus ignorer

la rotation de la Terre

par rapport à un référentiel d'inertie.

Alors on va d'abord examiner des ordres de grandeur

qui sont déterminants pour ce problème.

On va voir qu'on peut définir une pesanteur effective

qui tient compte de certains effets de rotation

et il nous restera une équation du mouvement pour la dynamique terrestre

qu'on va ensuite appliquer dans le prochain module, à quelques exemples.

Je commence avec la question des ordres de grandeur.

Pourquoi se préoccuper des ordres de grandeur ?

Après tout, vous me direz

on a des ordinateurs très puissants

qui certainement peuvent résoudre le problème d'un point matériel.

Et bien, en fait, avant de conduire un calcul numérique

il est toujours bon de connaître les propriétés qualitatives

d'un système dynamique et pour ce faire,

on fait des approximations

qui nous permettent de garder des expressions mathématiques

relativement simples, dans lesquelles on repère

le sens physique des termes.

Et une fois qu'on a conduit cette analyse

on peut ensuite passer à l'intégration numérique

et chercher le détail et la précision nécessaire s'il y a lieu.

D'abord la vitesse de la Terre.

La vitesse angulaire de la Terre est relativement faible

par rapport aux expériences qu'on veut faire.

Alors, tout le monde sait que la Terre fait un tour en 24 heures.

Je vous invite à faire une pause

pour essayer de transformer cette donnée en radiant par seconde.

Alors, en radiant par seconde, la vitesse de la Terre,

c'est de l'ordre de dix moins quatre radiants par seconde.

Maintenant, le rayon de la Terre c'est de l'ordre de six millions de mètres.

On va faire des expériences à l'échelle de quelques mètres

à quelques dizaines de mètres,

et on pourra donc négliger l'extension spatiale

de nos expériences par rapport au rayon de la Terre.

Je commence par définir mes référentiels.

D'abord je vais supposer que je peux ignorer

le mouvement de la Terre autour du soleil

et donc je vais pouvoir prendre un référentiel d'inertie centré

sur la Terre mais les directions <i>x1, x2, x3</i>

de mon référentiel d'inertie pointent vers des étoiles lointaines.

Je vais faire une expériences de mécanique

à la surface de la Terre au voisinage d'un point <i>A</i>,

j'ai dessiné le parallèle en <i>A</i> et le méridien en a.

Et je vais me donner un système d'axe lié à la Terre

qui définit mon référentiel relatif <i>A y1, y2 et y3</i>.

Je définis la position de a sur la Terre ici

avec ce qu'on appelle la colatitude lambda.

Donc j'ai <i>O x1 x2 x3</i> qui est mon référentiel d'inertie.

<i>A y1 y2 y3</i>, lié à la Terre, qui est mon référentiel accéléré

et je vais maintenant utiliser notre formalisme pour faire la dynamique.

On va supposer qu'il y a la force de pesanteur

et puis on va mettre, regrouper en un terme

tous les autres termes de force.

Donc j'ai la pesanteur et les autres termes de force

et voilà notre grande formule pour l'accélération absolue

donc l'accélération mesurée par rapport au référentiel d'inertie.

On a en particulier ce terme-là qui apparaît.

Alors vu du référentiel d'inertie, le point <i>A</i>...

qui est lié à la surface de la Terre,

a une trajectoire en cercle.

C'est un mouvement circulaire de vitesse oméga

et donc l'accélération absolue du point <i>A</i>,

je peux l'écrire de cette manière-là.

Si je regroupe les termes, j'ai maintenant ici

ces deux termes, l'un à côté de l'autre

et comme on va faire des expériences

au voisinage du point, le point p c'est notre point matériel,

<i>AP</i> reste au voisinage de <i>A</i>

et certainement le vecteur <i>AP</i> est beaucoup beaucoup plus petit que <i>OA</i>

qui vaut en module six millions de mètres.

Donc je vais négliger ce terme-là.

Alors, il me reste une équation du mouvement

avec ces termes-là, qui sont des termes constants

et au fond, je peux les traiter en considérant tous ces termes-là

comme une masse fois un <i>g</i> effectif,

comme ceci, avec un <i>g</i> effectif,

qui est le <i>g</i> corrigé par ce terme de rotation.

Regardons maintenant ce terme plus en détail.

Je répète la formule pour le <i>g</i> effectif,

si je prends un dessin de la Terre vue de loin, voilà mon point <i>A</i>.

Ce terme est un terme centrifuge

puisque je l'ai passé de l’autre côté du signe égal, donc le voilà.

Ou si on regarde d'un point de vue...

de l'axe perpendiculaire au méridien,

où se trouve a, on a ce terme d'accélération qui est comme ceci.

Maintenant, ce qui va me préoccuper,

c'est l'ordre de grandeur de ce terme par à <i>g</i>,

je rappelle <i>g</i> vertical à la surface de la Terre, ça veut dire radial.

Voilà, ça c'est mon <i>g</i>.

Alors on aimerait savoir quel est l'ordre de grandeur

de ce terme-là, par rapport à <i>g</i>.

Alors l'ordre de grandeur est donné par oméga carré fois <i>OA</i>.

Alors oméga carré fois le rayon de la Terre

ça fait à peu près 0,03 mètres par seconde au carré,

alors que <i>g</i> vaut dix, environ, dix mètres par seconde au carré.

Donc cette correction ici,

que j'ai introduite, elle est de l'ordre de 0.3%.

Dans ce qui suit, je vais faire l'approximation

que notre <i>g</i> effectif c'est à peu près <i>g</i>.

Vous pourriez alternativement dire :

je vais travailler avec un système d'axe

qui est, avec l'axe <i>z</i>, parallèle au <i>g</i> effectif,

ça reviendrait à peu près au même

du point de vue des calculs.

Par conséquent, notre équation du mouvement

pour la dynamique terrestre à la surface de la Terre,

contient ce terme de pesanteur.

Toutes les autres forces sont ici.

On a le terme de Coriolis.

Ceci contient les termes d'accélérations centrifuges

et donc, on a simplement une équation de cette forme-là.

Et dans le module suivant, je vous invite à regarder

l'application pour un mouvement vertical et un mouvement horizontal.

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