Ces quelques leçons de mécanique du point matériel font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton https://www.coursera.org/learn/mecanique-newton 2. Mécanique du point matériel Pour illustrer les concepts introduits dans la première partie, on traite ici des problèmes pour lesquels le système mécanique peut être considéré comme un point matériel. Cette partie couvre notamment les problèmes à traiter en coordonnées cylindriques ou sphériques, le problème des orbites des planètes et les référentiels accélérés. 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne
16.1 Dynamique terrestre
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Mécanique du point matériel
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Dynamique à la surface de la Terre
On applique le formalisme de la leçon précédente à la dynamique d'un point matériel se déplaçant à la surface de la Terre, en cherchant à caractériser la perturbation qu'engendre la rotation de la Terre par rapport à ce qu'on observerait si la Terre était un référentiel d'inertie.
Meet the Instructors
Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Bonjour, bienvenue au cours de physique générale de l'EPFL.
Dans cette leçon, on va appliquer le formalisme
du mouvement relatif et traiter la dynamique d'un point matériel
à la surface de la Terre
lorsqu'on fait des expériences telles que on ne peut plus ignorer
la rotation de la Terre
par rapport à un référentiel d'inertie.
Alors on va d'abord examiner des ordres de grandeur
qui sont déterminants pour ce problème.
On va voir qu'on peut définir une pesanteur effective
qui tient compte de certains effets de rotation
et il nous restera une équation du mouvement pour la dynamique terrestre
qu'on va ensuite appliquer dans le prochain module, à quelques exemples.
Je commence avec la question des ordres de grandeur.
Pourquoi se préoccuper des ordres de grandeur ?
Après tout, vous me direz
on a des ordinateurs très puissants
qui certainement peuvent résoudre le problème d'un point matériel.
Et bien, en fait, avant de conduire un calcul numérique
il est toujours bon de connaître les propriétés qualitatives
d'un système dynamique et pour ce faire,
on fait des approximations
qui nous permettent de garder des expressions mathématiques
relativement simples, dans lesquelles on repère
le sens physique des termes.
Et une fois qu'on a conduit cette analyse
on peut ensuite passer à l'intégration numérique
et chercher le détail et la précision nécessaire s'il y a lieu.
D'abord la vitesse de la Terre.
La vitesse angulaire de la Terre est relativement faible
par rapport aux expériences qu'on veut faire.
Alors, tout le monde sait que la Terre fait un tour en 24 heures.
Je vous invite à faire une pause
pour essayer de transformer cette donnée en radiant par seconde.
Alors, en radiant par seconde, la vitesse de la Terre,
c'est de l'ordre de dix moins quatre radiants par seconde.
Maintenant, le rayon de la Terre c'est de l'ordre de six millions de mètres.
On va faire des expériences à l'échelle de quelques mètres
à quelques dizaines de mètres,
et on pourra donc négliger l'extension spatiale
de nos expériences par rapport au rayon de la Terre.
Je commence par définir mes référentiels.
D'abord je vais supposer que je peux ignorer
le mouvement de la Terre autour du soleil
et donc je vais pouvoir prendre un référentiel d'inertie centré
sur la Terre mais les directions <i>x1, x2, x3</i>
de mon référentiel d'inertie pointent vers des étoiles lointaines.
Je vais faire une expériences de mécanique
à la surface de la Terre au voisinage d'un point <i>A</i>,
j'ai dessiné le parallèle en <i>A</i> et le méridien en a.
Et je vais me donner un système d'axe lié à la Terre
qui définit mon référentiel relatif <i>A y1, y2 et y3</i>.
Je définis la position de a sur la Terre ici
avec ce qu'on appelle la colatitude lambda.
Donc j'ai <i>O x1 x2 x3</i> qui est mon référentiel d'inertie.
<i>A y1 y2 y3</i>, lié à la Terre, qui est mon référentiel accéléré
et je vais maintenant utiliser notre formalisme pour faire la dynamique.
On va supposer qu'il y a la force de pesanteur
et puis on va mettre, regrouper en un terme
tous les autres termes de force.
Donc j'ai la pesanteur et les autres termes de force
et voilà notre grande formule pour l'accélération absolue
donc l'accélération mesurée par rapport au référentiel d'inertie.
On a en particulier ce terme-là qui apparaît.
Alors vu du référentiel d'inertie, le point <i>A</i>...
qui est lié à la surface de la Terre,
a une trajectoire en cercle.
C'est un mouvement circulaire de vitesse oméga
et donc l'accélération absolue du point <i>A</i>,
je peux l'écrire de cette manière-là.
Si je regroupe les termes, j'ai maintenant ici
ces deux termes, l'un à côté de l'autre
et comme on va faire des expériences
au voisinage du point, le point p c'est notre point matériel,
<i>AP</i> reste au voisinage de <i>A</i>
et certainement le vecteur <i>AP</i> est beaucoup beaucoup plus petit que <i>OA</i>
qui vaut en module six millions de mètres.
Donc je vais négliger ce terme-là.
Alors, il me reste une équation du mouvement
avec ces termes-là, qui sont des termes constants
et au fond, je peux les traiter en considérant tous ces termes-là
comme une masse fois un <i>g</i> effectif,
comme ceci, avec un <i>g</i> effectif,
qui est le <i>g</i> corrigé par ce terme de rotation.
Regardons maintenant ce terme plus en détail.
Je répète la formule pour le <i>g</i> effectif,
si je prends un dessin de la Terre vue de loin, voilà mon point <i>A</i>.
Ce terme est un terme centrifuge
puisque je l'ai passé de l’autre côté du signe égal, donc le voilà.
Ou si on regarde d'un point de vue...
de l'axe perpendiculaire au méridien,
où se trouve a, on a ce terme d'accélération qui est comme ceci.
Maintenant, ce qui va me préoccuper,
c'est l'ordre de grandeur de ce terme par à <i>g</i>,
je rappelle <i>g</i> vertical à la surface de la Terre, ça veut dire radial.
Voilà, ça c'est mon <i>g</i>.
Alors on aimerait savoir quel est l'ordre de grandeur
de ce terme-là, par rapport à <i>g</i>.
Alors l'ordre de grandeur est donné par oméga carré fois <i>OA</i>.
Alors oméga carré fois le rayon de la Terre
ça fait à peu près 0,03 mètres par seconde au carré,
alors que <i>g</i> vaut dix, environ, dix mètres par seconde au carré.
Donc cette correction ici,
que j'ai introduite, elle est de l'ordre de 0.3%.
Dans ce qui suit, je vais faire l'approximation
que notre <i>g</i> effectif c'est à peu près <i>g</i>.
Vous pourriez alternativement dire :
je vais travailler avec un système d'axe
qui est, avec l'axe <i>z</i>, parallèle au <i>g</i> effectif,
ça reviendrait à peu près au même
du point de vue des calculs.
Par conséquent, notre équation du mouvement
pour la dynamique terrestre à la surface de la Terre,
contient ce terme de pesanteur.
Toutes les autres forces sont ici.
On a le terme de Coriolis.
Ceci contient les termes d'accélérations centrifuges
et donc, on a simplement une équation de cette forme-là.
Et dans le module suivant, je vous invite à regarder
l'application pour un mouvement vertical et un mouvement horizontal.
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