[MUSIQUE] La transformation de Fourier a une multitude de propriétés importantes, et nous allons ici en examiner trois qui vont nous servir tout le temps. Il s'agit de la formule d'inversion, de l'isométrie, et de la transformée de la dérivée d'une fonction. La première de ces propriétés est donc ce qu'on appelle la formule d'inversion. Il s'agit de répondre à la question : étant donné psi de x, je peux définir phi de p en utilisant cette formule, mais peut-on reconstruire psi de x à partir de phi de p? Eh bien oui, c'est ce qu'on appelle la formule d'inversion, qui est écrite ici, et qui redonne psi de x en fonction de phi de p. Vous voyez que ces deux formules se ressemblent beaucoup, avec en particulier le même facteur : 1 sur racine de 2 pi h barre devant les deux intégrales. Ensuite, on voit que dans la première formule on intègre sur x et dans la deuxième on intègre sur p. La différence majeure est à nouveau le signe de l'argument dans l'exponentielle : dans l'expression de psi de x, comme dans les séries de Fourier, il y a un signe plus, et dans l'expression de phi de p il y a un signe moins. Pour choisir ce signe, on va utiliser, pour une fois, la même convention que les mathématiciens, et dire que phi de p est la transformée de Fourier directe de psi de x, et que psi de x est la transformée de Fourier inverse de phi de p. En fait, on peut aussi dire que psi de x et phi de p sont transformées de Fourier l'une de l'autre, avec une convention de signe qui est bien sûr arbitraire. Mais, une fois qu'on l'a choisie, il ne faut plus en changer, sinon les calculs ne seraient pas corrects. Cette formule d'inversion est donc la première propriété qui nous servira tout le temps. Une seconde propriété, très importante, est l'isométrie. Vous savez ce qu'est une isométrie : cela veut dire que la transformation de Fourier conserve les produits scalaires. Il faut donc d'abord définir un produit scalaire dans l'espace L2. C'est une opération mathématique qui prend deux fonctions et qui fabrique un nombre en respectant les propriétés d'un produit scalaire. Dans l'espace L2, il existe un produit scalaire naturel, qui est écrit ici. Pour deux fonctions psi 1 de x et psi 2 de x, on calcule cette expression encadrée en intégrant sur x le produit psi 1 étoile psi 2, avec une conjugaison complexe représentée par une étoile. Cette étoile est fondamentale : c'est elle qui assure que ce produit est linéaire pour psi 2 et antilinéaire pour psi 1. Ces deux fonctions ont, évidemment, des transformées de Fourier, phi 1 et phi 2, et je peux définir aussi le produit scalaire de ces fonctions, que j'ai écrit ici. C'est une intégrale du produit phi 1 étoile phi 2 sur p, avec toujours la même étoile ici. Le résultat central est que ces deux intégrales sont égales. C'est pour cela qu'on dit qu'on a une isométrie. Autrement dit, le produit scalaire de deux fonctions, calculé avec les fonctions elles-mêmes ou avec leur transformée de Fourier, donne le même nombre. Ceci n'est pas complètement évident à démontrer, vous le ferez plus tard en exercice, et on peut aussi utiliser cette notation compacte pour le produit scalaire; on y reviendra plus tard. Un cas particulier très utile est celui où psi 1 égale psi 2. Dans ce cas, l'expression sous cette intégrale est simplement le module carré de psi, et celle-là le module carrée de phi. Et l'isométrie nous dit que les deux intégrales sont égales entre elles. On a déjà vu que cette intégrale est la norme de la fonction, et si on la prend égale à 1, on dit que la fonction est normée. On en déduit donc que si psi est normée, alors phi est normée également; ceci sera très utile dans la suite. Finalement, la troisième propriété qui va beaucoup nous servir, c'est le lien non trivial et extrêmement important qui existe entre la dérivation et la transformation de Fourier. Repartons donc de psi et phi, écrivons cette fois psi en fonction de phi, et dérivons les deux membres de cette égalité. Si je dérive à gauche, j'obtiens simplement la dérivée de la fonction psi; si je dérive à droite, sous le signe somme, en supposant qu'on est dans l'espace S de Schwartz, on voit que la variable x de dérivation n'apparaît que dans l'exponentielle. J'obtiens donc un facteur ip sur h barre, et je conserve l'exponentielle et le phi de p. Ce qui est intéressant maintenant est d'examiner cette équation globalement. On voit ainsi qu'elle ressemble beaucoup à la précédente, dans le sens où j'ai à gauche une fonction, ici la dérivée de psi, et donc ce qui apparaît à droite, dans le crochet, doit être sa transformée de Fourier. On en conclut que le lien de transformation de Fourier existe toujours, mais maintenant entre la dérivée de la fonction psi et le produit ip sur h barre multiplié par phi. On fait ainsi apparaître la magie de la transformée de Fourier qui est de transformer les dérivations en multiplications : quand on dérive dans un espace, on multiplie par la variable dans l'autre espace. Comme je l'ai déjà dit dans la leçon 1, ceci va nous permettre de transformer des équations différentielles en équations algébriques en remplaçant les dérivées par des multiplications. On peut bien sûr répéter cette opération et faire apparaître à gauche une dérivée seconde. Si je dérive une seconde fois à droite, le même ip sur h barre va apparaître à nouveau, et on aura moins p² sur h barre ² sous l'intégrale. On obtient donc, de la même façon, qu'une dérivée seconde à gauche va correspondre à une multiplication par le carré de la variable à droite. Ceci nous amène donc, pour conclure cette deuxième leçon, à la petite phrase à retenir : la dérivation par rapport à x dans l'espace des positions est équivalente à la multiplication par ip sur h barre dans l'espace des impulsions. Et pour vérifier que tout a été bien compris, je vous propose maintenant un petit quiz.
