[MUSIQUE] Bonjour. Dans ce qui précède, nous nous sommes intéressés à la moyenne de résultats de mesures de position. Une autre quantité que nous connaissons bien est l'impulsion, et nous pouvons l'utiliser pour continuer à nous forger une intuition du problème. Préparons un grand nombre de particules, toutes dans la fonction d'onde psi(x). Notons phi(p) la transformée de Fourier de psi(x). Effectuons sur chaque particule une mesure de son impulsion, par exemple grâce à une expérience de temps de vol. Nous savons que la densité de probabilité pour trouver le résultat p est le module carré de la transformée de Fourier phi(p). La moyenne des résultats obtenus dans ces mesures d'impulsion s'écrit donc : valeur moyenne de p égal intégrale sur p de p fois la densité de probabilité, module de phi(p) au carré. En utilisant deux propriétés fondamentales de la transformation de Fourier, à savoir l'isométrie et la dérivation, nous avons vu au chapitre précédent que l'on peut mettre cette valeur moyenne sous une forme qui va être très utile, car facilement généralisable : valeur moyenne de p égal l'intégrale du produit de psi*(x) avec ħ sur i fois la dérivée de psi par rapport à x. Cette expression est remarquable car elle fait intervenir la fonction d'onde psi(x) elle-même et pas sa transformée de Fourier phi(p). C'est grâce à ce point que nous allons pouvoir étendre notre résultat à toute grandeur physique. Pour cela, examinons de plus près ce que nous avons trouvé pour la position et pour l'impulsion. Nos deux résultats ont en fait une structure commune remarquable quand on les écrit en termes d'opérateurs agissant sur la fonction d'onde psi(x). À gauche, nous avons la moyenne de la position : valeur moyenne de x égal intégrale sur x de psi étoile fois la fonction obtenue en faisant agir l'opérateur x chapeau sur psi. L'opérateur x chapeau que nous introduisons ici consiste simplement à multiplier la fonction d'onde psi(x) par la variable x. Une notation plus compacte pour ce résultat consiste à écrire que la moyenne de la position est le produit scalaire de psi par la fonction x chapeau psi. Rappelons que nous utilisons dans ce cours le produit scalaire naturel de l'espace des fonctions de complexes de carrés sommables : produit scalaire de f avec g égal intégrale sur x du produit du complexe conjugué de f de x par g de x. À droite, regardons maintenant la moyenne de l'impulsion. Nous pouvons mettre cette moyenne sous la forme suivante : valeur moyenne de p égal intégrale sur x de psi étoile fois la fonction obtenue en faisant agir l'opérateur p chapeau sur psi. Nous avons introduit ici l'opérateur impulsion noté p chapeau qui est simplement la dérivation par rapport à la variable x fois la quantité constante h barre sur i. Comme pour la position, nous pouvons adopter une notation compacte en termes de produit scalaire : la moyenne de l'impulsion est simplement donnée par le produit scalaire de psi par la fonction p chapeau psi. Avec ces deux résultats, pour la position moyenne et pour l'impulsion moyenne, nous sommes en face d'un résultat essentiel du cours : les valeurs moyennes de ces deux quantités physiques, position et impulsion, font intervenir la même structure mathématique. Pour aboutir à cette structure, la procédure est claire : Il faut d'abord identifier l'opérateur associé à la quantité physique, l'opérateur position à gauche, l'opérateur impulsion à droite, et on prend ensuite le produit scalaire de l'état psi de la particule avec l'état obtenu x psi ou p psi par action de l'opérateur position ou impulsion sur la fonction d'onde. Nous allons maintenant faire le postulat que la structure obtenue pour une mesure de position en psi fois x psi, ou une mesure d'impulsion en psi fois p psi, se généralise à toute grandeur physique. Ce postulat, que nous appellerons principe 3, vient compléter les deux premiers postulats que nous avons déjà présentés. Rappelons que le principe 1 a consisté à poser l'existence de la fonction d'onde pour décrire le système, le principe 2 nous a donné l'évolution dans le temps de la fonction d'onde psi de x et de t par l'intermédiaire de l'équation de Schrödinger. Le principe 3 a quant à lui posé le cadre de l'étude des grandeurs physiques. Il va nous permettre de relier le formalisme des fonctions d'onde à la perception que nous pouvons avoir du système étudié, en l'occurrence notre particule ponctuelle. Nous voulons déterminer les résultats de mesures que vont nous donner nos appareils quand la particule étudiée est dans un état psi(x) bien défini. Dans la suite de ce cours, nous verrons successivement deux formes de ce principe : l'une qualifiée de faible, que nous allons discuter tout de suite, et qui porte sur la moyenne des résultats de mesures, et dans la leçon suivante nous rencontrerons une forme plus forte de ce principe qui nous permettra de préciser les résultats de mesures individuelles. Ce principe 3, sous sa forme faible, le voici : à toute grandeur physique A, on peut associer un opérateur linéaire A chapeau, appelé observable. Cet opérateur permet de calculer la moyenne des résultats de mesures de la grandeur physique A. Plus précisément, préparons un grand nombre de particules, chacune dans l'état décrit par la fonction d'onde psi(x). Sur chaque particule, on effectue la mesure de la quantité physique grand A. Alors, le principe 3 postule que la moyenne des résultats est donnée par l'intégrale du produit psi étoile par le résultat de l'action de a sur psi. Ceci peut encore s'écrire comme un produit scalaire, le produit de psi par la fonction A psi. Nous allons voir dans quelques minutes comment construire l'opérateur A chapeau de manière générale. Mais indiquons tout de suite une propriété mathématique indispensable pour que ce principe ne conduise pas à des incohérences sur le plan physique. Nous allons imposer que A chapeau, qui est un opérateur linéaire agissant dans l'espace des fonctions d'onde, soit hermitien. Ceci signifie que, pour tout couple de fonctions psi 1 et psi 2, le produit scalaire de psi1 avec A psi2 est égal au produit scalaire de A psi1 avec psi2. Une conséquence immédiate de cette condition d'hermiticité est que la valeur moyenne A définie ci-dessus est toujours réelle, ce qui est bien sûr naturel pour une quantité physique. Passons maintenant à la procédure à suivre pour construire l'observable A chapeau, associé à notre quantité physique grand A. En fait, pour le système que nous considérons ici, à savoir une particule ponctuelle, cette construction est très simple. En effet, toutes les quantités physiques du problème ont un équivalent classique. Elles s'expriment comme des fonctions de la position et de l'impulsion de la particule. Nous allons donc pouvoir invoquer le principe de correspondance classique quantique pour trouver l'expression recherchée. Partant d'une expression donnée de la quantité physique grand A en fonction de x et de p, nous allons remplacer la position x par l'opérateur position x chapeau, et l'impulsion p par l'opérateur impulsion p chapeau. Cette procédure est simple et sans ambiguïté, hormis quelques cas où il faut faire attention à l'ordre dans lequel on écrit les opérateurs position et impulsion. Nous reviendrons sur cette difficulté particulière en temps utile. Par ailleurs, plus tard dans ce cours, nous aurons l'occasion de rencontrer d'autres quantités physiques sans équivalent classique, comme le spin d'une particule ponctuelle par exemple. Il nous faudra alors faire preuve d'imagination pour déterminer les observables correspondantes et développer une intuition à leur sujet. Mais pour l'instant, l'expression de l'observable A chapeau associée à la quantité physique grand A peut être déterminée simplement avec la prescription que nous venons de donner. Nous allons maintenant récapituler un certain nombre d'observables utiles pour décrire une particule ponctuelle en physique quantique. Nous allons donner ces observables pour un mouvement dans un espace tridimensionnel, avec une fonction d'onde psi fonction de r vecteur, même si la plupart des applications que nous serons amenés à étudier dans ce cours concerneront des problèmes unidimensionnels. Commençons par rappeler les opérateurs position : x chapeau, y chapeau, z chapeau associés aux quantités physiques position le long des axes x, y et z. Nous venons de voir que ces opérateurs sont simplement la multiplication par les variables x, y, z. Passons maintenant aux opérateurs impulsion : px chapeau, py chapeau, pz chapeau associés aux quantités physiques impulsion le long des trois axes px, py, pz. Nous avons vu que ces opérateurs sont obtenus en prenant la dérivation par rapport aux variables de position x, y et z au coefficient multiplicatif h barre sur i près. On peut écrire cette action de manière compacte en posant, en notation vectorielle, que p chapeau est égal à h barre sur i fois le gradient par rapport à r. Dans la suite du cours, nous aurons également besoin du carré de l'impulsion qui intervient par exemple dans l'énergie cinétique. Ce carré s'obtient en faisant agir deux fois l'opérateur gradient et est donc égal au laplacien, au coefficient multiplicatif -h2 barre carré près. Une quantité qui joue un rôle crucial en mécanique, qu'elle soit classique ou quantique, est l'énergie totale d'une particule. En physique classique, cette énergie s'obtient en additionnant l'énergie cinétique p carré sur 2m et l'énergie potentielle V de r. Le principe de correspondance nous indique alors que nous devons additionner l'opérateur énergie cinétique, c'est-à -dire h barre carré sur 2m fois le laplacien, et le potentiel V de r chapeau, où r chapeau désigne l'opérateur position de la particule. Cet opérateur énergie n'est autre que l'hamiltonien, que nous avons déjà rencontré à la leçon précédente. Et pour terminer, intéressons-nous à une quantité très utile pour tous les problèmes à plusieurs dimensions : le moment cinétique grand L. Ce moment cinétique est égal au produit vectoriel de la position et de l'impulsion. Considérons par exemple la composante selon z de cette quantité, qui s'écrit x py moins y px. Le principe de correspondance consiste à mettre des chapeaux sur toutes ces quantités, ce qui donne pour la composante selon z le résultat suivant : Lz chapeau est égal à la multiplication par x composée avec la dérivation par rapport à y moins la multiplication par rapport à y composée avec la dérivation par rapport à x, avec devant tout cela le facteur multiplicatif h barre sur i. [MUSIQUE]
