[MUSIQUE] Dans cette vidéo, nous allons nous intéresser au cas particulier très important du puits de potentiel symétrique, correspondant à une fonction V(x) qui sera une fonction paire de x, donc telle que V(-x) = V(x) pour toute valeur de x. Nous allons voir comment la recherche des fonctions propres de l'hamiltonien, c'est-à -dire des solutions de l'équation H psi = E psi, peut s'en trouver considérablement simplifiée. Il s'agit ici d'un exemple où une invariance géométrique du système, en l'occurrence, la parité du potentiel, peut être mise à profit pour simplifier la résolution du problème. Considérons donc une fonction propre psi(x) de l'hamiltonien associée à la valeur propre E, et essayons de voir ce qu'on peut en conclure sur la fonction qui à x associe psi(-x). Pour cela, commençons par reformuler notre équation pour faire apparaître d'une part, le terme d'énergie cinétique, qui fait intervenir la dérivée seconde de psi prise au point x, et d'autre part, le terme d'énergie potentielle, qui fait intervenir le produit de V(x) par psi(x). Cette équation étant valable pour toute valeur de x, nous pouvons l'écrire en particulier au point (-x). Le terme d'énergie cinétique fait alors apparaître la dérivée seconde de psi prise au point -x. Pour exprimer ce terme à l'aide de la fonction psi(-x), commençons par dériver cette dernière une première fois par rapport à x. Comme vous le savez, en raison du signe- dans l'argument de la fonction, on obtient alors l'opposée de la dérivée de psi, prise au point -x. Mais si l'on dérive cette expression une seconde fois par rapport à x, les deux signes- se neutralisent et on obtient finalement un signe +. La dérivée seconde de psi prise au point -x est ainsi égale à la dérivée seconde de la fonction psi(-x). Par ailleurs, nous avons par hypothèse que V(-x) = V(x). On en déduit donc que psi(-x) obéit exactement à la même équation que psi(x). En d'autres termes, psi(-x) est donc, comme psi(x), fonction propre de l'hamiltonien, pour la même valeur propre E. Considérons maintenant la fonction psi S(x), définie comme la somme de psi(x) et de psi(-x). Par construction, cette fonction est une fonction symétrique ou paire, puisque la somme est inchangée lorsque l'on change x en -x. De même, la fonction psi A(x), égale à la différence entre psi(x) et psi(-x), est une fonction antisymétrique ou impaire, puisqu'elle change de signe lorsqu'on remplace x par -x. Par ailleurs, on avait supposé que psi(x) était une fonction propre de l'hamiltonien pour la valeur propre E. De plus, on a vu que comme le potentiel était pair, ceci impliquait que psi(-x) était également fonction propre pour la même valeur propre. Donc, toutes les combinaisons linéaires de psi(x) et psi(-x) sont fonctions propres. On en déduit que les deux fonctions psi S(x) et psi A(x) sont des fonctions propres de l'hamiltonien, sauf bien sûr si l'une d'entre elles est nulle, ce qui arrivera lorsque la fonction de départ était déjà paire ou impaire. Quoiqu'il en soit, on en déduit que ces deux fonctions psi S et psi A appartiennent toujours au sous-espace propre associé à la valeur propre E. Inversement, on pourra toujours retrouver la fonction de départ psi(x) comme la demi-somme de psi S et de psi A. Cela signifie que les deux fonctions psi S et psi A engendrent un espace vectoriel contenant toujours la fonction psi(x) dont nous étions partis. On peut donc se contenter de chercher une base propre constituée de fonctions paires comme psi S et impaires comme psi A. Attention, cela ne signifie pas que toutes les fonctions propres sont paires ou impaires, mais simplement que toute fonction de notre sous-espace propre pourra s'écrire comme une combinaison linéaire de fonctions paires et impaires, et donc que l'on peut se contenter de chercher une base propre de ce sous-espace, composé uniquement de telles fonctions. Pour illustrer notre propos, considérons le cas trivial du potentiel nul. Comme vous le savez, l'équation aux valeurs propres se ramène alors à une équation différentielle du second ordre à coefficient constant, (d 2 psi) / (d x 2) + k 2 psi = 0, où k est le vecteur d'onde égal à racine de 2m E sur h barre. Comme vous le savez, la solution générale de cette équation différentielle est une combinaison linéaire des exponentielles complexes, exponentielle i k x et exponentielle- i k x. Mais nous pouvons aussi écrire cette solution générale comme une combinaison linéaire des fonctions cosinus k x et sinus k x. Si nous appliquons la démarche proposée auparavant, nous allons chercher des fonctions propres paires ou impaires. Les fonctions paires sont toutes du type psi(x) = A cos kx, tandis que les fonctions impaires s'écrivent psi(x) = B sin kx. Nous avons ainsi deux fonctions de base, cos kx et sin kx, qui nous permettent d'écrire la solution générale sous la forme psi(x) = A cos kx + B sin kx. À l'aide de ces deux fonctions respectivement paire et impaire, nous pouvons retrouver l'ensemble des fonctions propres, comme par exemple, e (i k x) = cos kx + i sin kx. De même, e (- i k x) sera égal à cos kx- i sin kx. Comme nous l'avions annoncé, les fonctions propres ne sont pas nécessairement paires ou impaires, ce qui est évidemment le cas de la fonction e (i k x). Mais toutes les fonctions propres peuvent s'exprimer dans une base constituée de fonctions paires, ici le cosinus, et impaires, ici le sinus. Intéressons-nous maintenant au cas particulier très important des états liés, et considérons à nouveau psi(x), une fonction propre de l'hamiltonien, associée à la valeur propre E. Comme nous l'avons vu, si le potentiel est pair, la fonction psi(-x) est aussi fonction propre pour la même valeur propre. Mais pour un problème à une dimension, nous savons par ailleurs que les états liés sont non dégénérés. L'espace propre est donc un espace vectoriel de dimension 1 qui est engendré par la fonction psi(x). La fonction psi(-x), qui appartient à cet espace, est donc proportionnelle à la fonction de base psi(x). En d'autres termes, il existe un nombre alpha complexe tel que psi(-x) soit égal alpha psi(x). En remplaçant dans cette expression x par -x, on obtient psi(-(-x)) = alpha psi(-x). Et en remplaçant psi(-x) par alpha psi(x), on obtient finalement alpha au carré psi(x). Comme ce terme doit être égal au membre complètement à gauche de l'égalité, qui vaut en fait psi(x), ceci implique que alpha au carré soit égal à 1. Finalement, alpha est tout simplement égal à +1 ou -1. Si alpha vaut 1, alors la fonction psi(x) est une fonction paire, tandis que si alpha vaut -1, alors psi(x) est une fonction impaire. On en déduit donc que psi(x) est soit paire, soit impaire. Conclusion, pour un potentiel pair à une dimension, un état lié est nécessairement soit pair, soit impair. En résumé, nous avons établi que dans le cas d'un potentiel pair, on peut se contenter de rechercher une base propre constituée uniquement de fonctions paires ou impaires, ce qui simplifiera très souvent la résolution du problème. De plus, dans le cas particulier des états liés pour un problème à une dimension, nous savons que les valeurs propres sont non dégénérées, ce qui implique que les fonctions propres associées soient nécessairement paires ou impaires. Plus précisément, le théorème de Sturm-Liouville nous permet d'affirmer que l'état fondamental qui ne s'annule pas est une fonction paire, tandis que le premier état excité, qui s'annule une fois, est une fonction impaire, le deuxième état excité, qui s'annule deux fois, est une fonction paire, et ainsi de suite. Les états liés sont donc alternativement pairs et impairs.
