[MUSIQUE] Dans cette vidéo, nous allons considérer le cas d'un puits semi-infini. Cela signifie que notre potentiel à une dimension V (x) sera supposé infini pour x négatif, ce qui, comme vous le savez, correspond à une situation où la particule n'est pas autorisée à se trouver dans la région représentée ici en rouge, à gauche à de l'origine. Nous supposerons en outre que le potentiel est négatif au voisinage de x égal à zéro, et tend vers zéro lorsque x tend vers plus l'infini. Il s'agit en quelque sorte d'un demi-puits de potentiel placé contre un mur infranchissable. Ce problème a de nombreuses applications physiques, et sera notamment utile pour décrire des problèmes à trois dimensions à symétrie sphérique, c'est-à -dire avec un potentiel ne dépendant que de la distance à l'origine. C'est ce qu'on appelle le problème du potentiel central, problème qui joue un rôle très important en physique atomique et en physique nucléaire, pour ne citer que deux exemples. De manière générale, on peut montrer que le problème du potentiel central se ramène à un problème à une seule dimension spatiale, avec un potentiel effectif ne dépendant que de la variable radiale. Comme cette dernière est par définition toujours positive, cela correspond précisément au problème du puits semi-infini à une dimension discuté ici. Comme dans le cas du puits de potentiel étudié dans les vidéos précédentes, il existe deux types de solutions, selon que l'énergie est négative ou positive. Si l'énergie est négative, on aura comme vous le savez un état lié, mais dans cette vidéo, nous allons nous intéresser aux états de diffusion, c'est-à -dire ceux pour lesquels l'énergie E est positive. On pourra évidemment résoudre ce problème du puits semi-infini très facilement de manière numérique, mais nous allons ici simplifier le problème, afin de pouvoir le résoudre à la main, de manière approximative. Remplaçons donc le potentiel initial par un potentiel constant par morceaux. Nous supposerons ainsi que dans l'intervalle compris entre 0 et L, le potentiel prend une valeur constante et négative que l'on notera -V0, tandis que pour x plus grand que L, le potentiel sera simplement pris égal à zéro. La grandeur L représente ainsi la largeur de notre puits semi-infini. Pour résoudre ce problème, nous allons maintenant utiliser la même approche que celle que vous avez déjà employée pour la marche de potentiel. Il est en effet très simple de résoudre le problème dans des régions de l'espace où le potentiel est constant, et il suffira ensuite de raccorder les solutions aux interfaces en utilisant les conditions de continuité de la fonction d'onde que vous connaissez bien. Considérons donc le cas d'un état de diffusion d'énergie E positive, et écrivons la fonction d'onde dans les deux régions de l'espace où le potentiel est constant. Pour x compris entre 0 et L, le potentiel prend la valeur -V0. Le terme associé à l'énergie cinétique vaut donc E + V0, ce qui nous permet de définir un vecteur d'onde k = √ 2 m (E + V0) / ħ. Notre fonction d'onde dans cette région de l'espace est donc a priori une combinaison linéaire arbitraire de sinus kx et de cosinus kx, mais comme vous l'avez déjà vu pour le puits infini, la condition limitant x égal à zéro nous permet est d'éliminer le terme en cosinus. La solution de l'équation se met alors sous la forme ψ (x) = A sin k x. Ainsi, la fonction d'onde sera bien nulle en x égal à zéro, ce qui permet d'assurer la continuité avec la région des x négatifs. Pour x supérieur à L, le potentiel est nul, et le vecteur d'onde s'écrit maintenant k' = √ 2m E / ħ barre. De manière générale, la fonction d'onde s'écrit alors ψ(x) = B sin k'x + C cos k'x. Écrivons maintenant les conditions limites en x égal L. Nous savons d'une part que la fonction d'onde ψ(x) est continue en x égal L. En utilisant l'expression de ψ pour x inférieur à L, on peut écrire ψ(L) = A sin k L. Et par continuité, cette grandeur est aussi égale à la valeur de Psi calculée à l'aide de l'expression valable pour x supérieur à L, ce qui nous donne B sin k' L + C cos k' L. De même, la dérivée première dψ / dx prise au point L est égale à A k cos k L, résultat obtenu en dérivant l'expression de ψ(x) pour x inférieur à L. Mais par continuité, on peut aussi dériver l'expression de ψ(x) pour x supérieur à L, ce qui nous donne B k' cos k' L - C k' sin k' L. Si nous supposons que A est connu, nous pouvons écrire les deux équations obtenues sous la forme d'un système de deux équations à deux inconnues, où les deux inconnues sont les paramètres B et C. Comme vous avez pu vous en rendre compte, il existe une solution unique à ce système de deux équations à deux inconnues. En effet, le déterminant associé Δ = - sin² k' L- cos² k' L est toujours égal à -1. Donc pour A fixé, il existe un unique couple (B, C) solution du système de deux équations. Nous pouvons en tirer deux conclusions. D'une part, toutes les valeurs positives de l'énergie sont autorisées, puisque nous avons montré qu'il existait toujours une solution au problème. D'autre part, les valeurs propres sont non dégénérées. En effet, il n'y a qu'un seul paramètre libre, la grandeur A. L'espace des solutions est donc bien un espace vectoriel de dimension 1 engendré par exemple par l'unique solution correspondant au cas A = 1. Tâchons maintenant d'interpréter le résultat obtenu. Tout d'abord, l'unicité de la solution n'est pas une surprise. En effet, nous savons que pour une équation différentielle du second ordre, la connaissance de la fonction et de sa dérivée en un point donné, ici x égal L, détermine la solution de manière unique dans tout l'espace. Par ailleurs, les oscillations que nous observons à droite du puits correspondent tout simplement à l'interférence entre l'onde incidente qui vient de la droite et l'onde réfléchie par le puits qui se propage dans la direction opposée. La période de l'oscillation est la longueur d'onde de De Broglie, qui diminue lorsque l'énergie augmente. Enfin, ce résultat reste qualitativement correct si on remplace le potentiel constant par morceaux par le potentiel initial. La fonction d'onde dans le puits est modifiée, mais nous observons toujours à droite du puits l'interférence entre l'onde incidente et l'onde réfléchie, avec bien entendu la même variation de la longueur d'onde avec l'énergie. Pour terminer, nous pouvons facilement comprendre pourquoi la valeur propre E est non dégénérée, contrairement au cas du puits que nous avions étudié dans les vidéos précédentes. Dans ce dernier cas, le potentiel tendait vers zéro des deux côtés du puits, ce qui nous avait permis de trouver deux solutions linéairement indépendantes, correspondant à une onde incidente venant soit de la droite, soit de la gauche, et étant partiellement réfléchie par le puits. Ces deux solutions engendrent un espace propre de dimension 2. Rien de tel pour notre puits semi-infini. La seule solution physique correspond maintenant à une onde incidente venant de la droite, et qui subit une réflexion totale sur le puits de potentiel, puisque la particule n'a pas la possibilité de se trouver dans la région des x négatifs. L'espace propre est donc de dimension 1, et la valeur propre E est non dégénérée.
