[MUSIQUE] Après l'étude des états de diffusion, abordée dans la leçon précédente, nous allons dans cette vidéo terminer l'étude du puits semi-infini en nous intéressant maintenant au cas des états d'énergie négative correspondant à une particule piégée à l'intérieur du puits. Nous allons bien entendu procéder exactement de la même manière que pour les états de diffusion en raccordant par continuité les solutions obtenues dans les deux régions du puits de potentiel. Considérons tout d'abord la région de l'espace à l'intérieur du puits. Bien que l'énergie E soit négative, la grandeur E plus V0 reste positive, et le problème sera donc exactement le même que pour un état de diffusion. Posons donc à nouveau k égal racine de 2 m E plus V0 sur h barre. Comme pour les états de diffusion, l'obligation faite à la fonction d'onde de s'annuler en x égal à 0 nous permet d'écrire psi de x égal A sinus k x. Considérons maintenant la région à droite du puits, pour x supérieur à L. L'énergie est ici inférieure au potentiel qui est par hypothèse égal à 0 dans cette région de l'espace. Posons donc kappa égal racine de 2 m valeur absolue de E sur h barre. La solution en cette région de l'espace s'écrit alors psi de x égal B exponentielle moins kappa x plus C exponentielle kappa x. De manière générale, la continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée nous permet de calculer les coefficients B et C, et donc de déterminer la fonction d'onde dans tout l'espace. Bien entendu, il n'y a a priori aucune raison pour que le coefficient C soit non nul, et on obtient donc le plus souvent une fonction présentant une divergence exponentielle, ce qui n'est pas physiquement acceptable. Vous vous rappelez que c'est là l'origine de la quantification des énergies des états liés. Seules certaines valeurs de l'énergie nous permettront d'annuler le coefficient C, et donc d'obtenir des fonctions d'onde ayant un sens physique. C'est à l'un de ces états que nous allons maintenant nous intéresser, ce qui revient à éliminer le terme en exponentielle kappa x dans l'expression de la fonction d'onde. Écrivons les conditions de continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée en x égal L. On a psi de L égal A sinus k L, qui est aussi égal à B exponentielle moins kappa L. De même, d psi sur dx pris au point L est égal à A k cosinus k L, mais aussi à moins B kappa exponentielle moins kappa L. On obtient ainsi un système de deux équations à deux inconnues, que nous allons maintenant étudier plus en détail. Nous sommes ici en présence d'un système linéaire homogène de deux équations à deux inconnues, où les inconnues sont A et B. Le déterminant du système s'écrit delta égal sinus k L fois kappa e puissance moins kappa L plus k cosinus k L fois e puissance moins kappa L. Le plus souvent, ce déterminant sera non nul, et notre système homogène aura pour unique solution le résultat trivial A égal à 0 et B égal à 0. Ce qui ne correspond pas à une solution physique, puisque dans ce cas, psi de x serait nul dans tout l'espace. Nous allons donc nous intéresser uniquement au cas où delta est égal à 0. On obtient ainsi une relation entre k et kappa. Le terme en e puissance moins kappa L qui peut être mis en facteur est non nul et n'interviendra donc pas dans le résultat final. On obtient alors tout simplement kappa égal moins k cosinus k L divisé par sinus k L. En multipliant par l'épaisseur du puits, grand L, on obtient la grandeur sans dimension, kappa L égal moins k L cotangente k L. Nous disposons ainsi d'une première relation entre kappa L et k L. Mais par ailleurs, on sait que kappa et k ne sont pas des grandeurs indépendantes. En effet, k est le vecteur d'onde dans le puits, et est donc relié au terme d'énergie cinétique V0 moins valeur absolue de E égal h barre 2 k 2 sur 2 m. Par ailleurs, la valeur absolue de E est par définition égale à h barre 2 kappa 2 sur 2 m. Et la somme de ces deux grandeurs est évidemment égale à la hauteur du puits, V0. On peut maintenant introduire la grandeur k0 homogène à un vecteur d'onde en posant V0 égal h barre 2 k0 carré sur 2 m, ou encore k0 égal racine de 2 m V0 sur h barre. Ceci nous permet d'en déduire kappa 2 plus k 2 égal k0 carré. Ou encore, après multiplication par l'épaisseur L, la relation kappa L au carré plus k L au carré égal à k0 L au carré. Nous obtenons ainsi une seconde relation entre les deux grandeurs sans dimensions, kappa L et k L. La résolution simultanée des deux équations encadrées en rouge va maintenant nous permettre de déterminer les valeurs de k et de kappa qui conviennent pour construire les différents états liés de notre puits semi-infini. Effectuons une résolution graphique de ce système de deux équations à deux inconnues. Pour cela, nous allons représenter la grandeur kappa L en fonction de k L en nous concentrant dans un premier temps sur la première de ces deux équations. Traçons tout d'abord la fonction moins cotangente k L dont nous savons qu'elle diverge à chaque fois que le sinus s'annule, c'est-à -dire lorsque k L est un multiple de pi. En multipliant la fonction moins cotangente k L par k L, c'est-à -dire par une droite de pente égale à 1, on obtient la courbe tracée en rouge qui représente ici la variation de kappa L en fonction de k L selon la première des deux relations liant ces deux quantités. Bien entendu, seules les valeurs positives de cette fonction nous intéressent, car nous savons que kappa L est toujours positif. Considérons maintenant la seconde équation qui exprime simplement le fait que le point de coordonnées k L, kappa L doit appartenir à un cercle représenté ici en vert, dont le rayon est égal à k0 L. Les points d'intersection entre les deux courbes nous donnent ainsi les différentes valeurs de k L qui sont effectivement solutions de notre problème. Intéressons-nous au premier point d'intersection correspondant à la plus petite valeur de k L, et donc à l'état de plus basse énergie, autrement dit, l'état fondamental. On obtient alors la fonction propre représentée ici en rouge. Pour les paramètres que nous avons choisis, le point d'intersection est très proche de l'asymptote, et k L est donc très proche de pi, valeur qui correspondait à la solution pour un puits infini de largeur L. On obtient donc une arche de sinusoïde similaire à l'état fondamental du puits infini. Mais comme k L est très légèrement inférieur à pi, la sinusoïde ne s'annule pas tout à fait en x égal L, ce qui permet son raccordement avec l'onde évanescente pénétrant dans la barrière. Le niveau suivant correspond à k L légèrement inférieur à 2 pi, tandis que le niveau encore au-dessus correspond à k L inférieur à 3 pi. On peut remarquer qu'en montant dans l'échelle des niveaux d'énergie, le point d'intersection s'éloigne de plus en plus de l'asymptote, car la valeur de kappa est de plus en plus petite. L'onde évanescente prend alors plus d'importance, et la probabilité de trouver la particule dans la barrière augmente. On arrive enfin au dernier point d'intersection correspondant à la plus grande valeur convenable de k L qui soit inférieure à k0 L avec une pénétration importante d'onde évanescente dans la barrière. Finalement, on peut noter deux différences fondamentales avec le puits infini. D'une part, les vecteurs d'onde autorisés sont inférieurs aux valeurs correspondantes pour le puits infini, ce phénomène étant d'autant plus marqué que le niveau considéré s'approche de la barrière. D'autre part, le nombre d'états liés est limité, et va naturellement dépendre du rayon k0 L du cercle représenté en vert. Dans l'exemple considéré ici, avec k0 L de l'ordre de 4 pi, on a quatre points d'intersection, et donc quatre états liés. Mais on peut faire varier ce nombre, soit en modifiant la valeur de k0, ce qui revient à changer la profondeur V0 du puits, soit en modifiant l'épaisseur L du puits. On peut ainsi observer qu'en diminuant l'épaisseur du puits, le rayon du cercle diminue, ce qui a pour conséquence de diminuer le nombre d'états liés. En diminuant encore l'épaisseur du puits, on peut même arriver à une situation où le puits n'admet plus aucun état lié, ce qui se produira dès lors que k0 L sera inférieur à pi sur 2. Comme vous avez pu le voir dans le quizz, nous aurons un et un seul état lié lorsque k0 L appartient à l'intervalle de largeur pi compris entre pi sur 2 et 3 pi sur 2. De même, le puits hébergera deux états liés dès lors que k0 L sera compris entre 3 pi sur 2 et 5 pi sur 2. De manière générale, pour déterminer le nombre d'états, il suffira de compter le nombre de zones de largeur pi nécessaires pour couvrir la distance séparant pi sur 2 et k0 L. Pour déterminer ce nombre, il suffit de calculer la différence entre k0 L et pi sur 2, puis de diviser par pi, et enfin de prendre le nombre entier immédiatement supérieur à la valeur obtenue. On obtient ainsi le nombre n d'états liés hébergés par le puits. En d'autres termes, le nombre d'états liés est simplement égal à la partie entière de k0 L sur pi plus un demi. Cette expression nous permet de retrouver en particulier le fait qu'il n'y a pas d'états liés si k0 L est plus petit que pi sur 2. En résumé, nous avons établi que pour un puits semi-infini constant par morceaux, on avait un ensemble fini d'états liés. Nous avons d'ailleurs calculé leur nombre en fonction des paramètres du puits, et nous avons montré qu'il pouvait n'exister aucun état lié pour un puits trop peu profond ou trop peu large. Toujours pour un potentiel constant par morceaux, nous avons calculé la forme exacte des états liés, sachant que le résultat qualitatif restera similaire pour un puits de forme arbitraire. Par ailleurs, nous avons également montré dans la leçon précédente que les valeurs positives de l'énergie étaient toutes autorisées. Elles constituent un continuum de valeurs propres non dégénérées, les états libres associés pouvant s'interpréter comme l'interférence entre une onde incidente et l'onde réfléchie par le puits de potentiel.
