Bonjour. Au cours de cette séance d'exercices, nous allons étudier un puits de potentiel fini. Nous allons mettre en place une méthode graphique pour déterminer les différents états stationnaires, et nous allons montrer qu'il existe toujours au moins un état lié. Reprenons l'expression de l'équation aux valeurs propres en présence d'un potentiel grand V, que nous avons déjà vue à de nombreuses reprises. Moins h barre 2 sur 2 m d 2 psi sur d x carré est égal à E moins V fois psi. De façon plus générale, cette équation peut se mettre sous la forme d 2 psi sur d x carré est égal à plus ou moins k 2 fois psi, où le vecteur d'onde k dépend du potentiel au point considéré. Le signe devant k au carré dépend des valeurs relatives de l'énergie et du potentiel. Il est négatif là où l'énergie est supérieure au potentiel. Ainsi, dans le puits, on a k 0 est égal à racine de 2 m E sur h barre. Et en dehors, k v est égal à racine de 2 m fois V moins E sur h barre. Nous sommes en présence d'un potentiel symétrique par rapport au point x égal 0. Ainsi que cela a été montré dans le cours, cela implique qu'il existe une base d'états propres constituée exclusivement de fonctions d'ondes soit paires, soit impaires. Nous allons rechercher de telles solutions. Construisons la base d'états propres. Dans le puits, on a d 2 psi sur d x carré est égal à moins k 0 au carré fois psi. Les solutions paires se mettent sous la forme psi de x est égal à A cosinus k 0 x. Les solutions impaires se mettent quant à elles sous la forme psi de x est égal à B sinus fois k 0 x, où grand A et grand B sont des constantes à déterminer. En dehors du puits, pour des états liés donnés par une énergie E inférieure à grand B, on a d 2 psi sur d x carré est égal à plus k v au carré fois psi. Ce qui donne des solutions en exponentielles réeles. Les solutions paires se mettent sous la forme psi de x est égal à C fois exponentielle de moins k v fois la valeur absolue de x. Et celles impaires se mettent sous la forme D fois le signe de x fois exponentielle de moins k v fois la valeur absolue de x. Où C et D sont deux nouvelles constantes à déterminer. Regardons tout d'abord les solutions paires. Le potentiel étant fini, les fonctions d'onde et leur dérivée première sont toutes les deux continues en x égal à a. Les relations de continuité s'écrivent A cosinus k 0 a est égal à C fois exponentielle de moins k v a, et moins k 0 A sinus k 0 a est égal à moins k v fois C fois exponentielle de moins k v a. En effectuant le rapport entre ces deux relations, on obtient k 0 tangente k 0 a est égal à k v. Qui relie le vecteur d'onde dans le puits et en dehors. Regardons ensuite les solutions impaires. Là encore, les fonctions d'onde et leur dérivée première sont continues en x égal à a. Les relations de continuité s'écrivent A sinus k 0 a est égal à C exponentielle moins k v a. Et k 0 A cosinus k 0 a est égal à moins k v fois C fois exponentielle de moins k 0 a. En effectuant de la même façon le rapport entre ces deux relations, on obtient k 0 cotangente de k 0 a est égal à moins k v, qui relie le vecteur d'onde dans le puits et en dehors d'une façon différente à celle obtenue pour les solutions paires. On a ainsi plusieurs relations reliant le vecteur d'onde k 0 dans le puits à celui k v en dehors du puits. La première relation valable pour les solutions paires s'écrit k v est égal à k 0 tangente de k 0 a. Cette fonction passe par le point origine, et s'annule pour tous les multiples demi-entiers de pi sur a. Elle tend vers l'infini et change de signe aux multiples entiers de pi sur a. Elle est représentée en bleu sur le graphique de droite. La seconde relation, valable pour les solutions impaires, s'écrit sous la forme k v est égal à moins k 0 fois cotangente de k 0 a. Cette fonction est assez similaire à la précédente. Tracée en rouge sur le graphique, elle forme des branches qui s'intercalent entre les branches en bleu de la première fonction. Enfin, les vecteurs k 0 et k v dépendent tous les deux de l'énergie. Plus précisément, on a k 0 au carré plus k v au carré est égal à 2 m V sur h barre carré. Cette dernière équation est celle d'un cercle dont le rayon croit avec le potentiel V. Les solutions correspondant aux états stationnaires correspondent aux intersections entre les fonctions bleues et rouges avec le cercle tracé en vert. Ces intersections sont en nombre variable, en fonction notamment de la valeur du potentiel et de la largeur du puits. Dans la mesure où la fonction k 0 tangente k 0 a passe par le point origine, quelle que soit la valeur du potentiel, il y a toujours au moins une solution. La vidéo ci-contre vous montre l'évolution du nombre d'états stationnaires lorsque le potentiel augmente. Au fur et à mesure que le rayon du cercle reliant k 0 à k v augmente, le nombre d'intersections avec les courbes bleues et rouges augmente également. Les états stationnaires paires et impaires apparaissent ainsi successivement. On observe également que l'état fondamental ne s'annule pas dans le puits. Le premier état excité s'annule une fois, le second deux fois, et ainsi de suite, comme le veut le théorème de Sturm-Liouville. Regardons maintenant ce qui se passe lorsque l'on fait varier la largeur du puits. Les fonctions rouges et bleues dépendant de k 0 fois a, elles se dilatent à mesure que petit a diminue. Et leurs points d'annulation se décalent vers la droite. Le nombre de solutions diminue alors progressivement, à mesure que les courbes croisent le cercle. A la limite où la taille du puits tend vers 0, il reste un état lié, et un seul. Nous l'avons déjà vu au cours de la séance d'exercices 5.3, les boîtes quantiques ont de nombreuses applications. Elles sont en général construites à partir de semi-conducteurs dans lesquels on insère des cubes d'un autre semi-conducteur, avec une borne interdite plus petite que celle du substrat. Au cours de la séance 5.3, nous avons étudié le cas peu réaliste d'un puits de potentiel infini. Nous avons vu aujourd'hui qu'en contrôlant précisément la taille de la boîte, on peut non seulement ajuster les niveaux d'énergie, mais également le nombre d'états stationnaires. On peut ainsi construire des boîtes avec aucun, un ou plusieurs états excités permettant d'émettre ou d'absorber des photons de différentes longueurs d'onde. Cette séance est maintenant terminée. Merci de l'avoir suivie et à bientôt.
