[МУЗЫКА] [МУЗЫКА] Как же решается парадокс объяснения в логике и математике? Ну, давайте начнем с утверждения. Для того чтобы высказать любое утверждение, нам нужны слова. Для того чтобы эти слова были понятны, нам их надо объяснить, определить с помощью других слов. А эти другие слова нам надо тоже определять. А те слова, с помощью которых мы определяем эти другие слова, нам надо тоже определять. И так получается уход в бесконечность. В толковых словарях это решается проще: там даются определения по кругу. Ну вот пример таких определений: в дневниках Ийона Тихого у Станислава Лема Ийон Тихий на одной из планет пытается понять, что понимается под под словом «сепульки». Открывает их местный словарь, там написано: «Сепулька — это то, что стоит в сепулькарии». Открывает слово «сепулькарий». Там написано: «Сепулькарий — это место, где стоят сепульки». Ну понятно, что такое определение по кругу на самом деле ничего не объясняет. Как же уйти от ухода в бесконечность? Лингвисты предлагают следующее: «Давайте мы введем некоторый набор неопределяемых слов, которые вообще определять не будем, их называют семантическими примитивами, и все остальные слова мы можем объяснить с помощью этих примитивов». Точно то же самое делают математики. Они говорят: «Давайте создадим набор неопределяемых слов». Ну поскольку эти слова ничего не обозначают, они неопределяемые, да? То, соответственно, вместо слов можно даже писать значки, ну чтобы меньше писать. Итак, у нас есть набор знаков. Но для того чтобы сделать некоторое утверждение, нам еще нужна грамматика, то есть правила связи слов или правила связи этих знаков в предложениях, которые делают их принятыми в данной математике. Сам набор этих правил грамматики абсолютно произволен. Их можно построить так, их можно построить этак. Выбирается некоторый произвольный набор, и тогда, если построенное предложение соответствует правилам грамматики, то мы говорим «правильно построенное предложение». Оно может быть верным, неверным, но оно грамматически правильно. И что еще очень важно: некоторые из правильно построенных предложений объявляются истинными без всяких доказательств, аксиомами. Чувствуете, как построена математика, да? Неопределяемые слова, произвольные правила грамматики и аксиомы, ниоткуда не берущиеся. Нет, конечно, в начале математики хотели сделать аксиомы самоочевидными. И формулировали некоторые аксиомы, которые казались, ну, очевидными всегда. Ну например, если a = b, а b = c, то a = c. Это действительно всегда верно. Представьте себе, мы измеряем порог чувствительности. Теперь мы даем стимул, два стимула, которые отличаются друг от друга на половину порога. Субъективно они нами не различаются. То есть a = b. Теперь мы к стимулу, который на полпорога выше, даем стимул, который на полпорога выше его. Мы опять их не различаем, то есть b = c, но разница между a и c уже целый порог, то есть a и c мы субъективно различаем. То есть a = b, b = c, но a не равно c. На самом деле, нельзя сказать, что все аксиомы математики самоочевидны. Математики к этому пришли немножко с другой стороны. Они столкнулись с попытками доказать пятый постулат Евклида. Ну действительно, там вот такие простые вещи, как аксиома, которую я до этого сказал, и вдруг аксиома о том, что через одну точку можно провести только одну параллельную прямую к заданной. Эта аксиома эквивалентна утверждению, что сумма углов треугольника равна ровно 180 градусов, ну а может быть, меньше или больше. В начале XIX века к изумлению математиков стало ясно, что если допустить, что может быть больше или может быть меньше, мы получим другие геометрии, неевклидовы. И не придем ни к какому противоречию. И эти геометрии, оказывается, тоже имеют смысл, и геометрия Лобачевского, и геометрия Римана. Более того, ну вот представьте себе, это к вопросу о том, что сами аксиомы достаточно произвольны. Представьте себе, что мы хотим построить такую геометрию, которая бы соответствовала ну некоторым нашим физическим представлениям. Берем график пути по времени, ставим на этом графике точку и проводим через эту точку линию, перпендикулярную ко времени. Это что же получается? Путь изменяется, а время нет. Но это физически невозможно. Есть ограничение на скорость света: быстрее не бывает. Тогда, значит, мы можем через точку провести несколько прямых, не имеющих физического смысла. Это псевдоевклидова геометрия Минковского. В этой геометрии, в которой через каждую точку можно провести несколько запрещенных прямых, в этой геометрии неверна теорема Пифагора, и эта геометрия хорошо описывает теорию относительности Эйнштейна. Мы имеем право считать, что эта геометрия имеет право на существование? А почему нет? Оказывается, что мы можем построить огромное количество разнообразных аксиом, и при этом эти построенные разные математики вполне могут иметь право на существование. Таким образом, логика и математика — это по существу некая игра в значки, где все строго однозначно определено правилами. Даже арифметика — это не описание реальности, как нам часто говорят, а правила игры с придуманными людьми числами. Но в реальности чисел... 2 + 2 не обязательно = 4, потому что чисел-то вообще не существует в реальности. 2 + 2 = 4 в арифметике. В реальности это может быть все что угодно: две капли воды плюс две капли воды это одна капля воды. Два кролика плюс два кролика через некоторое время это сколько угодно кроликов. А отнюдь не четыре. Это никак не нарушает того, что существуют правила арифметики. Правила не должны единственно противоречить друг другу. В противном случае игра в значки потеряет всякий смысл, то есть не понимаешь, куда какие значки ставить. Тебе заданы правила, как одни значки преобразовывать в другие значки. И ты должен уметь это делать однозначно, поэтому здесь не может быть противоречий. Но это все равно, как если бы вы стали играть в шахматы, а кто-то бы играл по другим правилам в шахматы, чем вы. Получалась бы полная ерунда. Требование самоочевидности в математике заменилось требованием непротиворечивости. Хочу еще отметить, что опыт не играет в математике никакой роли. Французский математик Пьер Ферма лет 400 назад написал на полях книжки, которую он читал, что он нашел замечательное доказательство того, что не существует целых чисел X, Y и Z таких, что X в n-степени + Y в n-степени = Z в n-степени для любого n больше 2. Но добавил: «Поля слишком малы, чтобы это доказательство уместить». От Ферма осталось мало законченных доказательств его утверждений. Но во всех случаях, когда Ферма утверждал, что он нашел доказательство, впоследствии его всегда удавалось найти. За исключением приведенной выше Великой теоремы Ферма. Сохранилось лишь доказательство Ферма для n = 4, Эйлер доказывает эту теорему для n = 3. Позднее Дирихле и Лежандр доказывают ее для n = 5. Теорема была доказана для всех n меньше 100000. Этого достаточно для бесконечного числа чисел X, Y, Z, для n 100000 оказывается верной. Ну эмпирически, ну конечно бы да, но математики не принимали это как доказательство. Они верили, что, наверное, доказательство существует, пытались его найти, и лишь в конце ХХ века общее доказательство, наконец, было найдено. Опыт в математике не имеет никакого значения. Итак, математика — это наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над ничего не обозначающими значками, но правила должны быть таковы, чтобы они не приводили к противоречию. Рассел поясняет это таким высказыванием: «Математическое знание не является чем-то таинственным. Оно имеет такую же природу, как и великая истина, что в метре — 100 сантиметров». Математика вызывает проблемы у изучающих ее не своей сложностью, а своей кажущейся бессмысленностью. [БЕЗ_ЗВУКА]
