Так значит, во второй задаче мы доказали существование разложения на простые. На самом деле, единственность можно доказывать разными способами, например, вы можете открыть Википедию и там будет такое, не очень сложное доказательство. Вот я хочу привести доказательство, которое более хорошее в том смысле, что оно обобщается на некоторые более общие структуры. И вообще очень красивое. Итак, значит нам нужно будет доказать сначала вспомогательное утверждение, а потом мы докажем единственность. Вспомогательное утверждение звучит так, это задача №3. То есть, если у нас есть два числа a и b, натуральных, и p – простое число, [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Причем известно, что произведение a и b делится на p. А a не делится на p. Но мы хотим доказать, что b делится на p. Это наша цель. Значит, мы будем доказывать его с помощью нескольких последовательных утверждений. Сначала мы введем такое хитрое множество M, а именно, это будет множество таких целых чисел, целых чисел x, таких что ax делится на p. Дальше мы хотим доказать про него несколько замечательных свойств. Во-первых, заметим что, если у нас есть два числа, которые лежат в M, то и их сумма лежит в M. Действительно. [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Значит, что у нас значит, что xy лежит в M? Это значит, что ax делится на p и ay делится на p. Ну тогда и a ∙ (x + y) делится на p. [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Ну и значит, по определению x + y лежат в M. Так, это у нас было первое свойство. Второе свойство, что если x лежит в M, домножить на какое-то произвольное целое число, то их произведение также будет лежать в M. [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Докажем это. Ну действительно, если у нас x лежит в M, тогда по определению, ax делится на p. Ну тогда, если мы x умножим на z, то a ∙ (x ∙ z) — это то же самое, что (a ∙ x) ∙ z, и это, конечно, тоже делится на p. Поэтому, раз a ∙ (x ∙ z) делится на p, то xz у нас тоже лежит в M. Казалось бы, это какие-то простые свойства, которые непонятно к чему ведут. Но давайте докажем еще более замечательные свойства. Значит, пусть у нас есть два числа, которые лежат в M. Тогда и остаток от деления одного числа на другое тоже будет лежать в множестве M. [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Вот, не очень видно, я наверное здесь вмещусь, а потом перейду на ту доску. Ну действительно, а что такое остаток от деления x на y? Это такое число, которое представляется... Значит, мы хотим развить x на y, значит y = x ∙ q + r. Но это то же самое, что написать r представить можно, как x − y ∙ q. А теперь смотрите. По второму свойству, y лежит в M и значит, y ∙ q лежит в M. Ну или, y ∙ (−q) лежит в M. А по первому свойству, сумма двух элементов из M лежит в M. Значит, x − y ∙ q лежит в M. Так, ага, значит мы доказали, что если два числа лежат в M, то и остаток от деления одного числа на другое тоже лежит в M. Ну тоже, в общем, не очень понятно, зачем это свойство нужно. Давайте теперь его очень хитро применим. А именно, рассмотрим минимальное натуральное число, которое лежит в множестве M. Пусть, так, давайте какое-нибудь придумаем число, ну давайте, пусть c — это минимальное натуральное число, которое лежит в M. Давайте поймем, какими свойствами должно обладать c. Значит, во-первых, у нас c ≠ 1. Ну действительно, потому что у нас a не делится на p по условию, значит, a ∙ 1 не делится на p, и значит, единица не принадлежит M. Во-вторых, заметим, что c у нас должно быть меньше, чем p. Меньше либо равно, чем p. Почему? Потому что p принадлежит M. То есть, смотрите, ap по определению делится на p. Значит, у нас p принадлежит M. Ну теперь давайте предположим, что c у нас меньше, чем p. Значит, если такое случится, то так как у нас c лежит в M и p лежит в M, то и остаток от деления p на c тоже лежит в M. [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Ну смотрите, что здесь происходит. Значит, c у нас больше 1, меньше p. А p — простое число. Это значит, что p не может делиться на c нацело. Это значит, что остаток от деления p на c, он не нулевой. То есть, если я напишу здесь остаток r, то r ≠ 0. И по нашему свойству №3, r принадлежит M, и с другой стороны, r меньше c, потому что это остаток. Ну значит, мы получили меньшее число, чем c, которое все еще лежит в M. Значит, это противоречие с минимальностью. Значит, чему это противоречит? Это противоречит утверждению, что c меньше, чем p. Значит, это предположение неверно и c = p. Отсюда мы получаем, что c = p. Но раз c = p, это означает, что, давайте теперь из этого выведем, что b у нас делится на p. Заметим, что... 5-е свойство: b с очевидностью лежит в M. Потому что по нашему предположению ab делится на p. И если b не делится на p, то тогда у нас есть остаток [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] от деления b на p, которое будет меньше, чем p и тоже будет лежать в M. Но это — противоречие, потому что мы только что поняли, что у нас нет чисел меньших, чем p, которые лежат в M, потому что p — это минимальное натуральное число. Но это — противоречие. Ну следовательно, b делится на p. Вот. Таким образом мы доказали, что если у нас ab делится на p и a не делится на p, то b делится на p. Все.