[MÚSICA] Olá, bem vindos de volta. Nesse vídeo, a gente vai ver exemplo específico do que é que acontece com aliasing. A gente vai ver como a gente pode tentar prever o que é que vai acontecer com aliasing, o que é que vai dar certo, o que é que não vai dar certo, como é que a taxa de amostragem afeta o meu aliasing, o meu sinal e coisas assim. Então, vamos recuperar aqui o exemplo que a gente já usou bastante e já até falou bastante na introdução do apito do trem. O apito do trem tem esse espectro frequência que eu estou mostrando aqui. Aqui no eixo x a gente tem a frequência Hertz. Então, o que esse espectro está mostrando, como a gente já discutiu é que eu vou pegar, para construir o apito do trem, uma senóide com frequência, então, 886 Hertz, com a amplitude 979, com uma fase que eu não estou mostrando aqui, somar com uma senóide com frequência 885,3 Hertz, amplitude 522,4 e uma fase que eu não estou mostrando aqui e todas essas senóides, cada eu pego uma amplitude, uma frequência e uma fase, somo isso tudo e obtenho o apito do trem. Agora, eu vou amostrar esse apito do trem que tem essas frequências aqui a uma taxa de amostragem de 8192 amostras por segundo. Então, vamos ver o que é que vai acontecer com cada uma dessas frequências aqui. O que eu gostaria que acontecesse, deixa eu botar o Matlab aqui direito, eu sei que a frequência analógica, a frequência digital, perdão, vai ser igual a frequência analógica dividido por ts. Então, vamos pensar aqui, por exemplo, na frequência 886 Hertz. Ela vai virar qual frequência digital? 886 Hertz, né. Então, o ômegão é duas vezes pi vezes 886 e eu divido, eu multiplico, né, porque ômegão é radianos por segundo e eu tenho que multiplicar por segundos para obter radianos pelo ts. O ts, a gente sabe que é sobre Fs. Isso aqui, então, está me dizendo que vai aparecer a frequência 0,6796 radianos. Então, vamos olhar o espectro do meu sinal amostrado, ele está aqui. Vamos ver se tem alguém na frequência. Quanto que era? Meia oito, 0,68. Vamos ver se aparece alguém na 0,68? Quem que é esse cara aqui, olha? 0,6796. Então, de fato, aquela frequência apareceu no espectro do meu sinal digital. E se vocês fizessem isso para todas as frequências aqui do meu sinal analógico, você vai ver que esse pico aqui 704, de fato, ele corresponde a essa frequência aqui 0,54 radianos e assim sucessivamente. Essa não é a questão que eu gostaria de colocar agora. A questão que eu gostaria de colocar agora é o seguinte: o que é que aconteceria se eu tivesse amostrado esse espectro não com uma frequência 8192 amostras por segundo, mas uma frequência 8192 dividido por cinco. Eu vou criar uma nova frequência de amostragem Fs1 é igual a Fs dividido por cinco. Essa vai ser a minha nova frequência de amostragem: 1638,4 amostras por segundo. Primeiro, vocês poderiam se perguntar porque que eu estou amostrando a 8192 amostras por segundo? E essa, de fato, é talvez a pergunta mais importante que a gente deveria se fazer nesse curso. E a gente já começa a ter uma noção do que é que acontece. A maior frequência digital que existe é pi, correto? Se eu estou amostrando a 8192 amostras por segundo, qual é a maior frequência analógica que eu consigo representar, lembrando que a maior frequência digital que existe é pi? Vamos tentar lembrar? A frequência analógica, lembrem-se, que o ômeguinha é igual ao ômegão vezes ts. Então, se o ômeguinha é pi, eu vou ter pi é igual a ômegão ts. Isso quer dizer que o ômegão é igual a pi sobre ts, mas a frequência é igual a ômegão sobre dois pi. Se o ômegão é pi sobre ts, então a frequência vai ser pi sobre dois pi, sobre ts é igual a Fs. Isso aqui é igual a Fs sobre dois, que é igual a 4096 Hertz, para o nosso exemplo. Então, se a maior frequência digital que existe é pi, a maior frequência analógica que eu consigo representar é Fs sobre dois. Isso já dá para a gente até uma noção do que é que acontece com o CD. Por que que eu amostro o sinal de áudio a 44100 amostras por segundo? A maior frequência que eu consigo amostrar direitinho é metade disso, 22050. A maior frequência que eu consigo ouvir é 20000. Então, a maior frequência que eu consigo representar é pouquinho maior do que a maior frequência que a gente consegue ouvir e essa diferença a gente já vai ver porquê que ela existe. Mas isso já dá uma noção para a gente de onde você tira a frequência de amostragem. É dessa relação que diz para a gente qual é a maior frequência digital que existe. Mas vamos voltar para o nosso exemplo aqui. Eu queria saber o seguinte. Se a maior frequência digital que eu consigo representar é i e a minha frequência de amostragem, cadê ela aqui, é isso aqui, isso quer dizer que maior frequência analógica que eu vou ser capaz de representar bem é Fs1 sobre dois. A maior frequência que eu consigo representar é metade da frequência de amostragem, 819 Hertz. Vamos ver onde que tá 819 Hertz no meu espectro do meu sinal? 819 está mais ou menos aqui. Cadê ele? Pouquinho para trás, aqui. Isso quer dizer o seguinte. Isso quer dizer que essa frequência eu consigo representar bem. As outras vão acontecer alguma coisa esquisita. Bom, então a gente sabe que as frequências até 800 e pouco vão ser bem pegas e com as outras vão ter problema de aliasing. Vamos ver, por exemplo, onde vai parar essa frequência 3511. Será que você consegue descobrir sozinho onde ela vai, para onde ela vai. Tenta resolver o exercício, então. Já já a gente volta. Bom, o que acontece com essa frequência é o seguinte. 3511. Lembra desse valor. Vamos aqui para o Matlab. Ela viraria, teoricamente, dois pi vezes 3511 sobre a nova frequência de amostragem. Certo? Dá 13,46. Isso é muito mais do que pi, muito mais do que dois pi. Lembra que a gente está interessado só nas frequências digitais entre zero e pi. Essa são as frequências que realmente vão aparecer no sinal, que realmente vão influenciar o sinal. Isso aqui é muito acima de pi. Mas, a gente sabe que frequências digitais separadas de dois pi são indistinguíveis. A gente sabe que essa frequência digital e essa frequência digital menos dois pi são indistinguíveis. Então, se eu subtrair dois pi desse cara, eu vou chegar 7,18, que é a mesma coisa, para todos os efeitos. Mas ela continua sendo acima de pi. Vamos tentar subtrair dois pi de novo? A gente subtrai quatro pi então daquela frequência e a gente cai 0,89. Agora, eu estou aonde eu queria. Eu estou no intervalo de zero a pi, que é o intervalo das frequências que me interessa. Eu estou 0,89. Vamos ver se no espectro do sinal apareceu alguém 0,89? E, de fato, deixa eu tirar o mouse daqui para ele para de esconder, tem pequeno pico aqui justamente por volta de 0,89. Tá bom? Então, aquela frequência de, quanto que era? 3511 Hertz, vai aparecer para mim, por aliasing, com uma frequência que está aqui embaixo, porque, olha o que é que acontece. A frequência 0,8981 isso está radianos. Então, eu preciso transformar para ver a qual frequência analógica ela corresponde, eu preciso transformar isso para radianos por segundo. Então, eu pego esse valor .8981 para radianos por segundo, eu multiplico pela frequência de amostragem e tenho que dividir por dois para transformar radianos por segundo Hertz. Então, isso aí corresponde a uma frequência de 234 Hertz. Então, a hora que eu amostro esse sinal 3511 a uma frequência de 1600 e não sei quanto, ele vai aparecer para mim como uma frequência de 254. Como é que a gente poderia tirar isso de outro jeito? A gente poderia ver que 3511 é indistinguível da frequência 3511 menos a frequência de amostragem. E também é indistinguível de 3511 menos duas vezes a frequência de amostragem. E aí está o 234.2 Hertz aparecendo novamente. Então, são duas formas de ver o aliasing: frequências analógicas separadas de Fs são indistinguíveis após a amostragem, frequências digitais separadas de dois pi são indistinguíveis sempre e acabou. Os dois levam na mesma resposta, basicamente. Então, a gente vê que, essa frequência aqui 3511 apareceu depois que eu amostrei esse sinal a 1600 e tantas amostras por segundo, ela apareceu como esse pico aqui atrás, que não deveria existir, que está me atrapalhando. Isso é aliasing. O que acontece com essas outras frequências aqui, acima de 800 e poucos Hertz, já é mais complicado de ver, porque existe uma sutileza que a gente ainda não mencionou. E é isso que a gente vai falar no próximo vídeo. Até lá.
