Alors, comme on l’a vu dans l’animation, la, l’impulsion va s’allonger lorsqu’elle se propage dans, dans l’échantillon, et on va essayer de, de, calculer l’expression de la durée de l’impulsion en fonction de z, et pour cela on va calculer la variance. Alors, comme je vous l’ai dit, vous allez montrer en exercice qu’on peut relier la variance associée à la durée de l’impulsion à la variance du retard de groupe, et donc on va calculer la variance du retard de groupe à l’aide de l’expression que, qui est rappelée, rappelée ici. Donc, pour calculer la valeur, la variance, il faut que je calcule d’abord la valeur moyenne et puis ensuite que je regarde l’écart à cette, à cette valeur moyenne. La valeur moyenne du retard de groupe, on l’a déjà calculée. Elle s’écrit, donc tout simplement, ce sera la moyenne du retard de groupe en z est égal à zéro, plus k prime zéro z. Donc, ça c’est le terme lié directement à la vitesse de groupe, je vous rappelle que ce terme-là était de moyenne nulle puisque la moyenne de oméga est égale à oméga zéro. Donc, maintenant, je vais m’intéresser à la différence entre le retard de groupe et cette valeur moyenne. Alors, donc je, je reporte, le, je vais avoir, je vais avoir, donc, tau g de zéro et de oméga, moins la valeur moyenne de tau g de zéro et de oméga. Et, ensuite, quand je compare les deux expressions ici, vous voyez que k prime zéro z évidemment apparaît, apparaît, dans les deux, et donc finalement, le seul terme qui va rester, c’est, et qui va, qui va, le seul terme qui va dépendre de z finalement, c’est oméga moins oméga zéro, k zéro seconde z. Ce qui va nous intéresser, c’est la variance, donc je vais prendre cette expression, et je vais l’élever au carré. Donc, quand on fait ce calcul, on va, vous voyez que finalement, ici, on a un monôme en z, quand je l’élève au carré, je vais avoir un polynôme du second degré. Donc, je vais d’abord écrire le terme en z deux. Le terme en z deux, je le connais, c’est, puisque c’est, ce sera tout simplement le carré de ce terme. Donc, le terme en z deux, ce sera oméga moins oméga zéro au carré, k zéro seconde au carré z deux, donc, plus un terme en z que je n’écris pas, plus une constante. Donc, vous voyez que, finalement, la variance du retard de groupe, ça va être une parabole en fonction de z. Puisque c’est un polynôme du second degré, ce sera une parabole, et ce que je vais faire, c’est tout simplement par définition, choisir z égal à zéro comme le sommet de cette parabole. Donc, ensuite, quand je vais prendre la valeur moyenne de cette expression, ben, j’ai ici, je devrais prendre ici la valeur moyenne de oméga moins oméga zéro au carré. Et ça, évidemment, c’est tout simplement par définition un delta oméga au carré. C’est, c’est le, le carré de la largeur spectrale telle qu’on l’avait défini à l’aide de la variance. Donc, vous voyez que la, la variance du retard de groupe pourra tout simplement s’écrire sous la forme d’un polynôme au second degré, le terme en z deux s’écrivant delta oméga au carré, k zéro seconde au carré z deux, plus un terme d’ordre un et une constante que je n’écris pas. Donc, si maintenant que je calcule le, la variance de l’impulsion donc, qui va être une fonction de, une fonction de z. Et bien, comme vous allez le démontrer en, en exercice, cette variance, elle est égale à la variance qu’on aurait en l’absence de phase spectrale plus la variance du retard de groupe, dont on vient de démontrer que c’était un polynôme en z deux, donc un terme que je réécris sous la forme de delta oméga au carré, k zéro seconde au carré, z deux, donc plus des termes, éventuellement, d’ordre un ou d’ordre, ou constants. Alors, donc en conclusion, vous voyez que la variance de l’impulsion en fonction de z, ça va être une parabole. Et, cette parabole, par définition, je vais choisir le point z égal à zéro comme son sommet. Donc, ça c’est un choix que je suis libre de faire. Par définition, je suppose que z égal à zéro correspond au sommet de cette parabole, et donc avec cette, cette hypothèse, vous voyez que je peux tout de suite écrire, de manière très simple, l’expression de la variance de l’impulsion, delta t deux z au carré. Ce sera égal à , comme ma parabole a son sommet en, en zéro, j’aurai une constante plus le terme en z deux. La constante, évidemment, c’est la valeur de la variance en z est égal à zéro, puisque le terme en z deux s’annule, s'annule en ce point, plus le terme en z deux que je connais. Donc, ce terme en z deux, s’écrit delta oméga au carré, k zéro seconde au carré, z deux. Donc vous voyez, finalement, avec assez peu de calcul, on a pu démontrer de manière générale, quelque soit le profil temporel ou spectral de l’impulsion, on a pu montrer l’expression de la durée de l’impulsion en fonction de z. Alors en voici une, une représentation graphique. Donc, là j’ai réécris la même formule, simplement j’ai pris la racine carré de, de la variance. Donc, cette fonction, c’est une hyperbole qui est, qui est représentée, représentée ici. Les deux asymptotes sont représentées ici en gris. On peut les trouver facilement, ces asymptotes, en considérant la limite quand z tend vers l’infini, cette expression, quand z tend vers l’infini, naturellement, c’est le terme, le second terme, ici, qui va, qui va devenir prépondérant. Donc, je pourrais négliger le terme constant ici, et donc finalement je vais prendre la racine carré de ce carré, et donc le, l’expression de delta t quand z tend vers l’infini, ce sera k zéro seconde, delta oméga, z. Alors ça, c’est un, c’est un résultat qui finalement est assez, assez intuitif, puisque qu’est-ce que c’est k zéro seconde? C’est la dérivée par rapport à la fréquence, de k zéro prime. Donc, multiplier la dérivée par rapport à la fréquence par une largeur en fréquence, ça revient à dire, finalement, que c’est la variation de k zéro prime d’un bout à l’autre du spectre. K zéro prime, c’est l’inverse de la vitesse de groupe. Donc, vous voyez que, finalement, la durée de l’impulsion quand z tend vers l’infini, et bien, c’est la variation de z sur Vg. Donc, ça provient tout simplement du fait, ce qui va expliquer la durée de l’impulsion pour des durées très longues, c’est tout simplement le fait que les différentes composantes spectrales ne vont pas à la même vitesse, et donc, évidemment, il y aura une durée qui sera la différence de temps qu’auront mis ces différentes composantes spectrales pour traverser l’échantillon. Donc, ça, ça vous explique bien la forme de, du signal à ce niveau-là . Et puis, vous avez, ce, ce sommet, ici, donc, donc cette hyperbole qui est la racine carré d’une parabole en z égal à zéro. Alors, on peut, regarder, comment, comment varient à la fois la forme spectrale et la forme temporelle de l’impulsion, ici, en se déplaçant sur cette, sur cette courbe. Donc, on voit que le, la limite ici où la fonction tend vers sa parabole, c’est la limite où la, la variation du retard de groupe est beaucoup plus longue que la durée de l’impulsion. Donc, ici, effectivement, on a une variation du retard de groupe qui est de plusieurs dizaines de femtosecondes comparée à une impulsion qui faisait quelques femtosecondes de durée. Donc, l’essentiel de la contribution à la durée de l’impulsion, c’est bien ce terme qui en est responsable. C’est le fait que les différentes composantes spectrales n’arrivent pas en même temps, ce qu’on voit aussi sur le profil temporel. Alors, dans l’animation, je vous ai montré uniquement les parties de z positif. Alors, à quoi correspondent les, les valeurs de z négatif? Et bien, on peut le voir, on peut le voir ici. Pour z négatif, et bien évidemment le signe de la phase va, va s’inverser. Donc, vous avez maintenant une phase spectrale qui est toujours une parabole mais courbée avec la, la, la courbure tournée vers le bas, et un retard de groupe qui est, qui va au contraire décroître avec la fréquence. Donc, ça veut dire ici, que votre impulsion, et bien, ce sont au contraire les hautes fréquences qui arrivent en premier, et les basses fréquences qui arrivent en dernier. Donc, ça c’est, si vous voulez, c’est l’impulsion qu’il faudrait fabriquer, pour que, après traversée dans un millimètre de silice fondue, et bien on ait une impulsion limitée par transformée de Fourier. Donc, c’est, c’est une impulsion que, qu’on est capable de fabriquer, par diverses méthodes, et en effet, il sera important d’être capable de fabriquer ces impulsions à dérive de fréquence négative, parce que dans tout montage optique, vous aurez toujours des éléments dispersifs, et il faudra donc pré compenser la dispersion de ces éléments optiques pour que votre impulsion, après dispersion, puisse, donc après propagation dans un millimètre de silice fondue, puisse avoir sa durée optimale, et la puissance maximale. Alors, pour terminer, je voudrais juste remarquer que cette, cette hyperbole, ici, où vous avez la durée de l’impulsion avec z, ça ressemble beaucoup au diamètre d’un faisceau lumineux que vous allez focaliser. Si vous avez déjà vu les lois de la diffraction, en optique physique. Et ça fera précisément l’objet de la prochaine vidéo de voir les analogies qu’il peut y avoir entre la dispersion d’une impulsion, qu’on vient d’étudier ici, et puis la propagation d’un faisceau lumineux, ou la diffraction d’un faisceau lumineux.
