Bonjour. Dans cette vidéo, nous allons corriger l'exercice de cette semaine, dans lequel on se propose de démontrer deux relations que vous avez vues dans le cours cette semaine. Ces deux relations relient la phase spectrale du champ électrique à d'une part, l'instant d'arrivée de l'impulsion, et d'autre part, à la durée RMS de cette impulsion. En particulier, dans le cours cette semaine, vous avez vu l'impact d'une propagation linéaire dans la silice fondue sur la phase spectrale, et donc, sur la largeur de l'impulsion qu'on considère. Évidemment, pour démontrer ces deux relations qui relient les propriétés spectrales de l'impulsion et les propriétés temporelles de l'impulsion, on va utiliser la transformation de Fourier, et les propriétés de la transformation de Fourier, avec lesquelles vous devez être familier maintenant. Je vous rappelle ici l'énoncé du TD que vous avez pu télécharger sur le site du cours, et en particulier, comme l'objectif de ce TD est d'étudier l'impact de la phase spectrale sur les propriétés temporelles de l'impulsion, on décompose le champ électrique en son module et son argument, phi de oméga, et c'est cet argument phi de oméga que nous allons étudier. En particulier, la grandeur qui va nous intéresser, c'est la phase phi de oméga et, plus particulièrement, la dérivée de cette phase par rapport à oméga, que l'on note tau g de oméga, et vous pouvez voir d'ores et déjà que cette grandeur tau g de oméga est homogène, à l'inverse de oméga, et donc elle est homogène à une durée et c'est ça qui va nous permettre d'exprimer les propriétés temporelles d'une impulsion ultra brève. On passe directement à la correction des deux premières questions de ce TD, qui vous demandent de calculer successivement la dérivée et le carré du module de la dérivée de epsilon par rapport à oméga. Donc je vous rappelle l'expression de epsilon de oméga qu'on considère, on a séparé le module et l'argument si bien que quand on dérive epsilon par rapport à oméga, on a deux contributions : la première contribution, la dérivée du module par rapport à oméga, plus le module de oméga multiplié par la dérivée de l'exponentielle et vous avez i fois phi prime de oméga, mais phi prime de oméga, c'est exactement tau g de oméga puis vous avez e i phi de oméga. Si vous mettez e i phi de oméga en facteur, vous obtenez cette expression-là qui va nous être utile lorsqu'on calculera le module de cette expression Voilà . Donc ça c'est le résultat pour cette question un. Maintenant, quand on passe au calcul du module de cette expression, vous voyez que le module de e i phi de oméga vaut un et puis ce que vous avez dans la parenthèse ici, vous pouvez remarquer que ce terme-là , il est réel, que le deuxième terme est imaginaire pur, si bien que le calcul du module de d epsilon sur d oméga au carré fait un, puis après vous avez simplement le module au carré d'un nombre complexe avec sa partie réelle et sa partie imaginaire, donc ce n'est rien d'autre que la somme des carrés de la partie réelle et de la partie imaginaire. Donc ça c'est deux équations dont on va avoir besoin dans la suite et qu'on a démontrées en préliminaire de cet exercice. On passe à la démonstration de la première relation de ce TD, qui vous demande de calculer l'instant d'arrivée t de l'impulsion. Par définition, l'instant d'arrivée t de l'impulsion correspond à la valeur moyenne de t quand on considère la densité de probabilité, epsilon de t au carré d t. C'est une grandeur qu'on a déjà rencontrée dans les exercices et dans le cours et l'astuce, c'est de faire apparaître la quantité i t epsilon de t parce qu'on sait que cette quantité-là est conjuguée de d epsilon sur d oméga par transformée de Fourier, et vous avez donc epsilon étoile de t qu'il faut faire apparaître et vous avez le facteur moins i devant pour que les deux grandeurs soient égales. Maintenant, vous pouvez utiliser la transformation de Parseval-Plancherel en disant que ça, c'est f étoile de t, ça c'est g t et du coup, vous obtenez que c'est moins i fois l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini donc, f étoile de t, vous aurez epsilon étoile de oméga fois d oméga sur deux pi et puis, g t et directement d epsilon sur deux omégas. Donc quand vous utilisez les résultats de la question précédente, vous avez que la valeur moyenne de t, ça s'écrit comme une somme de deux termes, le premier terme c'est l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini, donc vous aviez i tau g epsilon de oméga donc ça vous fait, avec le facteur moins i, ça fait un, donc vous avez tau g de oméga fois epsilon de oméga en module au carré, fois deux omégas sur deux pi, et vous avez moins i fois l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini et d epsilon sur d oméga, ça vous faisait la dérivée de module de epsilon par rapport à oméga fois e i phi epsilon étoile de oméga et ça, c'est module de epsilon fois deux omégas sur deux pis et à partir de là , la manière la plus simple, c'est de remarquer que ce terme-là encore une fois, c'est moins i fois un terme réel, et donc il est imaginaire pur, ce terme-là est réel, et évidemment l'instant d'arrivée de l'impulsion, c'est aussi un terme réel, si bien que vous pouvez directement éliminer ce terme-là et vous obtenez que la valeur moyenne de t, c'est l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini de tau g de oméga fois le module d'epsilon de oméga au carré fois deux omégas sur deux pi et du coup, c'est terminé, parce que vous vous rendez compte que l'instant d'arrivée de l'impulsion valeur moyenne de t, c'est égal à la valeur moyenne de tau g de oméga et c'est le résultat de cette troisième question qu'on va utiliser dans la suite. On passe maintenant à la question numéro quatre de ce TD qui est de démontrer la formule qui vous donne la durée RMS de l'impulsion en fonction du retard de groupe. Je vous rappelle que delta t au carré, c'est par définition la différence entre la valeur moyenne de t deux moins la valeur moyenne de t, le tout au carré. Donc si on calcule d'abord la valeur moyenne de t deux, c'est l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini de t deux fois epsilon de t au carré d t. Et ça, on commence à être familier avec cette technique, on l'écrit sous la forme i t epsilon de t en module au carré d t, et d'après le théorème de Parseval-Plancherel, il suffit de remplacer i t epsilon de t en module au carré par le module au carré de la transformée de Fourier, et ça, c'est exactement d epsilon sur d oméga au carré fois deux omégas sur deux pis. À partir de là , si vous utilisez les résultats de la question deux cette fois, vous voyez que tau deux, ça s'écrit comme l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini, donc vous avez la dérivée du module de epsilon de oméga au carré fois d oméga sur deux pi plus l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini de tau g carré de oméga fois le module de epsilon de oméga fois d oméga sur deux pis. On peut simplifier un peu l'expression qu'on obtient, parce que vous remarquez que si on considère que tau g est égal à zéro, alors dans ce cas, toute cette deuxième intégrale que vous voyez ici s'annule et cette première intégrale, par contre, ne change pas parce qu'elle ne dépend pas de tau g. Du coup, vous pouvez écrire que la valeur moyenne de t deux qu'on est en train de calculer s'écrit comme ce premier terme, t deux, lorsque tau g est égal à zéro plus ce deuxième terme, qui n'est rien d'autre que la valeur moyenne de tau g de oméga au carré. Le deuxième terme qu'on va calculer, c'est la valeur moyenne de t au carré, et ça on l'a déjà calculée dans la question numéro trois, on sait que c'est tau g de oméga au carré. En particulier, si vous utilisez le fait que lorsque tau g est égal à zéro vous obtenez immédiatement que ce terme-là est égal à zéro, puisque c'est la valeur moyenne de tau g, quand tau g est égal à zéro, donc il est identiquement nul et donc, quand vous regroupez tous ces termes, vous obtenez que delta t au carré s'écrit comme delta t au carré lorsque tau g est égal à zéro, plus delta tau g au carré. C'est le résultat de cette quatrième question qui conclut le TD, en particulier vous voyez que la durée minimale qu'on peut obtenir, c'est-à -dire la durée minimale delta t au carré est obtenue lorsque ce terme, delta tau g au carré, est égal à zéro et ça correspond à une impulsion pour lequel tau g est identiquement nul, et pour lequel on a une phase constante, et c'était ce qu'on avait retrouvé quand on avait une impulsion gaussienne.
