Nous allons maintenant écrire l'équation de propagation dans l'espace de Fourier. Alors on pourrait, évidemment, refaire ce qu'on a fait dans l'espace direct, c'est-à -dire partir des équations de Maxwell qu'on a écrites dans l'espace de Fourier pour établir directement l'équation de propagation ; je préfère partir ici directement de l'équation de propagation et simplement remplacer les différents opérateurs différentiels par leur expression dans l'espace de Fourier. Donc par exemple on a vu que nabla pouvait s'écrire comme i k, ou que la dérivé par rapport au temps s'écrivait, moins i oméga, donc ici la dérivé seconde par exemple de la polarisation ce sera tout simplement, moins oméga deux multiplié par la polarisation. Donc, si on transpose cette équation dans l'espace de Fourier, c'est-à -dire en utilisant, E de k de oméga à la place de E de r et de t ; le laplacien, je vais le remplacer par, i k au carré, c'est-à -dire, moins k deux ; donc j'aurais, moins k deux E, donc je ne l'écris pas mais c'est donc, E de k et de oméga, moins i k, et j'aurais un i au carré, donc j'aurais plus k multiplié par k scalaire E, moins un sur c deux, la dérivé seconde, c'est-à -dire plus oméga deux sur c deux multiplié par le champ électrique, donc qui sera égal à , moins oméga deux sur epsilon zéro c deux, P, donc là je vais écrire P de k et de oméga. Donc, voilà la forme générale de l'équation de propagation dans l'espace de Fourier. Alors ici, on va introduire une simplification pour négliger, pour nous débarrasser de ce terme, qui est à l'origine d'effets physiques qu'on appelle double réfraction, ou walk off en anglais, et pour cela on va considérer qu'on travaille dans un milieu isotrope, ce qui signifie que le tenseur susceptibilité, vous vous rappelez que c'était un matrice carrée, trois par k, trois par trois, eh bien ce tenseur susceptibilité linéaire, il sera tout simplement proportionnel à l'identité. Et donc dans un milieu isotrope, je pourrais écrire que la polarisation induite, P de k et de oméga, sera directement égale à epsilon zéro chi de oméga, donc en principe la susceptibilité linéraire chi un de oméga, mais je vais l'écrire simplement ici, chi de oméga, fois E de k et de oméga. Donc ça, ça va, évidemment, beaucoup nous simplifier la vie, parce que comme D c'est égal à , epsilon zéro E plus P, eh bien on a ici que, D est tout simplement égal à , epsilon zéro facteur de un plus chi, [AUDIO_VIDE] E. Comme D est proportionnel à E, l'équation de Maxwell, k scalaire D égal à zéro, va tout simplement nous donner k scalaire E égal à zéro. Et donc le champ électrique sera une grandeur transverse, il sera perpendiculaire à E, et donc cette hypothèse de milieu isotrope nous permettra de négliger le terme de double réfraction. L'équation de propagation va donc prendre une forme particulièrement simple d'autant plus que je vais pouvoir remplacer le terme de polarisation ici directement par, epsilon zéro chi E, et donc on voit que notre équation de propagation va s'écrire, moins k deux plus oméga sur c deux, que je vais mettre en facteur, donc j'aurais, un pour le terme en champ électrique, et puis j'aurais le second terme donc, plus epsilon zéro chi E, divisé par epsilon zéro ; ça me donne directement, plus chi de oméga, et le tout multiplié par E de k et de oméga, sera égal à zéro. Donc cette équation, qui est un produit de deux termes, qui doit être égal à zéro, a deux solutions. La première, évidemment, c'est que le champ électrique E de k et de oméga est égal à zéro, c'est-à -dire que cette composante de Fourier ne va pas exister dans la décomposition du champ électrique, et la deuxième possibilité, c'est que ce terme-là soit égal à zéro. Cela c'est quelque chose qu'on va pouvoir écrire, k deux égal k de oméga au carré, où k de oméga est le vecteur d'ondes dans le milieu k de oméga est égal à n de oméga, oméga sur c, avec n de oméga égal racine carrée de, un plus chi de oméga. En conclusion, grâce à cette décomposition dans l'espace de Fourier, on peut écrire une solution générale des équations de Maxwell, ou de l'équation de propagation dans l'hypothèse du milieu isotrope, qui est l'expression que vous avez ici, où le champ électrique est tout simplement cette intégrale de Fourier, a priori une intégrale quadruple qui s'exprime à l'aide du champ dans l'espace réciproque, sachant que ce champ dans l'espace réciproque doit obéir aux conditions qui sont indiquées ici, c'est-à -dire que, d'une part le champ est transverse, k scalaire E devra être égal à zéro, d'autre part E de k et de oméga sera en fait presque toujours nul, E de k et de oméga sera non nul seulement lorsque k est égal à k de oméga. C'est-à -dire que cette intégrale quadruple sera en réalité une intégrale triple. Puisque à chaque fois, si on se donne la fréquence, par exemple, eh bien, on va intégrer sur une sphère, k x carré, plus k y carré, plus k z carré, devra être égal à k de oméga. Quant à k de oméga, eh bien c'est une donnée du matériau, il s'écrit comme n de oméga fois oméga sur c, où n de oméga est l'indice de réfraction, est égal à racine carrée de un plus chi. Alors, ça veut dire qu'on a finalement pu écrire le champ électrique sous la forme d'une superposition d'ondes planes monochromatiques, donc qu'on avait déjà vues, lors du premier cours, simplement vous voyez que la différence essentielle c'est que lors du premier cours ce cas limite de l'onde plane monochromatique c'était un exemple de solution des équations de Maxwell, ici on voit, en fait, que toute solution peut s'écrire sous la forme d'une superposition linéaire de ces ondes planes monochromatiques. Donc ces ondes planes que vous connaissez bien, où on a un champ électrique qui est perpendiculaire au vecteur d'ondes k, un champ magnétique B qui s'écrit comme, oméga pardon un sur oméga k vectoriel E, qui formera avec k et E un trièdre direct, et qui vous donne donc cette évolution que vous avez ici sur l'écran d'une onde plane monochromatique. Donc cette onde plane monochromatique ça peut être considéré, soit comme un cas limite, de la solution générale, un petit peu comme les ondes de de Broglie en mécanique quantique, c'est un cas limite parce qu'il ne sera jamais réalisé physiquement, évidemment, il ne sera jamais possible d'avoir une onde plane monochromatique qui remplisse tout l'univers, aussi bien dans ses dimensions spatiales que dans ses dimensions temporelles, quand vous avez un laser eh bien vous allez l'allumer le matin et l'éteindre le soir, et évidemment votre faisceau laser va occuper une région limitée de l'espace. Donc en fait il faudra voir cette onde plane monochromatique comme un cas limite, mais, l'intérêt de la transformation de Fourier c'est que ces ondes planes monochromatiques nous permettent de construire la solution générale que vous avez ici. [AUDIO_VIDE] Alors dans la suite du cours de cette semaine on va s'intéresser à deux cas particuliers importants, le premier c'est le domaine spatial, donc ce sera aussi un cas limite, mais celui où on a un faisceau monochromatique, donc dont la fréquence est bien déterminée, mais par contre vous aurez un faisceau qui sera limité dans l'espace. Donc vous aurez un faisceau lumineux comme celui que peut produire par exemple un laser monochromatique, qui ne sera jamais parfaitement monochromatique, mais dont on pourra faire l'hypothèse qu'il est associé à une seule fréquence. Donc ce sera un premier cas limite, ce qu'on va appeler le domaine spatial. Et puis, il y a un deuxième cas limite, qui est le premier auquel on va s'intéresser, qui est ce qu'on peut appeler le domaine spectro-temporel où on suppose que la dépendance spatiale du faisceau lumineux correspond à une onde plane, donc ça veut dire que notre faisceau ne va pas dépendre de x et de y, mais par contre on aura une dépendance temporelle, et donc on aura une certaine largeur spectrale qui sera caractérisée par la grandeur E de oméga. Donc ce sont ces deux cas limites qui vont faire l'objet des prochaines vidéos du cours de cette semaine.
