Bien, donc on a vu, numériquement, que le, la sécante hyperbolique était une solution invariante de l’équation de Schrödinger non linéaire. Il est évidemment, intéressant, de le vérifier directement par le calcul. Donc, vous voyez ici, je vais, je vais poser une fonction A de z et de t, qui en z est égal à zéro est égale à l’inverse d’un cosinus hyperbolique. Et puis, je vais mettre une, une variation de la phase avec z, comme on l’a observé, dans la résolution numérique. Et puis, on va vérifier pour quelle valeur de tau et pour quelle valeur de phi de z cette fonction est éventuellement solution de l’équation de Schrödinger non linéaire. Donc, pour ça, on va d’abord dériver A par rapport à z. Donc, ça, c’est, ça c’est facile. La dérivée de A par rapport à z, et bien, on a uniquement le, le terme, ici, exponentiel i phi de z qui dépend de z. Donc, je vais avoir i d phi sur d z, multiplié par A. Et puis, il va falloir calculer la dérivée de seconde de A par rapport à t. Donc, ça c’est un calcul que, que vous avez déjà fait avec, avec Vincent en, en TD dans le, dans le problème sur le doublage fort, le doublage en régime fort, pardon, mais je vais le refaire, je vais le refaire rapidement ici. Donc, si je dérive une première fois A par rapport à t, et bien je vais avoir, bon évidemment ces termes-là en facteur, A zéro, exponentielle i phi. Et puis la dérivé de un sur cosinus hyperbolique t sur tau, donc ça va me donner, moins un sur tau, sinus hyperbolique, qui est la dérivée de cosinus hyperbolique de t sur tau, divisé par le carré du cosinus hyperbolique. Bien, ça c’est la dérivée première. Maintenant, je vais dériver deux fois. Donc, je calcule d deux A sur d t deux. Donc, et bien je dois dériver un produit. Premier terme de ce produit, ça va être, donc, quand je dérive, ici, le numérateur sinus hyperbolique t sur tau. Donc je vais avoir, moins A zéro e puissance i phi divisé par tau fois la dérivée de sinus hyperbolique t sur tau. Donc, la dérivée de sinus hyperbolique t sur tau, c’est un sur tau, donc en fait j’aurai un tau deux ici, au dénominateur, et puis j’aurai, j’aurai cosinus hyperbolique t sur tau. Cosinus hyperbolique t sur tau divisé par cosinus hyperbolique carré t sur tau, ça va me donner un sur cosinus hyperbolique t sur tau. Et puis, j’aurai un deuxième terme, qui va correspondre à la dérivée du dénominateur. Donc, si je dérive le dénominateur, le terme ici au dénominateur, enfin, plutôt si je dérive un sur cosinus hyperbolique carré t sur tau, j’aurai un facteur moins deux, d’abord, donc j’aurai ici plus, deux divisé par tau, en fait tau au carré puisque quand je vais dériver t sur tau, j’aurai encore un facteur t sur tau donc j’aurai deux sur tau deux, A zéro, e puissance i phi. Et puis j’aurai, au dénominateur, cosinus hyperbolique cube t sur tau, et au numérateur, je vais avoir sinus hyperbolique t sur tau fois sinus hyperbolique t sur tau, la dérivée du cosinus hyperbolique t sur tau. Donc j’aurai, sinus hyperbolique carré t sur tau. Comme vous savez, cosinus hyperbolique carré moins sinus hyperbolique carré, c’est égal à un, donc le sinus hyperbolique carré t sur tau, c’est le carré du cosinus hyperbolique. Donc, j’aurai cosinus hyperbolique carré t sur tau moins un. Donc, voilà à quoi correspond cette, cette dérivée seconde. Alors, je peux en fait, simplifier un petit peu ce, ce résultat puisqu’on a ici cosinus hyperbolique carré t sur tau divisé par cosinus cube t sur tau. Donc, à l’arrivée, il va me rester un sur cosinus hyperbolique t sur tau, et en fait avec des pré-facteurs qui sont exactement les mêmes qu’ici, sauf qu’on a, ici, un facteur deux. Donc, finalement, je vais avoir, A zéro e puissance i phi sur tau deux divisé par cosinus hyperbolique t sur tau. A zéro e puissance i phi sur cosinus hyperbolique t sur tau, c’est, c’est mon champ, c’est mon champ A de t, et finalement, je vais simplement obtenir A de t divisé par tau deux. Et puis, il reste le terme qu’on a ici, avec le facteur, donc, moins un sur cosinus hyperbolique cube t sur tau. Donc, là aussi je vais, je vais essayer de reconnaître, je vais essayer de reconnaître A de t, puisque j’ai A zéro e puissance i phi divisé par cosinus hyperbolique t sur tau. Donc, vous voyez que ce terme, il va s’écrire moins, moins donc, je vais avoir A sur tau deux à nouveau, mais multiplié par un sur cosinus hyperbolique carré, t sur tau. Donc, c’est ce qu’il reste une fois que j’en ai utilisé un pour reconstruire le, le A de z, le A de z et de t. Donc, voilà l’expression de, de d deux A sur d t deux. Alors, un sur par cosinus hyperbolique t sur tau, vous voyez que au carré, je peux aussi l’écrire ici, en prenant le carré de A, ici, vous voyez que un sur cosinus hyperbolique carré t sur tau, ce n’est rien d’autre que A deux, en module au carré, divisé par A zéro carré. Donc, c’est ça que je vais utiliser dans la suite. Bien, donc si maintenant on met tous ces résultats ensemble pour remplacer dans l’équation de Schrödinger, et bien je vais avoir d A sur d z, qui fait intervenir quelque chose qui est proportionnel à , à rhô de z et de t. La dérivée seconde, où j’ai aussi A qui va apparaître en facteur, et puis le terme Kerr, où j’ai encore le terme A qui apparaît ici en facteur. Donc, ce terme A de z et de t en facteur, je vais pouvoir l’éliminer, et puis je vais écrire simplement ce que j’obtiens, en facteur de ce terme A. Donc, d A sur d z, il va rester i d phi sur d z. Donc, j’aurai i d phi sur d z, ce sera le membre de gauche de mon équation, qui sera égal, donc, à moins i k zéro seconde sur deux fois la dérivée seconde qu’on, qu’on vient de calculer ici. Donc, j’aurai moins i, k zéro seconde, sur deux, tau deux. Et puis, j’aurai ce terme, ce terme-là , donc, plus i k zéro seconde, sur deux tau deux. Et puis, le terme en cosinus hyperbolique carré t sur tau que je peux écrire sous la forme A deux, divisé par A zéro carré. Et enfin, le terme Kerr, le terme Kerr, ce sera plus i gamma multiplié par A au carré. Voilà , donc on obtient cette, cette équation, où on a deux termes différents. Ces termes, ici, qui vont être indépendants du temps, et puis ici, des termes qui vont dépendre du temps, qui vont reproduire l’enveloppe de l’intensité temporelle, ici, A de z et de t au carré, donc, au point, au point z. Donc, pour que cette équation soit valable, il faut naturellement que, d’une part, ce terme-là qui dépend du temps, soit égal à zéro, et d’autre part, ce terme-là , cette égalité-là soit vérifiée. La solution proposée sera donc bien solution de l’équation de Schrödinger non linéaire à condition donc, que la phase phi de z, soit égale, bon à la phase, à la phase initiale phi de zéro, moins k zéro seconde, z divisé par deux tau deux. Et par ailleurs, il faut que cette égalité soit, soit vérifiée, et donc que, k zéro seconde, soit égal à moins, donc le gamma qui est ici, multiplié par deux tau deux fois zéro carré. Je réalise que je me suis trompé, le deux qui est ici ne devrait pas être là , donc en fait j’avais ici, un facteur deux, que, j’avais ici un facteur deux que j’ai oublié de reporter ici, donc ici en fait, ce n’est pas, ce n’est pas un un, c’est un deux, et donc ensuite quand je divise, quand je divise par deux avec le k zéro seconde sur deux, le facteur deux qui est ici ne doit pas apparaître. Donc, finalement, on voit que k zéro seconde, pour que l’équation soit vérifiée, il faut, il suffit que k zéro seconde soit égal à , moins gamma fois A zéro carré tau deux. Donc, évidemment, il faut que la dispersion soit négative, puisque tous les autres facteurs sont positifs. Je vous ai dit que l’indice non linéaire n deux était toujours positif, donc il en va de même de gamma. Mais, si la dispersion est négative, et bien on pourra avoir une certaine durée d’impulsion tau, ou une certaine largeur spectrale, comme on l’avait vu dans la simulation numérique, pour que, en effet, cette fonction soit une solution invariante au problème, et c’est ce qu’on appelle, donc, la solution, la solution de type Soliton. Donc voilà , on a bien trouvé, en faisant le calcul, on a vérifié en tout cas, que cette fonction de séquence hyperbolique carré, correspondait à une forme invariante de l’impulsion. On a longtemps pensé que cette possibilité de propager des Solitons sur de longues distances avec des compensations entre dispersions qui allongent la durée de l’impulsion à spectre constant et non linéarité qui va, qui va permettre de faire, de faire l’effet, l'effet inverse, donc qui aurait des applications pour les télécommunications par fibre optique, à condition évidemment de périodiquement réamplifier les impulsions, il y a eu des démonstrations qui ont été faites, montrant que ce processus se, permettait de fonctionner bien sur des milliers de kilomètres. Néanmoins, ce n’est pas ça qui est utilisé exactement dans, dans les fibres que, que vous utilisez quand vous vous connectez à Internet, d’un continent à l’autre. Mais, c’est un phénomène qui est très, très proche, donc on peut considérer que c’est une retombée de toutes ces recherches. Ce que vous avez dans les fibres optiques transatlantiques, c’est, bon évidemment une réamplification périodique des impulsions pour pouvoir compenser les pertes le long des milliers de kilomètres de, de fibres optiques, mais, vous allez avoir une espèce de, de Soliton, discret, ou ce qu’on appelle des Solitons par gestion de la dispersion, où vous aurez des tronçons de fibre optique où ça sera la dispersion qui va l’emporter sur la non linéarité. Et puis, des tronçons de fibre optique où ça va être, au contraire, la non linéarité qui va l’emporter sur la dispersion. Donc, comme ceci, vous aurez une évolution périodique de la largeur spectrale et de la durée temporelle de l’impulsion, mais, en moyenne, sur une grande distance, et bien, la, la forme de votre impulsion va rester, va rester inchangée, et c’est ça qui permet que les différents bits d’information correspondant à des, à des fenêtres temporelles bien précises ne vont pas se recouvrir les uns avec les autres, et qu’on pourra avoir les télécommunications à très haut débit qu’on connaît aujourd’hui.
