Alors, si je m’intéresse, par exemple, au vecteur d’onde k, qui est égal n fois oméga sur C, et donc, par exemple, si je multiplie cette équation par n e au carré, vous voyez qu’on va avoir ici n e de thêta au carré multiplié par cosinus carré thêta, c’est-à -dire quelque chose qui est proportionnel à k x carré. Pardon, à k z carré, la projection du vecteur d’onde sur l’axe z, et puis ici j’aurai n e de thêta au carré fois sinus carré thêta, c’est-à -dire la projection du vecteur d’onde dans le plan, ici, perpendiculaire à z. Donc, je pourrai par exemple supposer que c’est l’axe x, et donc j’aurai k z carré fois un certain coefficient, plus k x carré fois un certain coefficient égal à un, et ça, c’est l’équation d’une ellipse. Donc, ça veut dire que la norme de k sera sur une ellipse, et donc il en sera de même évidemment pour n e, n e de thêta. Donc, le, on va obtenir une surface qui va être un une ellipse. Alors, en fait, ici, une ellipse de révolution, un ellipsoïde de révolution centré sur l’axe z, puisque mon problème a une symétrie de révolution autour de l’axe z. Une ellipse qui va aller, ici, quand thêta est égal à zéro, et bien si je fais thêta égal à zéro, je trouve que n e de zéro vaut évidemment n o, donc je rejoins la sphère, ici, correspondant à , correspondant à l’onde ordinaire. Et puis, à l’inverse, quand je prends thêta égal Pi sur deux, donc k dans ce, k dans ce plan, si je fais thêta égal Pi sur deux, et bien je trouve que ce, ce terme-là vaut zéro, et puis celui-ci vaut un sur n e carré. Et donc, n e de thêta, n e de Pi sur deux sera égal à n e. Donc, là , j’ai, ici, à l’extrémité de l’ellipse, la valeur de l’indice extraordinaire. Alors, on peut remarquer que le dessin, ici, correspond au cas d’un matériau uniaxe positif, puisque j’ai ici que n e est supérieur à n o. Donc, ça correspond dans ce cas à un ellipsoïde qui va être, qui va être écrasé. A l’inverse, si on avait un matériau uniaxe négatif, et bien on aurait un ellipsoïde allongé plutôt sous la, comme sous la forme d’un, d'un cigare qui serait allongé selon l’axe, l’axe z. Bien, alors, considérons maintenant ce qui va se produire lorsqu’on envoie un faisceau lumineux sur un tel matériau, uniaxe. Donc, j’ai représenté ici l’axe optique du matériau, et donc j’ai un faisceau avec un angle thêta entre le vecteur d’onde k, qui est normal, ici, à la surface du matériau, et l’axe optique. Donc, si je considère d’abord le cas où le faisceau est polarisé perpendiculairement au plan de la figure, et donc perpendiculairement à l’axe optique, ici, et bien j’ai le cas de l’onde ordinaire, et donc le faisceau se propage comme dans n’importe quel matériau isotrope. Simplement, vous remarquez que le, le, les plans d’onde sont plus serrés à l’intérieur du matériau qu’à l’extérieur, simplement parce qu’on a un indice de réfraction et donc la longueur d’onde dans le matériau est plus petite qu’à l’extérieur du matériau. On note aussi que l’onde va moins vite, évidemment, par voie de conséquence, dans le, dans le matériau, et qu’elle reprend sa vitesse initiale quand elle sort, quand elle sort du matériau. Donc, ça, c’est le cas de l’onde ordinaire. Maintenant, si on considère le cas de l’onde extraordinaire, et bien on va observer un phénomène assez, assez étonnant, qui est que le faisceau va se déplacer en crabe à l’intérieur du matériau. Les plans d’onde restent perpendiculaires au vecteur k, mais le faisceau se propage, en travers, ici, comme vous pouvez le voir, dans cette, dans cette simulation. Alors, pourquoi? Et bien, tout simplement parce que, donc on sait que, k scalaire D est égal à zéro, donc le vecteur déplacement électrique est bien perpendiculaire à k, mais il n’en va pas de même pour le champ électrique. On sait que k scalaire E n’est pas égal à zéro puisque justement on a gardé le terme en k scalaire E dans l’équation de propagation. Donc, on va avoir un certain angle qu’on va appeler l’angle rhô, entre le vecteur champ électrique et le vecteur déplacement électrique. Et, si maintenant on calcule le vecteur de poynting, qui par définition est le vecteur qui va porter l’énergie du faisceau lumineux et donc le, le, le vecteur qui nous dit dans quelle direction va se propager le faisceau lumineux. Et bien, ce vecteur de poynting, par définition, il est égal à , à E vectoriel H. Donc, le champ magnétique, comme vous le savez, s’obtient, enfin, est toujours perpendiculaire à , à E et, et à k, et donc le champ magnétique, ici, est perpendiculaire au plan de la figure. Il en va de même pour H, évidemment. Et donc, le vecteur de poynting va être perpendiculaire à H, donc dans le plan de la figure, et perpendiculaire à E, et donc dans la direction qui est indiquée ici. Ca veut dire que le vecteur de poynting va faire un angle rhô, ce même angle rhô, avec le vecteur d’onde k. Et donc, ça explique pourquoi notre faisceau, ici, va se propager avec un certain angle rhô, par rapport à , par rapport au vecteur d’onde k, et donc, ici, à la normale, à la surface du matériau. Alors, évidemment, dans cette simulation, cet angle est très exagéré, en réalité ce sera un angle extrêmement faible, mais ce phénomène sera, sera bien réel. Alors, le fait que le faisceau se propage dans une direction qui n’est pas celle du vecteur d’onde k ne doit pas nous surprendre. On a en fait rencontré un effet un petit peu similaire quand on s’intéressait à la propagation d’une impulsion brève. On a vu que, que l’enveloppe d’une impulsion brève ne se propageait pas à la vitesse de phase, mais qu’elle se propageait à la vitesse de groupe, donc quelque chose qui n’est pas lié à la phase de l’onde. Et bien, là , c’est la même chose. L’enveloppe, non pas l’enveloppe temporelle mais l’enveloppe spatiale du faisceau, et bien, sa direction de propagation ne sera pas déterminée par le vecteur d’onde k mais sera bien déterminée par le vecteur de poynting, ici, qui fait, qui fait un certain angle avec, avec le vecteur d’onde k. Alors, cet angle de, cet angle rhô, on va l’appeler l’angle de double réfraction, ou l’angle de walkoff en, en anglais. Alors, son expression, on pourrait l’établir sans, c’est un calcul un peu fastidieux mais qui ne pose pas de difficulté particulière. Et on trouve, donc, qu’il a cette, cette, cette valeur. Sa tangente est égale, donc, au carré de l’indice de n E de thêta divisé par deux fois sinus de thêta et multiplié par la différence entre les inverses des carrés des indices de réfraction extraordinaires et ordinaires. Alors, ça, ça nous dit en particulier que, si je, j’oriente mon axe optique dans cette direction-là , c’est-à -dire que j’ai une onde, ici, qui est, qui, qui est en fait une onde, certes extraordinaire, mais comme, comme j’ai en fait directement l’indice, l’indice extraordinaire n e, et bien dans ce cas-là , j’ai à nouveau que D est égal à epsilon zéro n e carré fois e, donc D et E seront bien colinéaires. Donc, on vérifie ici que quand thêta est égal, est égal à Pi sur deux, et bien, on va avoir un angle de walkoff qui est nul, et, une propagation selon le, le vecteur k. Bon, je rappelle ici que le, l’angle thêta, c’est l’angle entre l’axe optique du matériau et le vecteur k. Maintenant, si mon axe optique est dans cette direction-là , et bien, quelque soit la polarisation incidente du faisceau, j’aurai, évidemment, une onde ordinaire, dans, dans les deux cas. Je suis au point où l’ellipse correspondant à l’onde extraordinaire rejoint la sphère correspondant à l’onde ordinaire, donc j’ai un faisceau ordinaire, et à nouveau mon faisceau va en ligne droite. Par contre, quand l’axe optique est dans une direction intermédiaire, et bien j’aurai affaire à , ce phénomène de, de déplacement du faisceau, un petit peu de biais, donc, qu’on appelle walkoff, en, en anglais. Alors, si maintenant, je, je regarde ce qu’il se passe quand j’envoie un faisceau qui n’est pas polarisé en entrée de ce cristal, ou alors qui est polarisé à 45 degrés par rapport à , à la verticale, au plan de la figure, et bien je vais évidemment observer que j’ai deux faisceaux qui se propagent dans mon matériau, un qui va correspondre à l’onde ordinaire, et l’autre qui va correspondre à l’onde extraordinaire. Donc, j’aurai un clivage de mon faisceau en deux sous faisceaux et c’est pour ça qu’on parle de double réfraction. On a deux faisceaux qui vont se propager dans, dans mon milieu alors que dans les lois de la réfraction habituelle, et bien on a un seul faisceau qui se, qui se propage. Donc, si vous voulez, ce dispositif, c’est un petit peu, ça ressemble un petit peu à un appareil de Stern et Gerlach en mécanique cantique, si vous avez déjà rencontré ces appareils, vous allez cliver votre, votre faisceau en ces deux composantes de polarisation, l’une ordinaire et l’autre extraordinaire.
