Alors vous remarquez aussi que j'ai enlevé la flèche ici sur le champ électrique. Donc je vais faire ce qu'on appelle l'approximation scalaire. Et la raison c'est que comme tous les vecteurs d'onde qui constiutent notre onde sont proches de l'axe z et bien le champ électrique qui est transverse, qui est perpendiculaire à k, comme les vecteurs k sont presque tous dans la direction de l'axe z, je vais en fait pouvoir supposer que mon champ électrique est dans le plan x y. Donc en d'autres termes j'aurai deux modes qui constituent mon faisceau lumineux, qui pourraient être par exemple un mode polarisé sur l'axe x, et un mode polarisé sur l'axe y. Et là je vais m'intéresser par exemple à la composante selon l'axe x. C'est pour ça que dans toute la suite j'aurai plus cette notion vectorielle, j'aurai une grandeur scalaire ici, que je représente sous la forme de E sans flèche. Bien, on va revenir maintenant à l'équation de Helmholtz qui vous savez je vous le rappelle faisait intervenir la dérivée seconde du champ par rapport aux coordonnées x, y et z. Pour la dérivée seconde de E par rapport à x ou par rapport à y ce sera évidemment, on fera intervenir la dérivée seconde de u. Ce qui va changer, c'est la dérivée par rapport à z. Donc je vais calculer la dérivée du champ électrique E par rapport à z. Donc pour dériver, je dois dériver ici un produit de fonction, la fonction u de r et la fonction exponentielle i k z. Donc quand je dérive le premier terme du produit, j'ai d u sur d z. Et puis je dois lui ajouter, multiplier par l'exponentiel i k z. Et quand je dérive exponentiel i k z, donc qui est le deuxième terme que je dois ajouter à la dérivée du produit, je vais avoir le facteur i k qui va sortir. Donc j'aurai plus i k u et le tout multiplié par exponentiel i k z. Donc ça c'est la dérivée première. Si maintenant je calcule la dérivée seconde, je vais obtenir d deux E sur d z deux, égal donc, évidemment je vais dériver d u sur d z, donc j'aurai d deux u sur d z deux. Ensuite je vais dériver le terme i k u, donc qui va s'écrire i k d u sur d z. Et puis maintenant je vais dériver exponentiel i k z. Quand je dérive exponentiel i k z j'ai un facteur i k qui va sortir, qu'il faudra multiplier évidemment par ce terme ici. Donc je vais avoir un terme i k d u sur d z, que j'ai déjà ici, donc ça m'en fait un deuxième. Donc plus deux i k d u sur d z. Et puis évidemment i k u multiplié par i k ça va me faire i k au carré, c'est-à -dire moins k deux, moins k deux u. Le tout multiplié par exponentiel i k z. Donc, si je reviens maintenant à l'équation de Helmholtz, et que je remplace le champ dans cette équation de Helmholtz, ici, si je remplace le champ E par le produit, je vais avoir donc les deux premiers termes ici. Le laplacien transverse va s'écrire simplement comme le laplacien transverse de u. Donc j'aurai d deux u sur d x deux. Plus d deux u sur d y deux. Ensuite, la dérivée seconde par rapport à z donc je remplace par ce que j'ai ici. J'ai la dérivée seconde deux u par rapport à z. Le terme en deux i k, d u sur d z. Et le terme en moins k deux u qui est ici mais qui va évidemment s'annuler avec le terme en plus k deux, u que nous aurons ici, c'est étudié pour, c'est bien pour ça qu'on a mis la porteuse avec la bonne valeur ici du vecteur d'onde. Donc le terme en k deux va disparaître et donc finalement j'aurai simplement l'ensemble de ces termes-là multipliés par exponentiel i k z, mais que je ne suis pas obligé d'écrire puisque de toute façon l'ensemble de ce terme est égal à zéro. Donc voilà à quoi ressemble l'équation de Helmholtz si je l'applique à ma fonction enveloppe u de x y z. Alors l'approximation paraxiale va consister en fait à négliger cette dérivée seconde ici de u par rapport à la dérivée première. Alors il y a diverses façons de le justifier. Personnellement pour le justifier je préfère utiliser l'espace de Fourier. c'est-à -dire si j'écris cette équation dans l’espace de Fourier et bien je vais avoir moins k x carré moins k y carré. Le terme d deux u sur d z deux et va s'écrire moins k z carré. Et puis le terme deux i k d u sur d z, d u sur d z ça va s'écrire i k z multiplié par u. Donc j'aurai i k multiplié par i k z. Ça me fera donc moins deux fois le produit de k par k z. Le tout agissant sur la fonction u de k x, k y, k z, égal à zéro. Donc voilà à quoi ressemble notre équation dans l'espace de Fourier. Et maintenant on parle ici de la fonction u de k x, k y, k z. Alors qu'est-ce que c'est que cette fonction? On doit revenir ici vers la définition de la fonction enveloppe. le champ électrique E, c'est la fonction u multipliée par exponentielle i k z. Donc vous voyez que vous avez une phase linéaire dans l'espace réel. Comme on l'a vu la semaine dernière, une phase linéaire, dans un espace, ça correspond à une translation dans l'espace conjuguée par transformée de Fourier. Donc cette équation elle peut s'écrire, comme écrit ici, que le champ E en fonction du vecteur d'onde va s'écrire comme ma fonction u mais translatée dans l'espace des k z. Donc j'aurai ici k z moins k qui va apparaître. En d'autres termes, si je regarde mon dessin ici, ça veut dire que, si maintenant je considère non pas la fonction u de k x, k y, k z, et bien j'ai décalé mon axe. L'origine des k z sera maintenant ici puisque j'ai décalé de la grandeur k. Donc vous voyez qu'ici, k z va être finalement très petit puisqu'on est sur une sphère. Plus précisément, k z va correspondre à ce que je peux appeler ici delta k z, qui est l'excursion dans la direction k z du vecteur d'onde. Et l'approximation paraxiale, qui consiste à écrire que delta k x est très inférieur à k, en fait elle nous permet aussi de dire que delta k x est lui-même très supérieur à delta k z. Donc on le voit ici sur cette figure évidemment que comme on est au sommet d'une sphère et bien cette distance-là va être beaucoup plus petite que celle-ci. On peut le comprendre en considérant l'angle thêta que fait le vecteur k x par rapport à l'axe z ici. Si je reviens au vecteur initial pour le champ électrique E, avec cette origine ici, qu'est-ce que ça va être que k x à l'aide de ce vecteur thêta? Sinus têta sera égal par définition à k x divisé par l’hypoténuse de notre triangle rectangle. Comme k x va être très petit devant k, ça veut dire que l'angle thêta va être très inférieur à un. Donc on est dans la limite des petits angles. C'est la définition même de l'approximation paraxiale. Si je regarde k z, donc k z c'est la projection selon l'axe ici k z du vecteur k. Et bien k z ce sera le cosinus de têta. Ou k z sur k ce sera le cosinus thêta qui s'écrit un moins têta deux sur deux si je fais un développement limité. Donc évidemment si je regarde maintenant pour la fonction u, c'est uniquement le terme thêta deux sur deux qui reste. Donc c'est cette expression ici de k z. Donc vous voyez ici que delta k z il va être de l'ordre de thêta deux sur deux ou de thêta deux. Et donc l'équation que j'ai écrite ici en haut, elle nous dit simplement que têta deux est très inférieur à thêta, ce qui est très inférieur à un. Donc évidemment comme je vous l'avais dit si on a thêta très inférieur à un, on a obligatoirement thêta deux très inférieur à thêta. Donc ceci va nous permettre de négliger ici le terme en k z carré. D'une part évidemment parce que k z est très inférieur à k. Donc ça, ça va de soit, si k z est très inférieur à k je peux négliger ce terme par rapport à celui-ci. Mais aussi, ce qu'on avait vu, c'est que k z va être très inférieur à k x ou à k y. Donc je peux négliger ici le terme en k z carré, par rapport au terme en k x carré ou k y k. Donc voilà comment on peut justifier cette approximation paraxiale dans l'espace de Fourier. Bon c'est un petit peu long mais c'est parfaitement rigoureux. Ça correspond simplement à remplacer ici cette sphère par une parabole, puisque vous voyez que ce qu'on avait au début c'était l'équation d'une sphère, ici, le fait que le vecteur k était sur une sphère. Ici on a que k z va être une fonction quadratique de k x et k y c'est-à -dire que on va approximer cette fonction par une parabole, ce qui sera évidemment vrai au voisinage de cet axe z. Donc si je reviens dans l'espace réel, et bien ça veut dire que le terme qui correspondait à k z carré dans l'espace réel, c'est d deux u sur d z deux. Et donc je vais pouvoir le négliger.
