Cette approximation paraxiale nous a permis de passer de l'équation de Helmholtz, donc équation différentielle du second ordre, à ce qu'on va appeler simplement l'équation paraxiale, qui est une équation différentielle du premier ordre en z. Donc ça évidemment, comme on l'a vu, c'était selon l'hypothèse que delta k x et delta k y évidemment étaient très inférieurs à k, avec donc le champ électrique E qui s'écrit comme la fonction enveloppe u de x y z mulitiplié par exponentielle i k z. Alors, cette équation différentielle, c'est une équation différentielle du premier ordre en z, et ça, ça va nous permettre de la résoudre très facilement. Pour la résoudre, on va en fait passer dans l'espace de Fourier à nouveau, mais simplement dans l'espace de Fourier par rapport à x et y. Donc je vais considérer la fonction u de k x k y et z, donc cette Transformée de Fourier simplement à deux dimensions, et donc, dans cet espace de Fourier donc par rapport à x et y la paraxiale transverse va s'écrire très simplement puisque vous vous rappelez que d deux u sur d x deux et bien c'était moins k x carré, et d deux u sur d y deux c'est moins k y carré donc je peux écrire directement moins k x carré moins k y carré multiplié par cette fonction u de k x k y z, et puis le terme ici en d u sur d z, je vais le laisser tel quel puisque je n'ai pas fait de Transformée de Fourier par rapport à z, plus deux i k d u sur d z égal à zéro. Alors ça, c'est une équation différentielle donc du premier ordre en z. Si je me place pour une valeur donnée de k x et k y, si je regarde uniquement la variation en z, vous voyez que c'est tout simplement une équation différentielle du premier ordre à coefficient constant. Le coefficient, le pré-facteur ici ne dépend pas de z, donc vous connaissez évidemment sa solution, une équation différentielle du premier ordre à coefficient constant, la solution ça va être une exponentielle, et donc je pourrais directement écrire la solution de mon équation différentielle sous la forme u de k x k y z égal à u de k x k y en zéro, c'est la condition initiale, multiplié par exponentielle de moins i k x carré plus k y carré, c'est le terme qu'on avait là , divisé par donc deux k multiplié par z. Donc ça, c'est la solution de l'équation paraxiale dans l'espace de Fourier par rapport à x et y. Alors vous voyez que déjà on a fait un grand pas, puisqu'on va pouvoir très simplement résoudre de manière numérique la propagation de n'importe quel type de faisceau en fonction de z. Il suffit évidemment que l'approximation paraxiale soit vérifiée, mais si je vous donne un profil de faisceau transverse en z égal à zéro, par exemple, donc si je vous donne u de x y et zéro, et bien avec une double Transformée de Fourier on peut facilement calculer u de k x k y et zéro, et ensuite pour avoir la valeur du champ pour n'importe quelle valeur de z, il suffira d'ajouter une phase quadratique, qui est représentée ici, et de refaire ensuite une Transformée de Fourier inverse pour revenir dans l'espace réel, et donc calculer u de x y et pour n'importe quelle valeur de z. Donc déjà , ce sera intéressant au niveau numérique, et vous pourrez le pratiquer à l'aide de Scilab pour calculer la propagation d'un faisceau lumineux de forme transverse arbitraire. Alors autre chose qu'on peut remarquer sur cette expression, c'est que le module de u de k x k y et z, et bien ce module va se conserver, puisque en fonction de z, il n'y a que la phase qui évolue, et donc je vais pouvoir écrire ceci sous la forme de u k x k y et zéro. Alors on en conclut que toutes les fonctions qui vont dépendre de k x et k y vont se conserver en fonction de z. Donc je pourrais définir la valeur moyenne de n'importe quelle fonction dépendant des plans de k x et k y comme on l'avait fait dans le domaine spectral avec des impulsions brèves et donc par exemple la valeur moyenne de k x ou la valeur moyenne de k y vont être des grandeurs constantes. Donc ce sont des constantes, et on va évidemment les prendre égales à zéro, puisque si j'ai un faisceau qui se propage exactement sur l'axe z, ça voudrait dire que la valeur moyenne de k x et la valeur moyenne de k y est égale à zéro, donc ça correspond à un faisceau centré sur l'axe z. De la même manière, si je calcule la valeur moyenne de k x carré, c'est une grandeur qui ne va pas dépendre de z, donc la variance va être constante et donc delta k x et delta k y, donc encore une fois en définissant les moyennes à l'aide de cette fonction, donc vont être des constantes. J'entends par constantes, ici, des constantes par rapport à z. Donc le faisceau dans l'espace des z va conserver toutes les grandeurs qui dépendent de k x et k y. Alors ces résultats, donc dans le cadre de l'approximation paraxiale, nous permettent de faire une analogie très profonde entre le domaine temporel qu'on a vu précédemment et le domaine spatial. En d'autres termes, on avait considéré le champ E de z et de t, ou dans l'espace de Fourier E de z et de oméga, et bien on va pouvoir faire l'analogie avec la fonction u de x y et z, ou dans l'espace de Fourier u de k x k y et z Donc la variable z garde sa signification dans les deux domaines, ce sera la propagation du faisceau en fonction de l'axe z, et puis vous voyez que donc, l'équivalent du temps ce sera les coordonnées transverses et l'équivalent de la fréquence ce sera les fréquences spatiales k x et k y. On avait vu dans le domaine spectral que notre système évoluait uniquement sous la forme de la phase phi de z et de oméga et on a démontré ici que la seule chose qui allait évoluer dans l'espace des k x k y, c'était à nouveau la phase en fonction de k x et k y Et plus loin, on avait même vu que la phase dans l'espace des fréquences était une fonction quadratique de la fréquence, et ce qu'on a démontré, c'est ici que la phase dans l'espace k x k y était aussi une fonction quadratique de k x et k y. Donc on peut considérer, comme je l'ai déjà dit, l'analogue du temps et de la fréquence ce sont les coordonnées transverses x et y et les vecteurs transverses k x et k y, l'analogue de delta oméga, ce sera delta k x, et puis l'analogue du terme k zéro seconde ici ce sera un sur k ou l'équivalent de un sur k zéro seconde ce sera k. Et si on fait attention au signe, l'équivalent de la propagation d'un faisceau lumineux donc qui nous donne ici un signe moins, ce sera un milieu dispersif, mais avec une dispersion k zéro seconde négative. Donc en d'autres termes l'équivalent de moins un sur k zéro seconde et bien ce sera k égal à deux pi sur lambda. Alors cette analogie entre d'une part la dispersion d'une impulsion brève et d'autre part et la diffraction d'un faisceau lumineux, la propagation d'un faisceau lumineux dans l'espace des z, ça va nous permettre de directement réutiliser la formule qu'on avait démontrée dans le domaine temporel. Je vous rappelle qu'on avait montré que, suite à la dispersion, la durée de la dispersion obéissait à une loi hyperbolique que j'ai reproduite ici, et bien on aura évidemment la même formule pour l'extension transverse du faisceau. Donc si je calcule delta x de z, le diamètre r m s du faisceau en fonction de l'axe z, et bien je je vais voir que, donc à nouveau, je vais définir l'axe z en choisissant z égal à zéro le col du faisceau, c'est-à -dire l'endroit où le faisceau a son diamètre le plus petit, et bien delta x de z ce sera égal à la racine carrée de delta x de zéro au carré, donc qui est l'équivalent de delta t de zéro ici au carré plus un terme où je vais remplacer simplement ici ce carré par les grandeurs qui lui sont analogues dans le domaine spatial. L'équivalent de delta oméga c'est delta k x donc je vais écrire ici delta k x au carré. L'équivalent de k zéro seconde, pas au signe près qui n'importe pas parce que je vais prendre le carré, l'équivalent de k zéro seconde ce sera un sur k ou l'équivalent de un sur k zéro seconde c'est k. Donc au lieu de multiplier par k zéro seconde au carré je vais diviser par k au carré, et puis évidemment z reste z. Donc de manière générale, on voit que le diamètre défini à l'aide des valeurs moyennes donc le diamètre r m s d'un faisceau lumineux obéira à une loi hyperbolique similaire à celle qu'on avait vue pour la dispersion d'un faisceau lumineux.
