Je reproduis ici la variation hyperbolique du diamètre du faisceau lumineux en fonction de la distance de propagation Z, ici en mètres, donc une distance beaucoup plus grande pour un faisceau dont le diamètre est une fraction de millimètres ici, le diamètre RMS est une fraction de millimètres. Donc on a cette loi qu'on avait obtenue pour la durée d'une impulsion, c'est la même expression hyperbolique, et on a les asymptotes ici en gris de cette hyperbole. Alors on peut assez simplement comprendre l'origine de ces asymptotes : si je regarde à quoi ressemble cette fonction ici, delta X de Z lorsque Z tend vers l'infini, évidemment c'est le terme ici correspondant à Z deux qui va devenir prépondérant et donc si j'en prends la racine carrée, j'obtiens simplement delta K X divisé par K, multiplié par Z Comment comprendre cette expression? C'est très simple, je vous rappelle que delta KX sur K c'était égal à l'angle thêta en fait, puisque KX sur K dans les petits angles c'est directement égal à thêta et donc cette expression s'écrit tout simplement sous la forme delta thêta multiplié par Z. Évidemment, si on a une dispersion angulaire dans le faisceau lumineux, au bout d'une distance Z, cette dispersion angulaire va se manifester par une augmentation du diamètre du faisceau et à la limite des grandes distances, le diamètre du faisceau sera directement égal à delta thêta multiplié par Z. On remarque au passage qu'on retrouve les lois de la diffraction puisque delta KX est supérieur ou égal à un sur deux delta X et donc si je remplace K par deux pi sur lambda, je vois que delta thêta va être supérieur ou égal à lambda divisé par quatre pi delta X. Alors il ne faut pas prêter attention à ce facteur quatre pi qui dépend de la façon dont on définit le diamètre du faisceau lumineux, et on retrouve la loi habituelle de la diffraction, c'est-à -dire qu'un faisceau qui est limité sur une dimension transverse va obligatoirement diverger et avec un angle de divergence qui sera supérieur ou égal à lambda divisé par la dimension transverse du faisceau, c'est cette loi qu'on retrouve ici de manière générale, et encore une fois, quelle que soit la forme du faisceau lumineux, cette expression sera valable dans tous les cas. On peut regarder ici grâce aux figures que vous avez en bas, vous avez ici le faisceau dans le domaine spatial, donc la fonction U de X, Y et Z, ici représenté en Z égal à zéro, et ici dans l'espace de Fourier, c'est-à -dire que j'ai représenté la fonction U de KX, KY et Z, pour l'instant représentée en Z égal à zéro, à nouveau avec la condition que delta X multiplié par delta KX doit évidemment être supérieur ou égal à un demi. Alors on peut voir que si on se propage en fonction de Z, on voit que la phase va évoluer, donc la phase est codée par le code couleur que vous avez ici à gauche, avec la même convention habituelle dans l'espace des KX, on a cette phase parabolique, qu'on avait démontrée, le fait que ce soit une phase parabolique en KX carré plus KY carré ça se manifeste par des anneaux concentriques, concentriques parce que c'est en KX carré plus KY carré, ça dépend que de la norme du vecteur K dans le plan transverse KX KY, puis le fait que c'est quadratique, ça se voit ici avec des anneaux de plus en plus serrés quand on s'éloigne du centre. Pour de grandes valeurs de Z, ce qu'on observe ici, c'est que dans le domaine spatial, on a aussi une fonction qui va être quadratique en X et Y, on a une phase ici qui va dépendre de R au carré, si R est la dimension par rapport au centre du faisceau lumineux ce qui revient à dire qu'on a ici une onde sphérique, donc si je dessine les plans d'ondes j'aurai des sphères centrées sur l'origine ici de la divergence du faisceau lumineux. Ca c'est la limite des grandes distances, où en fait on démontre que cette fonction dans l'espace réel va être égale à la fonction dans l'espace des vecteurs K et c'est une conséquence directe de cette approximation ici, il y aura une correspondance directe entre la dimension transverse ici et le vecteur d'onde transverse, c'est tout simplement ce qu'on appelle la diffraction de fraunhofer, comme vous le savez sans doute Le profil d'un faisceau lumineux à grande distance de l'objet diffringeant va être égal à la transformée de Fourier de l'objet que vous aurez mis ici. Dans les points intermédiaires, on est plutôt dans ce qu'on va appeler le régime de diffraction de Fresnel, c'est-à -dire que cette fonction ici n'est pas exactement une transformée de Fourier de la fonction qu'on avait là . Dernière chose, on peut faire varier ici le diamètre du faisceau, donc si je change delta X je vais avoir delta thêta qui va être plus petit, et donc comme on peut le voir ici l'effet de la diffraction sera plus faible évidemment si je prends un faisceau de très grand diamètre, je vais avoir ici dans l'espace de Fourier une excursion à vecteur d'onde transverse beaucoup plus petite et donc je serai beaucoup plus proche de l'approximation de l'onde plate monochromatique et je pourrai sur ces distances ici limiter l'effet de la diffraction. Évidemment, pour de grandes distances, la diffraction finira toujours par l'emporter. Comme je l'avais dit, l'intérêt de cette démarche dans l'espace de Fourier est qu'on peut calculer la propagation de n'importe quel profil de faisceau transverse, donc par exemple, ici j'ai représenté le cas de deux faisceaux gaussiens légèrement espacés l'un de l'autre, ça correspond à l'expérience des trous d'Young, où vous avez deux faisceaux qui vont interférer, mais pour interférer il va falloir qu'ils se recouvrent, et pour se recouvrir il va falloir qu'ils diffractent. En Z égal à zéro, on a simplement ces deux faisceaux gaussiens. Dans l'espace de Fourier, vous avez ici des franges, dans cet espace de Fourier, tout simplement parce que quand vous avez deux faisceaux translatés de part et d'autre de l'origine dans l'espace de Fourier vous aurez la transformée de fourier, évidemment, une translation, on a vu que ça faisait un facteur de phase linéaire et donc vous aurez deux phases linéaires ici que vous devrez ajouter, et ça va vous donner tout simplement un terme en cosinus KX qui sont les franges que vous voyez ici. Maintenant si je regarde dans l'espace réel et que je propage mon faisceau lumineux, je vois petit à petit apparaître comme tout à l'heure la phase quadratique dans l'espace delta X KX KY et à nouveau si je me mets à grande distance on est dans ce régime de diffraction de fraunhofer où l'image en espace réel est identique à l'image en espace de vecteur, donc j'ai la transformée de fourier de mon faisceau, et donc j'ai ces franges correspondant à l'expérience d'interférence des trous d'Young. Je vous montre ça pour illustrer un petit peu ce régime de diffraction intermédiaire, de diffraction de Fresnel ce que vous voyez, c'est que dans la région intermédiaire, où vous n'avez pas encore atteint l'asymptote, la fonction que vous avez là n'est pas le profil du faisceau en Z égal à zéro mais ce n'est pas non plus la transformée de Fourier, c'est une fonction intermédiaire dans ce régime de diffraction de Fresnel, qu'on peut numériquement calculer très simplement en prenant la fonction initiale calculée sur la valeur de fourier par rapport à X et Y, en appliquant la phase quadratique que vous avez ici pour ensuite revenir dans l'espace réel tel que représenté là . Évidemment, ce cas des trous d'Young ne fait pas exception à la loi générale c'est-à -dire que le diamètre gaussien de notre faisceau va suivre la même loi hyperbolique.
