On va s'intéresser au cas particulier d'un faisceau gaussien qui va jouer un rôle très important en optique spatiale. Donc j'ai écrit ici une fonction qui va être initialement une fonction gaussienne de x et y, et donc, simplement, conventionnellement on met un terme w zéro carré, w zéro s'appelle le rayon gaussien du faisceau lumineux. Donc c'est pas exactement les mêmes conventions que celles que vous avez vues pour la transformée de Fourier d'une gaussienne, et en fait ce qu'on peut montrer simplement, c'est que delta x sera ici égal à w zéro sur deux, pour qu'on retrouve l'expression exponentielle moins x deux sur quatre delta x carré, qui est élevée au carré, va vous donner exponentielle moins x deux sur deux delta x carré, comme ce que vous avez vu en exercice par rapport au temps. Donc si on a une fonction gaussienne dans l'espace réel, dans l'espace de Fourier on aura naturellement une fonction gaussienne, donc ici kx carré plus ky carré, puis w zéro carré qui est passé au numérateur, et un facteur quatre justement parce qu'on n'avait pas mis de facteur deux ici, et si maintenant je regarde la propagation, il suffit de multiplier par une phase quadratique, et donc j'aurai finalement une fonction qui va être une fonction gaussienne de kx et ky, et simplement en remplaçant w zéro ici qui était réel, par un paramètre gaussien qui va être complexe. Et ce qu'on peut montrer, c'est que le fait que la transformée de Fourier d'une gaussienne soit une gaussienne, c'est vrai aussi lorsque le paramètre ici est complexe, et donc on retrouve le fait que notre faisceau va être un faisceau gaussien dans l'espace réel. Donc, j'ai représenté ici le résultat qu'on obtient si on fait le calcul complet, donc un faisceau, un faisceau gaussien où j'ai séparé ici la partie réelle et la partie imaginaire dans l'exponentielle. On a un facteur w de z qui va évidemment obéir à la loi hyperbolique, que vous avez représentée ici, puisque w de z va être proportionnel à delta x. Je rappelle que w de z c'est deux fois delta x de z. Donc il obéit à une loi hyperbolique. On a une rayon ici, R de z, qui correspond ici à cette phase quadratique qui va correspondre à une onde sphérique divergent selon cet axe z, le paramètre zR ici c'est ce qu'on appelle la longueur de Rayleigh, donc qui vaut pile w zéro carré sur lambda, sinon si je propage le faisceau, j'ai la même évolution que ce qu'on avait tout à l'heure avec un faisceau qui reste gaussien dans l'espace des x et évidemment dans l'espace de Fourier. Et une chose qu'on peut remarquer, c'est que si vous regardez la phase au centre du faisceau, qui est codée ici par la couleur qui est au centre du faisceau, donc si vous regardes quand je pars par exemple de z négatif j'ai ici une couleur qui correspond au mauve-bleu, donc j'ai une phase négative, qui vaut plus pi sur deux, quand je passe par le foyer, la grandeur va être réelle, puisque j'ai une couleur turquoise correspondant à une fonction réelle, donc j'ai une phase qui a diminué de pi sur deux, et si je continue à me propager, eh bien je continue à tourner ici dans le plan complexe jusqu'au vert-jaune qui correspond à une phase de moins pi sur deux. Donc la phase est passée de plus pi sur deux à moins pi sur deux quand on a traversé ici le col du faisceau, et ça c'est ce qu'on appelle la phase de Gouy, qui est représentée ici, dont la forme exacte vaut arc tangente de z sur zR, et c'est un facteur qui pourra avoir une importance en optique non-linéaire.
