Considérons maintenant le cas où l'accord de phase n'est pas réalisé, c'est-à -dire le cas où delta k est différent de zéro, je vais reporter dans ce cas l'équation de propagation, et comme on l'a vu delta k c'est égal à n deux moins n un oméga deux sur c, donc on s'attend effectivement a priori dans un matériau à ce que n deux soit supérieur à n un, pour un matériau transparent avec une dispersion normale, et donc que delta k soit positif. J'ai représenté en bas l'échantillon en gris avec dedans le champ fondamental qui oscille à la fréquence oméga un et qui est supposé connu encore une fois parce qu'on est dans le régime de faible de déplétion, et puis vous avez ici dans le champ complexe représenté d'une part le point noir ici correspond au terme source, donc le membre de droite de l'équation, donc en z égal à zéro tout ce que vous avez ici est réel et vous avez juste le facteur i qui fait que le terme source est imaginaire pur donc c'est un point qui est représenté sur cet axe ici, et puis le point bleu correspond à A deux de z, c'est-à -dire donc le terme qui va nous intéresser et la flèche correspond au taux de variation de cette grandeur complexe et donc évidemment cette flèche va pointer dans la direction du point correspondant au terme source. Pour de faibles valeurs de z, même si delta k est à priori non-nul, on va pouvoir négliger ici la variation avec z exponentielle moins i delta k z et donc on aura ce qu'on avait vu avant, c'est-à -dire une variation linéaire de A deux avec z, donc on aura une croissance linéaire de l'enveloppe du champ doublé, puisque d A deux divisé par d z sera une constante. Si je regarde en zoomant ce qui se passe dans cette première tranche de l'échantillon, vous avez ici le champ E un de z qui va osciller à la fréquence oméga un, ou dans l'espace il va osciller à la longueur d'onde correspondant au faisceau fondamental, vous avez la polarisation induite à la fréquence deux oméga qui elle, aura une période d'oscillation deux fois plus petite, donc ça oscille deux fois plus vite, et cette polarisation non-linéaire va rayonner un champ électrique qui est le champ E deux de z ici qui croît linéairement avec z. Donc la relation entre la polarisation et le champ rayonné est exactement la même que celle qu'on avait vue quand on avait fait de l'optique linéaire et qu'on s'était intéressé au champ rayonné suite à la polarisation linéaire induite dans le matériau, donc là c'est la même chose, sauf que la polarisation P deux de z est une polarisation non-linéaire, mais la relation de phase ici entre la polarisation et le champ rayonné est la même c'est-à -dire que le champ rayonné est en quadrature, il est en retard de phase de pi sur deux par rapport à la polarisation qui va induire ce champ. Ça, c'est au voisinage de z égal à zéro. Si on se déplace dans l'échantillon, vous voyez que ce qui va se passer c'est que le terme source ici va en fait se déplacer sur un cercle, puisque vous avez ici exponentielle moins i delta k z, le module est constant mais la phase va varier avec z, comme delta k est positif, le point va se déplacer dans le plan complexe dans le sens indirect, c'est-à -dire dans le sens des aiguilles d'une montre, et donc ce terme source va se déplacer ici sur le cercle. Donc la flèche ici va continuellement changer de direction pour aller dans la direction de ce terme source. Vous voyez qu'à cause de ça, le champ ne va pas augmenter aussi vite que ce qu'il aurait augmenté si on n'avait pas eu ce problème de désaccord de phase. Au fur et à mesure qu'on se déplace dans l'échantillon la phase du terme source va changer et la direction dans laquelle le point se déplace dans le plan complexe va changer, et ça aura pour effet d'incurver la loi de variation ici de l'enveloppe qui, vous pouvez commencer à le voir, n'est plus tout à fait linéaire. Si je continue, je vais aller jusqu'à un point très particulier, qu'on appelle la longueur de cohérence, Lc qui est égal à pi sur delta k, c'est le point z tel que delta k fois Lc ou delta k fois z est égal à pi, donc vous aurez exponentielle moins i pi. Exponentielle moins i pi, ça fait moins un. Donc, ça veut dire que votre terme source ici, ce sera moins i, fois ce préfacteur, donc vous avez ici le terme source qui est exactement diamétralement opposé par rapport à sa position initiale. Donc ça veut dire qu'à partir de ce point, à partir de la longueur de cohérence, le taux de variation de la grandeur complexe à deux est exactement l'opposé de ce que vous aviez au début. À partir de ce point-là , vous allez commencer à défaire tout le travail de construction du champ cohérent que vous avez fait dans la première partie de l'échantillon. C'est pour ça que vous atteignez en fait un maximum de l'enveloppe du champ induit, et si je continue à me déplacer dans l'échantillon, le point noir va continuer sa trajectoire sur le cercle, le point bleu correspondant à A deux va, comme un chien suit son maître, incurver sa trajectoire pour finalement revenir au point de départ et on va au bout de deux fois la longueur de cohérence arriver à un champ doublé exactement égal à zéro. On peut voir l'origine de ce phénomène ici, si on regarde la version zoomée du champ électrique rayonné, vous avez ici toujours une polarisation P deux de z qui va être en fait verrouillée sur la phase du champ E un de z, puisque ça provient du terme E un élevé au carré, par contre le champ rayonné qui est là , c'est celui qui avait été rayonné dans toute la partie précédente de l'échantillon, et à cause de ce désaccord de phase vous voyez que le champ rayonné qui est en fait le champ rayonné qui reste, qui survit par rapport à tout ce qui a été détruit auparavant, au lieu d'être en retard de quadrature par rapport à la polarisation incidente, vous voyez qu'il est ici en avance de quadrature, donc exactement ce qu'il ne faut pas. Donc le champ rayonné, je veux dire le champ rayonné par la partie précédente de l'échantillon, va être en opposition de phase par rapport au champ rayonné en ce point-là qui, lui, va être en retard de phase de pi sur deux et donc va être exactement en opposition de phase par rapport au champ qui est représenté en bleu, et c'est pour ça que vous aurez une interférence destructive qui va finalement annuler votre champ électrique pour arriver à deux fois la longueur de cohérence à un champ total rigoureusement nul. On peut naturellement très simplement écrire la fonction mathématique correspondant à ce phénomène que je vous ai décrit de manière un peu imagée, il suffit pour cela d'intégrer la fonction exponentielle moins i delta k z, l'intégrale exponentielle moins i delta k z, comme indiqué ici, c'est exponentielle moins i delta k z divisé par moins i delta k, et puis je soustrais la valeur en z égal à zéro puisque j'ai supposé que je n'injectais pas de seconde harmonique donc la valeur en z égal à zéro c'est évidemment un sur moins i delta k, donc l'expression du champ A deux de z, c'est tout simplement égal à exponentielle moins i delta k z moins un divisé par moins i delta k. Alors on peut le représenter de manière plus élégante ou plus symétrique en mettant en facteur exponentiel moins i delta k z sur deux, donc c'est le terme que vous avez ici, et dans ce cas-là il va vous rester un terme en sinus delta k z divisé par deux, qui est tout simplement l'enveloppe que vous reconnaissez ici, une enveloppe sinusoïdale. En résumé, on a vu que dans ce régime de faible conversion, on avait tout d'abord le cas simple, où on avait l'accord de phase, delta k égal à zéro, dans ce cas-là l'enveloppe du champ doublé varie linéairement avec L et donc la puissance produite va varier de manière quadratique avec l'épaisseur de votre cristal. Puis, de manière plus général, si on prend en compte le désaccord de phase, c'est-à -dire si delta k est différent de zéro, dans ce cas-là on a cette formule en sinus delta k L sur deux, qui correspond à la courbe que vous avez en rouge ici quand on l'élève au carré. Évidemment, si dans cette formule, je fais tendre delta k vers zéro je vais trouver que le sinus delta k L sur deux est équivalent à delta k L sur deux, lorsque delta k tend vers zéro, et le delta k ici va se simplifier avec le delta k qui est là , et on va évidemment retrouver la formule qu'on a ici. Ce résultat-là est évidemment le cas limite du cas qu'on a ici sans accord de phase. Ce qu'on a vu c'est qu'a priori delta k était non nul, ce qui n'est évidemment pas très favorable pour engendrer beaucoup de secondes harmoniques, et donc tout notre effort va être d'augmenter la longueur de cohérence pour que le champ qu'on va produire de cette manière-là soit le plus proche possible du cas idéal et idéalement on va souhaiter évidemment que la longueur de cohérence soit infinie, c'est-à -dire qu'on met une valeur de delta k égale à zéro. Il y a diverses manières d'y parvenir, vous en verrez une en exercice avec Vincent, et pour ma part je vais vous parler de la méthode d'accord de phase par biréfringence donc qui utilise des cristaux anisotropes, mais pour cela nous devrons d'abord effectuer quelques rappels sur l'optique dans les milieux anisotropes.
