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4-3：機率質量函數 PMF

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頑想學概率：機率一 (Probability (1))

National Taiwan University

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這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。課程內容和作業都使用生活化的例子，希望讓同學們快樂學習、快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。

Reviews

4.8 (220 ratings)

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MH

Sep 13, 2019

讲述了概率论随机事件及其概率、随机变量及其分布这两个部分。相较于国内课本的枯燥乏味，benson老师的讲解更为生动形象，更让我理解深刻。同时，也在影片中也教会了我许多道理，不要自欺欺人，要脚踏实地的学习，以及如何做一个学生。谢谢老师！

QH

Jun 11, 2017

老师的课程非常生动，例子很贴近生活，例子通俗易懂，老师不仅教知识，也教做人之理，使我们对过去的学习引起反思，以及启发我们的思考

From the lesson

WEEK 4 (1)

本週有四個主題：1. 隨機變數的概念 2. 累積分布函數 (CDF) 3. 機率質量函數 (PMF) 4. 常見的離散機率分佈

4-0：咱們聊聊，如何幫自己面對未來挑戰？ 17:33

4-1.a：隨機變數 (上)13:53

4-1.b：隨機變數 (中) 14:43

4-1.c：隨機變數 (下) 5:19

4-2.a：累績分佈函數 CDF (上) 9:48

4-2.b：累績分佈函數 CDF (中) 8:59

4-2.c：累績分佈函數 CDF (下) 9:00

4-3：機率質量函數 PMF 11:26

Taught By

葉丙成
教授 (Professor)

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Transcript

那接下来CDF之后呢我们接下来要介绍是概率上另外一个很重要的函数叫做概率质量函数 probability mass function 那也是一样这个名字又臭又长所以我们通常在概率上我们直接讲说 PMF 我们接下来介绍什么叫做 PMF PMF 它的定义是什么？就是说做一件事情只有离散的随机变量才有 PMF 连续的随机变量没有 PMF 所以如果有一个人讲PMF的话你马上就知道这是离散的随机变量的东西对一个离散的随机变量 PMF是怎么定义呢？不管任何random variable X 大X 只要它是离散随机变量我们就可以定义它说它的Px就是这个函数我们通常用这个小P 来表示它然后呢也是一样跟CDF一样这里会有一个足标大X 大X表示是大X random variable 它的PMF 如果你用的random variable 是Y呢大Y呢那这地方就要标大“Y”了 ok 好那PMF是定义什么呢？它定义是说 PMF在这个小x的值是什么意思呢在这个小x的值函数里面讲就是这个大X会等于小x的概率举个例子来讲比如说象丢骰子公平的骰子的点数这个实验来看大X是代表骰子的点数那你看看这个大X 这个random variable 在三这个地方的PMF值是什么意思呢根据上面这个定义就是大X等于三的概率丢一个骰子等于三的概率是什么？就六分之一呀对不对所以PMF是一个非常直观的 PMF在任何一点在任何一个X的值就是那个random variable 会等于那个值的概率那PMF跟CDF之间有什么关系呢我们举个例子来看比如你有一个random variable X 你想要知道它在2.5那个地方的CDF值那根据前面的定义 CDF的值是什么 CDF在2.5的值就是 X会≤2.5的概率因为我们一般在讲这个discrete random variable 因为它的值都是离散的有限个或者是可数的无穷多个我们通常会把离散的随机变量的值为了方便起见我们通常都会把它定义成都是整数都是整数所以如果这个X是一个是一个整数值的这个离散的随机变量随机变量的值都是整数值的话你看大X≤2.5的概率是什么因为大X如果是随机变量值都是整数值的话那就表示 ≤2.5的概率跟就是你认为X＝2啦啊不好意思 X＝1啦啊不好意思 X＝0啦 X＝－1.... X到负无穷大都有可能嘛对不对所以CDF在2.5的值呢就是说把比2.5还要小 ≤2.5这些整数所有可能发生的概率全部都把它加起来以这个数学式子 ∑ 就是写的 ∑ N从负无穷大到2 那2呢我们这边会把它写成 2.5的下高斯符号把它写成这个样子有没有写成这个样子这什么意思呢这就表示我们把它表示成说是它是最接近2.5 且不大于2.5的整数也就是≤2.5的最靠近的整数我们把这些值从负无穷大到一直到小于等于2.5的最靠近的那个整数每一个值会发生的概率全部都把它加起来那就是CDF的值所以呢你把它整理起来这就表示说对于任何一个X 不管是这个任何一个X 小x的值你的CDF 你在小x的CDF值就是把它从N 从负无穷大一直到比你那个X 小于等于X 然后最靠近的那个整数每一个这个整数会发生的值这个PMF值全部把它加在一起这就是CDF跟PMF两个之间的关系什么意思呢？我们来看一个例子就知道了这里呢老师会给你一个例子我们先看一个PMF 我给你一个PMF 然后我们看看从这边怎样可以得到CDF 如果人家给我们的PMF是这个样子也就是说这个random variable 它等于3的概率是多少是1/4嘛因为它在3的PMF值是1/4 那就表示他等于3的概率是1/4 那这个random variable等于四的概率呢也是1/4 它等于5的概率是1/2 这个是它的PMF 从那PMF 我们怎么得到CDF呢前面讲过你就是一直累加嘛比方说我举例子来讲如果说你今天要算的是一个前面的式子是这个样子对不对如果你要算的是比如说是在2.9这个地方 2.9这个地方的CDF值根据上面这个式子你要算 2.9 那今天这个x是等于2.9的话那要怎么距离2.9最近的整数是多少是 2 那你就要从从负无穷大一直到2 所以这些整数的PMF值全部加起来可是你看看前面这个这个前面这个 PMF这个地方在2 以前的PMF值都是多少？都是零啊不等于零的只有这三个点对不对所以你从负无穷大好可怕从负无穷大一直加加加加到这个等于2的PMF值全部加起来但是加起来一堆零加起来还是零啊一点用都没有啊对不对所以2.9这个地方的CDF值是什么？就是零所以一直到事实上一直到3都还是 3之前都是零一直到3呢你想想看这个2.9呢我们把它改掉改成3的话改成3的话比3 最靠近3的整数比3 小于等于3又最靠近它是谁就是3 对不对所以从负无穷大一直加...加...加... 加到3 每一个点的 PMF值都把它加起来你看从负无穷大一直到3 每一个点的PMF值加起来你看加到3的时候唉有了有一个什么？有一个1/4 好那我问你那3.2呢？ 3.2的话那我们就把这前面1/3的地方 X就变成3.2了你就要算3.2的CDF值 3.2 那也是一样所以靠近3.2 又比3.2小最接近它的整数是多少是3 从前面一直加加加加。。。从负无穷大一直加加加到3 所有PM值加起来还是一样等于1/4 对不对所以你就发现说这个就是这个样子 3呢是1/4 然后一直到4以前统统是1/4 到了4以后呢 4的时候那个地方等于4的时候又有一个概率跳上来了所以就是这样子又跳上来一格变成2/4 一直到5 一直累加上来一直到最后是1 所以会发现从PMF得到CDF 容不容易很容易的你看看这个图很简单你看基本上刚才讲 CDF就是画那个楼梯嘛那那个楼梯什么时候会跳起来你就去看你的PMF值如果是在 3的地方也跳一个1/4的话那就表示你的楼梯在3的地方开始跳了一个1/4 然后呢你的PMF值有另外一个不等于0的地方是在4 那就表示你的楼梯到4这个地方又要跳起来那比之前的地方跳多高你本来是1/4 又往上跳个1/4 就变成2/4了那这个楼梯一直往上上上。。。走走走。。。走到哪个地方？走到5这个地方的时候又有一个不等于零的PMF值所以它要继续往上跳往上跳多少应该是这个PMF值是等于1/2 所以从这个2/4再往上跳1/2 跳到顶了所以就是 CDF值就维持在1 所以你会发现从PMF到CDF很简单就是做那个楼梯这个楼梯哪个地方有PMF值就一跳按高度就等于PMF值同样的道理如果从PMF得到CDF 得到楼梯那么容易那我先给你楼梯你要得到PMF 容不容易也容易呀所以今天老师只要给你这个楼梯你一看就知道那PMF PMF哪个地方有值就是3、4跟5 对不对 3的时候 3的值是多少就1/4 对不对 4的PMF值是多少在这个地方往上跳多少跳1/4 5的这个地方的PMF值是多少就是从这地方再往上跳跳多少？要跳到1/2 所以如果用数学式子来写其实我们在做的事情就是把每一个点就是楼梯前楼梯前跟楼梯后的差距把它算出来所以在x的PMF的值就是在楼梯后 x+（这里不对，+应该是上标）就是楼梯后的 CDF的值就是这个减掉X-的PMF值就是楼梯前就是楼梯后的值减掉楼梯前的值那是什么就是（听不清楚）的PMF值所以算出来就是 1/4 1/4 相减之后 2/4 所以从PMF的概念我们知道接下来我们要介绍一个名词叫做概率分布 Probability Distribution 任何一个PMF 或是我们之后下个礼拜会介绍的所谓PDF 他们都是一个所谓的概率分布什么意思呢其实它的概念就是这样我们是不是把总和为1的概率分布在一些点上面以刚才这个例子来讲我们是不是把总和为1的概率分别分布在这三个点上面所以这就是说我们在讲PMF 或是我们下一礼拜会讲PDF 它都是一种把概率转化为散布在这个点上所以以后我们有些时候会讲概率分布概率分布跟PMF 跟PDF 有些时候是混在一起的一个概念其实是等价的概念最后我们来回顾一个4.3节这一节最主要是在介绍PMF的定义就是pX(x)是什么就是random variable X落在x上的概率另外我们也介绍了PMF跟CDF的关系是什么特别是 PMF都是离散的随机变量才会有PMF 离散的随机变量我们前面看过它的CDF 就是一个象楼梯的这种形状那楼梯什么时候跳起来就是在PMF有值的地方跳起来跳起来的高度　刚好就是有值这个地方的它的PMF值是多少　就是楼梯跳起来有多高所以这就是PMF跟CDF的一些关系有CDF 就可以得到PMF 有PMF 就可以得到CDF

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