4-3：機率質量函數 PMF

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From the course by National Taiwan University

頑想學概率：機率一

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National Taiwan University

頑想學概率：機率一

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這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。課程內容和作業都使用生活化的例子，希望讓同學們快樂學習、快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。

From the lesson

WEEK 4 (1)

本週有四個主題：1. 隨機變數的概念 2. 累積分布函數 (CDF) 3. 機率質量函數 (PMF) 4. 常見的離散機率分佈

4-0：咱們聊聊，如何幫自己面對未來挑戰？ 17:33

4-1.a：隨機變數 (上)13:53

4-1.b：隨機變數 (中) 14:43

4-1.c：隨機變數 (下) 5:19

4-2.a：累績分佈函數 CDF (上) 9:48

4-2.b：累績分佈函數 CDF (中) 8:59

4-2.c：累績分佈函數 CDF (下) 9:00

4-3：機率質量函數 PMF 11:26

Meet the Instructors

葉丙成
教授(Professor)
電機系(Department of Electrical Engineering)

那接下来CDF之后呢

我们接下来要介绍是概率上另外一个很重要的函数

叫做概率质量函数 probability mass function

那也是一样这个名字又臭又长

所以我们通常在概率上我们直接讲说 PMF

我们接下来介绍什么叫做 PMF

PMF 它的定义是什么？

就是说做一件事情

只有离散的随机变量才有 PMF

连续的随机变量没有 PMF

所以如果有一个人讲PMF的话

你马上就知道这是离散的随机变量的东西

对一个离散的随机变量

PMF是怎么定义呢？

不管任何random variable X

大X 只要它是离散随机变量

我们就可以定义它说

它的Px就是这个函数

我们通常用这个小P 来表示它

然后呢也是一样

跟CDF一样这里会有一个足标

大X 大X表示是

大X random variable 它的PMF

如果你用的random variable 是Y呢

大Y呢那这地方就要标大“Y”了

ok 好

那PMF是定义什么呢？它定义是说

PMF在这个小x的值是什么意思呢

在这个小x的值

函数里面讲就是这个大X会等于小x的概率

举个例子来讲

比如说象丢骰子

公平的骰子的点数这个实验来看

大X是代表骰子的点数

那你看看这个大X

这个random variable 在三这个地方的PMF值是什么意思呢

根据上面这个定义就是

大X等于三的概率

丢一个骰子等于三的概率是什么？

就六分之一呀对不对

所以PMF是一个非常直观的

PMF在任何一点在任何一个X的值

就是那个random variable 会等于那个值的概率

那PMF跟CDF之间有什么关系呢

我们举个例子来看

比如你有一个random variable X

你想要知道它在2.5那个地方的CDF值

那根据前面的定义 CDF的值是什么

CDF在2.5的值就是

X会≤2.5的概率

因为我们一般在讲这个discrete random variable

因为它的值都是离散的有限个

或者是可数的无穷多个

我们通常会把离散的随机变量的值

为了方便起见

我们通常都会把它定义成都是整数

都是整数

所以如果这个X是一个

是一个整数值的这个

离散的随机变量

随机变量的值都是整数值的话你看

大X≤2.5的概率是什么

因为大X如果是

随机变量值都是整数值的话

那就表示

≤2.5的概率跟

就是你认为X＝2啦

啊不好意思 X＝1啦

啊不好意思 X＝0啦

X＝－1.... X到负无穷大都有可能嘛

对不对

所以CDF在2.5的值呢

就是说把

比2.5还要小 ≤2.5这些整数

所有可能发生的概率

全部都把它加起来

以这个数学式子 ∑ 就是写的

∑ N从负无穷大到2

那2呢我们这边会把它写成

2.5的下高斯符号

把它写成这个样子有没有写成这个样子

这什么意思呢这就表示

我们把它表示成说是它是

最接近2.5

且不大于2.5的整数

也就是≤2.5的

最靠近的整数

我们把这些值从负无穷大

到一直到小于等于2.5的

最靠近的那个整数

每一个值会发生的概率

全部都把它加起来那就是CDF的值

所以呢你把它整理起来

这就表示说

对于任何一个X

不管是这个任何一个X

小x的值

你的CDF 你在小x的CDF值

就是把它从N 从负无穷大一直到

比你那个X 小于等于X 然后最靠近的那个整数

每一个这个整数会发生的值

这个PMF值全部把它加在一起

这就是CDF跟PMF两个之间的关系

什么意思呢？我们来看一个例子就知道了

这里呢老师会给你一个例子

我们先看一个PMF 我给你一个PMF

然后我们看看从这边怎样可以得到CDF

如果人家给我们的PMF是这个样子

也就是说这个random variable

它等于3的概率是多少

是1/4嘛因为

它在3的PMF值是1/4

那就表示他等于3的概率是1/4

那这个random variable等于四的概率呢

也是1/4

它等于5的概率是1/2

这个是它的PMF

从那PMF 我们怎么得到CDF呢

前面讲过你就是一直累加嘛

比方说我举例子来讲

如果说你今天要算的是一个

前面的式子是这个样子对不对

如果你要算的是比如说是在2.9这个地方

2.9这个地方的CDF值

根据上面这个式子

你要算

2.9 那今天这个x是等于2.9的话

那要怎么距离2.9最近的整数是多少

是 2

那你就要从从负无穷大

一直到2 所以这些整数的PMF值全部加起来

可是你看看前面这个这个前面这个

PMF这个地方

在2 以前的PMF值都是多少？

都是零啊

不等于零的只有这三个点对不对

所以你从负无穷大好可怕从负无穷大一直加加加

加到这个等于2的PMF值全部加起来

但是加起来一堆零加起来还是零啊

一点用都没有啊对不对

所以2.9这个地方的CDF值是什么？就是零

所以一直到事实上一直到3都还是

3之前都是零

一直到3呢你想想看

这个2.9呢我们把它改掉

改成3的话

改成3的话

比3 最靠近3的整数

比3 小于等于3又最靠近它是谁

就是3 对不对

所以从负无穷大一直加...加...加...

加到3 每一个点的

PMF值都把它加起来你看

从负无穷大一直到3 每一个点的PMF值加起来

你看加到3的时候唉有了

有一个什么？有一个1/4

好那我问你那3.2呢？

3.2的话

那我们就把这前面1/3的地方

X就变成3.2了

你就要算3.2的CDF值 3.2 那也是一样

所以靠近3.2 又比3.2小

最接近它的整数是多少是3

从前面一直加加加加。。。

从负无穷大一直加加加到3

所有PM值加起来还是一样等于1/4 对不对

所以你就发现说这个就是这个样子

3呢是1/4

然后一直到4以前统统是1/4

到了4以后呢

4的时候那个地方等于4的时候又有一个概率跳上来了

所以就是这样子又跳上来一格变成2/4

一直到5 一直累加上来

一直到最后是1

所以会发现从PMF得到CDF 容不容易

很容易的你看看这个图很简单

你看基本上刚才讲

CDF就是画那个楼梯嘛

那那个楼梯什么时候会跳起来

你就去看你的PMF值如果是在

3的地方也跳一个1/4的话

那就表示你的楼梯在3的地方开始跳了一个1/4

然后呢你的PMF值有另外一个不等于0的地方是在4

那就表示你的楼梯到4这个地方

又要跳起来

那比之前的地方跳多高

你本来是1/4

又往上跳个1/4 就变成2/4了

那这个楼梯一直往上上上。。。走走走。。。

走到哪个地方？走到5这个地方的时候

又有一个不等于零的PMF值

所以它要继续往上跳

往上跳多少

应该是这个PMF值是等于1/2 所以

从这个2/4再往上跳1/2

跳到顶了所以就是

CDF值就维持在1

所以你会发现从PMF到CDF很简单

就是做那个楼梯

这个楼梯哪个地方有PMF值就一跳

按高度就等于PMF值

同样的道理

如果从PMF得到CDF 得到楼梯那么容易

那我先给你楼梯你要得到PMF 容不容易

也容易呀

所以今天老师只要给你这个楼梯

你一看就知道那PMF

PMF哪个地方有值就是3、4跟5

对不对

3的时候 3的值是多少

就1/4 对不对

4的PMF值是多少在这个地方往上跳多少跳1/4

5的这个地方的PMF值是多少

就是从这地方再往上跳跳多少？

要跳到1/2

所以如果用数学式子来写

其实我们在做的事情就是

把每一个点就是楼梯前

楼梯前跟楼梯后的差距把它算出来

所以在x的PMF的值

就是在楼梯后 x+（这里不对，+应该是上标）就是楼梯后的 CDF的值就是这个

减掉X-的PMF值就是楼梯前

就是楼梯后的值减掉楼梯前的值那是什么

就是（听不清楚）的PMF值

所以算出来就是

1/4 1/4 相减之后 2/4

所以从PMF的概念我们知道

接下来我们要介绍一个名词叫做概率分布

Probability Distribution

任何一个PMF

或是我们之后下个礼拜会介绍的所谓PDF

他们都是一个所谓的概率分布

什么意思呢

其实它的概念就是这样

我们是不是把总和为1的概率分布在一些点上面

以刚才这个例子来讲

我们是不是把总和为1的概率

分别分布在这三个点上面

所以这就是说我们在讲PMF

或是我们下一礼拜会讲PDF

它都是一种把概率转化为

散布在这个点上

所以以后我们有些时候会讲概率分布

概率分布跟PMF 跟PDF 有些时候是混在一起的一个概念

其实是等价的概念

最后我们来回顾一个4.3节

这一节最主要是在介绍PMF的定义

就是pX(x)是什么

就是random variable X落在x上的概率

另外我们也介绍了PMF跟CDF的关系是什么

特别是 PMF都是离散的随机变量

才会有PMF

离散的随机变量我们前面看过

它的CDF 就是一个象楼梯的这种形状

那楼梯什么时候跳起来

就是在PMF有值的地方跳起来

跳起来的高度　刚好就是有值这个地方的

它的PMF值是多少　就是楼梯跳起来有多高

所以这就是PMF跟CDF的一些关系

有CDF 就可以得到PMF 有PMF 就可以得到CDF

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