6-2.b：期望值 I (中) - WEEK 6 | Coursera

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6-2.b：期望值 I (中)

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頑想學概率：機率二 (Probability (2))

National Taiwan University

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這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。另外我們的作業將搭配臺大電機系所開發的多人競技線上遊戲方式，讓同學在遊戲中快樂的學習，快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。

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WEEK 6

本週我們將延續上週還沒說完的連續機率分布，並介紹離散的隨機變數期望值。

6-0：咱們聊聊，成功者的條件是什麼？ 10:13

6-1.a：連續機率分佈 II (上)15:25

6-1.b：連續機率分佈 II (中) 16:08

6-1.c：連續機率分佈 II (下) 17:16

6-1.d：連續機率分佈 II (末) 5:40

6-2.a：期望值 I (上) 16:35

6-2.b：期望值 I (中) 10:41

6-2.c：期望值 I (下) 16:44

6-2.d：期望值 I (末) 14:30

Taught By

葉丙成
教授 (Professor)

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Transcript

好那你看看呢我们之前有讲过对于任何一个随机变量X来讲对于任何一个随机变量X来讲它的一个函数 X的一个函数比如说随便用g(X)来表示这个函数的话 X如果是随机的那它带到一个函数里面是不是也是随机的是的啊所以我们上次讲过g(X)也是一个随机变量那既然是随机变量它就应该有它的期望值对不对那一种方法就是说 g(X)是一种随机变数那我就先算出g(X)的PMF 那我就可以定义它的期望值这是种方法也是很好的但是这种方法有时候就比较啰嗦因为你要定义g(X)的期望值之前你要先找出g(x)这个随机变量它的PMF 这个有时候就比较麻烦所以呢我们就说其实我们发现说 g(X)有一个等价的一个算法可以算出它的期望值就是你把g(X) 很简单就是g(X)乘上Px（x）就好然后也是一样把所有的小x 所有的可能的x都submission起来这是用来算一个当你这个x带到一个因为这个就是说 x的概率分布是这个嘛当你x的概率分布你这个时候要算的平均式你带到g(X)的这个平均值所以我们这边呢就不是乘以X了而是乘以g(X)了而这个g(X)乘上Px(X)加起来就是g(X)的期望值这样非常重要的一个式子要记住期望值的运算呢它有一些性质让我们这个性质呢可以使我们在计算期望值的时候可以比较方便比较好算所以这个东西大家一定要注意我们举一个例子给大家看假设你今天有个随机变量X它是什么概率分布我不知道但是呢我们比如说某个概率分布然后你要算的是 3X^2的这个期望值那这个是什么这是不是X的一个函数就刚才讲的那个g(X)嘛就是g(X)=3X^2的意思嘛那3X^2的期望值刚才讲g(X)的期望值就很简单你就把g(X)直接乘x的PMF然后submission起来所以这个既然是你的g(X) 你把它代小x进去就变成了3x^2，小x的平方乘上对应的PNF了 OK 好，那这个时候呢我们要做一件事情什么事情呢我们把这个3呢拉到外面来所以是不是就变成了 3乘上submission的x^2乘上Px(x) 好那最后等于什么随后等于3乘上g(X)^2 所以从这个例子我们会发现说诶你在这里面有一个常数有没有这个常数是可以直接提到这个期望值外面期望值里面的任何一个常数常数的系数都可以被拉到外面来这是它的一个很重要的性质这个东西呢不是只有对这个x^2 不是说这个地方是x^2才有用事实上，对于任意的g(X)都成立怎么说呢你看假设你的这个常数这个刚才我们是用3嘛那这边我先用一个α来表示任意的一个常数你有个任意的常数α乘上个g(X) 所以说那期望值那根据定义这个东西的期望值是什么把这里面的整个东西代小x 就是α乘上g(x) 乘上PMF 对不对好这个submission呢 α是常数是不是又可以拉到前面来所以你把它拉到前面来然后就变成是 α乘上submission的g(X)乘上Px(x) 对不对那g（x）乘上Px(x)那submission取代这是什么的期望值这是g(X)的期望值啊所以呢外面再乘上一个α 所以我们刚才就证明给你看呢刚才这个性质不是只有在X^2的时候才成立是对于任意的大X的函数g(X)呢你在里面呢给它乘上一个α 这个α一直可以被你提到外面来这也就是说我们在做题的时候就很方便了好那刚才这个α乘上g(X)的期望值呢 α可以提出来那这个性质呢怎么把它延伸呢好我们来看一下假设我们现在是αg(X)+βh(X)这两个合成起来再取期望值有没有什么性质或者化简可以用的呢我们来看一下 αg(X)+βh(X)这个也是可以看起来把它当做是一个X的一个整的一个很大的一个函数嘛对不对那它的期望值是什么就把小x代进去啊就是αg(x)+βh(x)这整个东西去乘上Px(x) 那这两个东西呢这样是现在是这两个呢加在一起以后再乘上Px(x) 对不对那我们就把它乘开来把它乘开来那这个就变成一个是乘开来这一个submission 另外是另外一个h乘起来再乘一个submission 那你看看呢 αg(X)再乘上Px(x) 这个α跟前面一样怎么样可以先拉到外面来那β呢也是一样本来呢β也是一样跟h乘在一起但是呢也可以被拉到外面来好所以就变成这两个样子那这个呢 again 我们知道 g(x)乘上Px(x)然后去掉submission 这是什么这是g(X)的期望值嘛所以这两个呢前面这边就变成是 αg(X) 那后面这个呢 h(x)乘上Px(x)呢 submission起来那是什么那是h(X)的期望值所以这个东西就是βE[h(X)] 所以我们发现说原来你在里面呢是一个线性组合 αg(x)+βh(x) 你可以把它拆开成各自各做各的期望值 g做自己的期望值 h做自己的期望值最后再用α、β把它乘在一起加起来 OK 好那老师问你如果现在是3个呢现在这里面如果是αg(x)+βh(x)的值再加上比方说γl(x)的时候这东西呢是不是后面可以多加一项出来是可以的所以这个性质是可以你如果你看刚才的这个证明的话这里面如果是3项那这边这个地方呢就会是三项对不对那3项的话这边呢就拆成3个 submission 那最后呢也会变成是3个这个期望值个别算出来后再乘上α、β、γ相加 OK 所以一般说这个性质怎么样他是不是只限于两个 No 3个、4个甚至n个都可以好这边呢老师给大家一个例子 6X+8X^2它的期望值那我们就可以把X自己当做一个函数写作g(X)=X 把X^2当做h 这个当做一个函数 h(x)=X^2 所以呢你看这个怎么样就可以把他们各自拆开那也就是自己算自己的期望值 X呢就是算自己的期望值之后这个6把它拉到外面来那8也是一样那8呢 X^2是自己算自己的期望值那8呢把它拉到外面来 OK 所以呢这个性质很多时候期望值的化简会很有用等一下我们后面就会看到OK 好期望值还有一个很重要的一个性质是什么就是 α如果是一个常数的话老师问你如果α 比如说α等于5 5的期望值是多少那你就看看 α是一个任意的常数那你就看看根据期望值的定义这个东西它的期望值是什么就是它呢去乘上X的PMF 然后submission起来那你看呢这个α呢也是一样我们可以把它拉到外面来那这边呢就变成什么 submission的PMF 把PMF从负无穷一直加到无穷大把X从负无穷加到无穷大 submission加到无穷大你想想看这PMF你从头加到尾加起来等于多少就等于1啊所以你看 α乘上1呢就是α 好所以任何一个常数的期望值都是等于这个常数自己好就是比如说3的期望值就是3 或者说这个例子 6的期望值就是6 这个合理吧它都已经是常数了你还期望它变什么任何一个常数期望值你还期望它变成别的数字吗不可以啊这就不叫常数了对不对所以任何常数的期望值是什么就是它自己 OK 这也是期望值一个很重要的一个性质好很常见的一些随机变量的一些函数的期望值是什么呢这边做一个介绍啊其中一个很常见的以后你常会听到就是说 X的n‘smoment 我们的中文会讲说X的第n个moment n‘s就是第n个的意思一个很常见的函数就是说x的第n个moment 那这个什么叫X的第n个moment x的第n个moment其实就是代表 x的n次方的期望值就是n's moment的定义所以x的n次方的期望值呢我们就说是x的第n个moment 那y的期望值等于 y的n次方的期望值呢那这就是y的n's moment OK 所以呢那你我们再回过来讲 n's moment 的定义你既然是x的n次方的期望值那就是根据前面来讲就是代小x进去代进去就变成x^n乘上PMF呢再把它submission起来 OK 这就是X的第n个moment 所以举例来讲 X^2的期望值是什么就是x的第二个moment x的second moment 那X的5次方的期望值是什么那就是X的fifth moment 就是X的第五个moment OK 这个东西呢要记住因为这个名字也有可能会常常会碰到 OK 那还有一个呢 X的一个函数我们常常用来取期望值的是什么就是任何一个函数任何一个随机变量呢我们也常常去取这个随机变量x呢减掉自己的μ然后再平方再取期望值那这个呢我们给它一个名字叫x的变异数或者说英文我们翻译作variance 任何一个随机变量它的variance就是x减掉自己的期望值然后取平方以后再取期望值所以X减掉自己的期望值就是X-μx再取平方再取期望值那这个东西呢根据定义是什么（X-μx)^2的这个函数就代小x进去啊就是(x-μx)^2然后再乘上PMF 的值X再积起来 ok 这就是x的variance

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