8-1.d：聯合機率分佈 (末)

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From the course by National Taiwan University

頑想學概率：機率二 (Probability (2))

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National Taiwan University

頑想學概率：機率二 (Probability (2))

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這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。另外我們的作業將搭配臺大電機系所開發的多人競技線上遊戲方式，讓同學在遊戲中快樂的學習，快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。

From the lesson

WEEK 8

前面幾個禮拜我們所考慮的問題都是只有一個隨機變數的狀況，這週我們要介紹聯合機率分布 (Joint probability distribution)、邊際機率分布 (Marginal probability distribution)，探討：如果有兩個隨機變數的話會有什麼不一樣的地方？期望值又是怎麼定義的？

8-0：咱們聊聊，如何探索有意義的人生？22:49

8-1.a：聯合機率分佈 (上)14:36

8-1.b：聯合機率分佈 (中) 15:05

8-1.c：聯合機率分佈 (下)17:00

8-1.d：聯合機率分佈 (末) 11:18

8-2：邊際機率分佈 12:32

8-3.a：雙變數期望值 (上) 10:06

8-3.b：雙變數期望值 (下) 17:27

Meet the Instructors

葉丙成
教授 (Professor)
電機工程學系 (Department of Electrical Engineering)

那我们来看一下联合PDF有没有些例子呢

我们来看一下假设我们来看等公车的这个例子

假设小美等公车的时间X

我们用X表示小美等公车的时间

小园呢他到公交站牌等公车这时间是Y

这个X跟Y 小圆跟小美这两个好因为

小圆才是真正是好兄弟啊对不对他这个

你看前面这两个

他跟小美下线的时间完全都是没有关系的

是independent 对不对他非常不屑于小美所以

他完全都不想跟她生活有任何搭咖

所以这个生活是完全independent

所以呢包括这个等公车的时间

他们两个人也不会说一起去等公车什么他们各自生活是独立的所以

等公车的时间是完全独立的然后呢

他们在等公车都是他们公车都是0到10分钟

平均等车子时间都是0到10分钟都有可能

都机会均等而且是个连续的概率分布

所以呢他们不管是谁去等公车都是

0到10分钟等的任何长度机会都是均等的

那这种情况下你看看那X跟Y

是不是它们的概率密度有没有哪一个点

你想想看它有没有可能如果这里有个点在这边

就是这个地方这个X就是小美等车超过10分钟

比如这个点是(12, 8)我问你这个点有没有可能发生就是

小美等车等了12分钟小园等车等了8分钟

这不可能嘛因为刚才有讲过X跟Y它们两个的概率分布都是0到10分钟之间　对不对

所以你看这一点是不是就很清楚

它的这个(12, 8)这一点呢你看

它的概率密度上面就是空的就是0 就趴在地上对不对

但是你看这一点

如果是这一点的话比如说是（5，5）这一点

小美等车等了5分钟小圆等车等了5分钟这一点

它的发生有没有机会发生呢是有机会会发生的

因为你看两个都落在0跟10之间对不对

但是老师问你

这在（5，5）这点发生的机会跟这一点比如说这一点是

这个（2，3）在（5，5）这点跟（2，3）这一点

这两点发生的机会有没有道理说哪一点可能发生

哪一点比较可能发生哪一点比较不可能发生

其实没有啊因为X跟Y在它们在(0,10)之间都是机会均等

没有什么道理说 (5,5)这点比较容易发生或者说(2,3)这点比较容易发生

对不对所以呢在这两点的概率密度应该怎么样

都是平的都是一样的事实上我们可以

从这样推论来看我们可以发现说在这一个

10*10这个方形里面没有一个点

没有说哪一个点它发生机会比较大

事实上每一个点发生机会都均等

所以这也就为了你看到在这个例子里面

它的概率密度函数那个曲面是个平的

因为不管任何一个点你的f(x,y) 只要你落在10*10这个方块里面的话

你的概率密度呢都是1/100 这是为什么它都是平的

但老师要给你讲一下要注意哦不是说PDF

这个一定都是平的不一定给你看个例子比如说

只是另外一个

这个Bivariate Gaussian是另外一种2D的PDF

一种常见的例子你看它就像一个像个什么

像个青春痘一样有没有像个痘子肿起来一样

像老师最近弄这个课都常常熬夜就

脸上常会长痘子这痘子有没有

这个痘子你看它有没有平的就没有平的嘛

对不对所以这个呢要记住

不是说PDF都是平的很多时候它可能不是平的

那我们刚才呢在讲这个discrete这个(x, y)的时候

我们提到说如果你有这个discrete

这个(x,y)这两个random variable的joint PMF的话

那它们两个的联合概率分布就被决定了对不对

那同样的如果你的(x, y)是连续的

那也是一样连续的话只要人家给你什么

你的联合概率分布就决定了没错

就是人家只要给你这个联合的joint PDF的话因为它是联合PDF

(x, y)的话 (x, y)的联合概率分布呢也就被决定了

ok 那刚刚前面有提到就说

这个joint PDF 联合的PDF跟联合的CDF 这两个其实是有关系的

这个F(x, y) 如果人家给你这个f(x, y)的话

你只要把它积分把它积分积起来你就可以得到

对x y都要积分你就可以得到F(x, y)

相反的人家给F(x, y)你只要把它

对x y分别做一次偏微分你就可以得到什么

你就可以得到f(x.y) 所以这两个是互通的

给你哪个一个都会另外一个所以不管给你哪一个

这个Joint的概率分布呢就完全的决定了 ok

那这个Joint PDF它有一些性质什么性质呢

比如说我们以刚才前面那个例子有没有

这个等公车这个PDF为例子来看

第一个 PDF值都一定大于等于0 你看看这个图

这个图上面的这个PDF值不是趴在平面上 PDF=0

不然就是高起来的都是大于等于0的

所以这是Joint PDF的一个重要的性质

就跟我们一维PDF一样一维PDF是不是也是一定要大于等于0呢也是嘛对不对

第二个是什么整个Joint PDF你把它从-∞积到∞大

-∞到∞大对x对y分别从-∞到∞积起来

积起来这个值会等于多少会等于1

那这个呢跟我们一维的PDF也是很像

一维的PDF你如果你把x从-∞到∞ 积起来是等于1 也是的

所以你看看以这个例子来看的话

这个图这个例子看它的这个平面高度是多少

是1/100 你如果把它整个PDF值不等于0的区域

10*10这个长方形你要把整个积起来的话

这整个积起来值是多少就100 * 1/100 刚好也是1

所以概率就是这个体积这个体积就代表这个概率

你记得以前一维的PDF积分出来变面积

面积代表概率现在是二维的PDF积分积出来

代表是体积那个体积代表就是概率

然后整个从-∞积到∞ -∞积到∞积起来会等于1

这是个很重要的性质另外呢

刚才不是有了吗就是两个x跟y

如果两个是独立的话它们Joint PMF

会等于各自的PMF相乘对不对

在这边呢 Joint PDF也是一样

如果两个x，y是independent的话

它们的Joint PDF会等于各自的PDF相乘

那这个你如果要证的话也是用概率的近似式

有没有就用这个PDF 我们刚才讲这个PDF是来自什么

来自于落在那个小区间的小方块的概率

去除以△x △y嘛你可以把它拆成

如果是independent的话落在那个小区间的区域

就等于是x落在(x,x+△x )的概率乘上

y落在(y,y+△y)的概率然后再除以

所以这个东西利用刚才的这种方式

利用概率的独立性你也可以推导出

概率密度会等于它们各自相乘

另外呢对于任何事件B 我们刚才讲

像前面的PMF事件B就是平面上的某个区域对不对

那对于任何事件B 你的B发生的概率之前是summation

把那个ｘ在Ｂ那个区域 discrete case 是把

在B那个区域里面的点的概率值把它summation起来　

对不对　现在呢如果是连续的话

上个礼拜老师有讲过很多在discrete是summation的东西

在连续的case的话就把它变成积分

所以呢就是把落在B那个区域里面的那些点的PDF把它积起来

什么意思呢以这个图为例子比如说我的B是这个区域

我想要算这个区域发生的概率

这个事件发生的概率那事件发生的概率是什么

就是把落在B这里面的点(x,y)去积分

就把f(x,y)就是在B那个范围去做积分

也就是做这个区域的这个积分

所以你积分积出来结果会是应该是就是一个圆锥体

这圆锥体的体积代表的就是这个事件的概率

因为一直在那个B上面去对f(x,y)那个曲面去做积分嘛

所以呢这个式子你如果微积分不是很了解

没关系反正文科的同学或者是高中生

你如果积分还没学你就先记住这个式子就好

以后你就会用那理科的同学你可能就要了解这个事情了

最后我们来回顾一下这一节

这一节一开始我们来介绍的是什么

我们介绍什么叫做Joint的概率分布

为什么我们要考虑Joint的概率分布

为什么要考虑Joint的概率分布

就是因为你只看一个R.V.的PDF的时候

你其实有很资讯是看不到的比如说

像小华跟小美的这些关系这个下线的联动的关系

这个是你看不到的

这一定要两个随机变量一起看

它们联合概率分布你才得出这些里面的微妙之处

所以这就是为什么我们要考虑联合概率分布这个是为什么另外呢

联合PMF是什么如果你x跟y 如果是discrete 我们就要看它的Joint PDF(疑口误应为Joint PMF)

就是X=x且Y=y的概率 Joint PMF

那有了Joint PMF后我们就引申进来那Joint CDF是什么

Joint CDF就是X≤x且Y≤y的这个概率

这个东西呢Joint CDF要记住

它不是只有discrete的x, y可以用同样的

这个定义可以套用在连续的x y的这种随机变量上面

对不对最后呢我们探讨说

那如果你x y是连续的话你想要分析它

在某一点发生这个机会大或是小的话

你就要用这个Joint PDF概率密度那这个

很多概率是跟我们一维的PDF很像

是把它延伸过来到二维的case

ok 这就是我们的第一个部分在讲联合概率分布

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