[SON] [AUDIO_VIDE] Premier exercice, expression d'espérance. On se donne X une variable aléatoire à valeurs dans grand N. Première question, montrer que au sens des séries positives, l'espérance de X est égale à la somme pour k plus grand que zéro des probabilités pour que grand X soit strictement plus grand que k, et tout ça à valeurs dans zéro l'infini au sens des séries positives. Deuxièmement montrer que si un nombre s positif ou nul est tel que la série ci-dessous converge, en particulier ce qui va être le cas lorsque s est compris entre zéro et un strictement inférieur à un, alors la fonction génératrice de X prise au point s, c'est-à -dire par définition d'espérance de petit s puissance grand X, peut s'écrie comme étant un plus s moins un, fois la série somme de k plus grand que zéro s puissance k, probabilité que grand X soit strictement plus grande que k. Donc pour que cette formule soit juste, il faut que la dernière série converge. Et comme vous voyez il y a un s puissance k, et donc pour tous les s plus petits que un, comme les probabilités sont plus petites que un cette série converge certainement pour s strictement plus petit que un. Donc ces deux formules expriment en fait l'espérance de quantités différentes de X et de s puissance X en fonction de la probabilité que grand X soit plus grande que k donc qui est un moins la fonction de répartition de X, donc ça a un lien assez fort entre la fonction de répartition et la loi de variable aléatoire. Donc vous pouvez chercher un peu ces exercices avant de regarder la solution. Je vais donner la solution de l'exercice, sur les expressions d'espérance. Dans les deux cas on va savoir qu'on peut utiliser deux techniques. On peut appliquer soit le Théorème de Fubini, pour intervertir des sommes, on va voir, soit la règle d'Abel des séries entières. Et pour illustrer nous donnons un exemple de chaque. Donc première question, par le Théorème de Fubini pour les séries positives, l'espérance de x par définition c'est la somme sur tous les petits x supérieur ou égal à zéro de la probabilité que grand X vaille petit x fois x, la moyenne des valeurs prises pondérées par leurs probabilités d'être prises. Ensuite x on peut l'écrire comme étant la somme de k égal zéro à x moins un. Donc on peut réécrire ça comme étant la somme de x sur les x plus grands que zéro de la somme de k égal zéro à x moins un des probabilités de grand X égal petit x. Là nous utilisons Fubini pour intervertir les deux séries. Donc ça c'est la somme pour k plus grand que zéro de la somme pour petit x strictement plus grand que k des probabilités pour que grand X soit égal à petit x. Donc nous avons appliqué Fubini qui est toujours valable pour des séries positives, et en regroupant ensuite la somme quand x est strictement plus grand que k des probabilités de grand X égal petit x c'est tout simplement la probabilité de grand X strictement supérieur à k. Donc nous en déduisons que l'espérance de x c'est la somme pour k supérieur ou égal à zéro des probabilités que grand X soit strictement plus grand que k. Nous avons ainsi résolu le premièrement, donc la première question. Pour la deuxième question, nous allons utiliser la règle d'Abel. Donc l'espérance de s puissance grand X, par définition de l'espérance, c'est la somme pour k supérieur ou égal à zéro, des probabilités pour que x soit égal à k, s puissance k, la moyenne des valeurs prises pondérées par leurs probabilités d'être prises. Ensuite nous voulons faire apparaître les probabilités pour que grand X soit strictement supérieur à k, donc nous allons écrire la probabilité pour que x soit égal à k comme étant la probabilité pour que grand X soit strictement plus grand que k moins un moins la probabilité pour que grand X soit strictement plus grand que k. Ensuite, nous allons séparer ces deux sommes. Nous avons vu que les séries étaient convergentes donc on a pas de problème à séparer ces deux séries qui ont un signe différent. Donc le premier terme que l'on obtient c'est un. La probabilité que grand X soit strictement plus grand que moins un c'est un, donc un plus, en faisant un petit décalage dans les indices, en remplaçant k moins un par k dans la première série on se retrouve avec la somme pour k plus grand que zéro de la probabilité pour que grand X soit strictement plus grand que k s à la puissance k plus un, et il ne faut pas oublier de décaler l'indice de s puissance k. Donc moins la série, somme pour k supérieur ou égal à zéro des probabilités pour que grand X soit strictement plus grand que k, s puissance k. Et donc en regroupant, en mettant en facteur la probabilité pour que grand X soit strictement plus grand que k, ça vous donne un le premier terme, plus la somme de k supérieur ou égal à zéro de s puissance k plus un moins s puissance k, probabilité que x soit strictement plus grand que k. Et on retrouve en mettant s puissance k en facteur, on retrouve la formule qu'il fallait démontrer, un plus s moins un série, somme de k plus grand que zéro de s puissance k probabilité que grand X soit strictement plus grand que k. Donc ici, je l'ai démontré, mais en fait c'est une application de ce qu'on appelle la règle d'Abel, c'est une forme d'intégration par parties discrète, donc évidemment le fait d'écrire p de x égal k comme étant la différence entre le p de x strictement plus grand que k moins un et la probabilité pour que x soit strictement plus grand que k nous pouvons l'appliquer aussi pour le calcul de x est un calcul assez simple, en faisant peut-être un petit peu attention à la différence de termes aux séries, enfin une différence de séries, permet de retrouver le premier résultat. Donc nous avons ainsi résolu la deuxième question, et fini l'exercice.
