Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Produit d'espaces de probabilité
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From the course by École Polytechnique
Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1
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L'ESPACE DE PROBABILITÉ (3/3)
Nous achevons le Cours 1 cette semaine. Nous introduisons deux concepts centraux : le conditionnement et l'indépendance. Nous étudions ensuite un résultat très utilisé : le théorème de Borel-Cantelli. Enfin, nous introduisons un autre concept incontournable : celui de variable aléatoire.
Meet the Instructors
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[SON] [AUDIO_VIDE] Donc,
c'est le cours d'aléatoire de l'École Polytechnique.
Nous allons traiter le problème d'indépendance.
Donc, le premier exercice, que j'appelle produit d'espaces de probabilité,
sert à montrer que l'on peut toujours créer des événements indépendants.
Voici l'énoncé.
Donc deux expériences aléatoires sont modélisées respectivement par deux
espaces de probabilité discrets, finis ou dénombrables (oméga 1,
P 1) et (oméga 2, P 2).
Ce que je dis peut s'étendre grâce à la théorie de la mesure.
L'exercice peut s'étendre grâce à la théorie de la mesure à des espaces de
probabilité quelconques.
Mais, dans le cadre présent, nous nous contenterons d'espaces discrets.
Première question, construire un espace de probabilité discret toujours,
(grand oméga, P), qui permet de réaliser simultanément
les deux expériences aléatoires de façon indépendante.
Deuxièmement, préciser l'espace de probabilité résultant,
dans le cas où (oméga 1, P 1) et (oméga 2,
P 2) sont uniformes, des espaces de probabilité uniformes.
Et donc, évidemment oméga 1 et oméga 2 doivent être finis dans ces cas-là.
Troisièmement, généraliser autant que possible.
Donc, l'idée c'est montrer comment, à partir du travail
que l'on a déjà fait pour faire un premier espace de probabilité oméga 1,
muni d'une mesure de probabilité P 1, et un deuxième espace de probabilité oméga 2,
muni d'une mesure de probabilité P 2, comment faire pour obtenir
les événements indépendants ayant trait à l'un et à l'autre espace, donc réaliser
les deux expériences aléatoires qui ont été modélisées de façon indépendante.
Donc, la solution, déjà le début de la solution, c'est de poser le problème.
Donc, comme l'énoncé l'indique, on parle de produit d'espace de probabilité,
on va choisir grand oméga comme étant le produit cartésien d'oméga 1 et d'oméga 2.
Alors, il s'agit de représenter dans grand oméga les événements
d'oméga 1 et les événements d'oméga 2.
Donc, nous représentons tout événement A 1 de oméga 1,
par le produit cartésien A 1 X oméga 2.
Et nous représentons tout événement A 2 de oméga 2,
par le produit cartésien oméga 1 X A 2.
C'est autrement dit,
pour parler d'un événement qui ne concerne que la première expérience aléatoire.
Donc, un événement A 1, c'est quelque chose qui ne concerne que
la première expérience aléatoire modélisée par oméga 1.
Eh bien, on dit, eh bien on va regarder un produit dans lequel on dit A 1 X oméga 2,
c'est-à-dire n'importe quoi dans le deuxième, et A 1 dans le premier.
Et vice versa aussi dans l'autre sens.
Pour faire parler de quelque chose qui a trait à la deuxième expérience aléatoire,
on va prendre oméga 1, c'est-à-dire n'importe quoi dans la première expérience
aléatoire, et A 2, donc l'événement qui nous intéresse dans A 2.
En termes savants, on utilise les injections canoniques.
A 1 inclu dans oméga 1, injecté dans A 1 X oméga 2, qui est inclu dans
grand oméga qui est égal au produit cartésien oméga 1 et oméga 2.
Et A 2 injecté dans oméga 1 X A 2.
Donc l'objectif, la question,
c'est que l'on veut construire une mesure de probabilité grand P sur grand oméga,
qui d'un côté respecte (oméga 1, P 1) et (oméga 2, P 2),
c'est-à-dire tel que pour tout événement A 1 de oméga 1 et A 2 de oméga 2,
on ait P (A 1 X oméga 2) doit être égal à P 1 (A
1) et P (oméga 1 X A 2) doit être égal à P 2 (A 2).
On dit lorsque celle-ci est vérifiée que
P 1 et P 2 sont les marginales de P sur oméga 1 et sur oméga 2.
Donc, cela c'est la même propriété de, d'être capable de
modéliser respectivement par oméga 1 et oméga 2, dans le nouvel espace oméga.
En plus, nous demandons que la mesure de probabilité P sur grand oméga
vérifie les propriétés d'indépendance.
Nous voulons que pour tous événements A 1 de oméga 1, et A 2 de oméga 2,
donc je vous rappelle que A 1 est représenté par A 1 X oméga 2, et A 2 par
oméga 1 X A 2, donc nous voulons que la probabilité de l'intersection (A 1 X
oméga 2) intersection avec (oméga 1 X A 2) soit égal à la probabilité de (A 1 X
oméga 2) multiplié par la probabilité de (oméga 1 X A 2).
Donc, c'est la propriété d'indépendance de deux événements,
la probabilité d'intersection, cela est égal au produit des probabilités.
Donc, voilà les deux conditions que l'on veut.
Ces deux conditions peuvent se traduire par une seule condition,
puisqu'on constate immédiatement que l'intersection de (A 1 X
oméga 2) et de (oméga 1 X A 2) c'est justement A 1 X A 2.
En définitive, on cherche une mesure de probabilité grand P sur grand oméga,
telle que la probabilité du produit cartésien A 1 X A 2 soit égale au produit
des probabilités P 1 (A 1) X P 2 (A 2) Donc,
on réécrit le fait que P 1 et P 2 étaient les marginales de grand P,
et cela pour événement A 1 de oméga 1, et événement A 2 de oméga 2.
Nous remarquons que cette formule donne les deux formules précédentes.
Par exemple, en prenant A 2 = grand oméga 2,
on retrouve le fait qu'effectivement P 1 est la marginale de grand P.
Donc, la question qui se pose, là on a défini les nécessités de
probabilités des produits cartésiens A 1 X A 2.
Le problème qui reste, c'est un problème d'extension.
Parce qu'il existe des événements de grand oméga qui ne sont pas de la forme
A 1 X A 2.
Et, il faut leur attribuer une probabilité de façon compatible avec cette formule.
Il y a peut-être une autre question qui serait de vérifier que
l'objet que l'on écrit grand P ( A 1 X A 2) est bien une mesure de probabilité,
mais cela c'est assez simple.
Nous allons le voir par le calcul que nous allons faire.
Mais déjà on peut tout de suite constater que les termes sont positifs,
et que la probabilité de grand oméga vaut 1.
Cela on peut le vérifier tout de suite.
Donc, ici nous sommes dans le cadre d'un espace de probabilité discret.
Donc, dans le cadre d'un espace de probabilité discret,
Les mesures de probabilités grand P,
s'identifient à la collection des mesures des probabilités des singletons.
donc à la collection grand P du singleton petit oméga,
pour oméga appartenant à grand oméga.
Très vite, on oublie les accolades autour du petit oméga,
mais nous allons aujourd'hui les garder,
pour être bien précis que c'est la probabilité d'un événement, d'un ensemble.
Donc, grand P s'identifie à la collection des grands P de petit oméga,
par la formule que la probabilité d'un événement grand A, c'est la somme,
sur tous les petits oméga qui appartiennent à grand A, des probabilités
du singleton petit oméga, et cela pour tout A, événement de grand oméga.
Donc, l'idée logique maintenant c'est de définir la probabilité produit grand P,
que l'on va noter P 1 tensoriel P 2, pour indiquer qu'il faut faire un peu plus que
juste faire des multiplications sur grand oméga, par le produit des densités si on
veut, donc par le fait que la probabilité du singleton, qui est cette fois-ci est un
couple (oméga 1, oméga 2), puisqu'on est sur l'espace produit, soit le produit de
la probabilité du singleton oméga 1, par la probabilité P 2 du singleton oméga 2.
Et cela, pour tout (oméga 1, oméga 2) dans grand oméga.
On retrouve une propriété produit qui est logique pour l'indépendance.
C'est un cas particulier de la formule de ce qu'il fallait démontrer pour
grand A 1 = le singleton petit oméga 1 et grand A 2 = le singleton petit oméga 2.
On vérifie aisément que l'on a bien le fait que la probabilité du produit A 1 XA
2, donc c'est la somme pour tous les petits oméga 1 et oméga 2 appartenant à
A 1 X A 2, des P 1 ( { oméga 1 } ) X P 2 ( { oméga 2 } ).
Donc, ensuite, eh bien, par les propriétés classiques des sommes,
c'est la somme sur oméga 1 appartenant à A 1 de P 1 ( { oméga 1 } ) fois
la somme sur oméga 2 fois A 2 des P 2 ( { oméga 2 } ).
Bien entendu, si les espaces sont finis, c'est juste les sommes classiques.
Si les espaces sont juste dénombrables, c'est une propriété des séries positives
que d'avoir le droit de faire des manipulations de ce type-là.
Donc, en définitive, on a regroupé des termes de façon à montrer que
P (A 1 X A 2), c'est égal à P 1 (A 1) X P 2 (A 2).
Soit la propriété à démontrer.
Et, donc les autres propriétés des mesures de probabilité
se déduisent immédiatement une fois qu'on a la collection des densités P de oméga.
Donc, en faisant comme cela, on définit bien une mesure de probabilité,
non seulement sur les A 1 X A 2, mais sur tous les événements de grand oméga.
Ici, je le rappelle, grand oméga étant un espace discret, cela sous-entend qu'on le
munit de la tribu ou de la sigma-algèbre de toutes ses parties, autrement dit,
que l'on s'autorise à mesurer tous les sous-ensembles de grand oméga.
La deuxième question,
c'était : que se passe-t-il lorsque P 1 et P 2 sont uniformes?
En ce cas-là, la probabilité des singletons petit oméga 1,
c'est 1 /Card (grand oméga 1).
Cela ne dépend pas du oméga 1 en question.
La probabilité des singletons petit oméga 2, c'est 1 / Card (grand oméga 2).
Cela ne dépend pas non plus du oméga 2 choisi.
Donc, P d'un singleton du produit,
c'est le produit de deux choses qui ne varient pas, donc P est uniforme,
puisque tous les singletons de grand oméga auront la même probabilité.
On peut préciser, on n'a même pas besoin de le faire,
que la probabilité d'un singleton (oméga 1, oméga 2), donc
on peut préciser que la probabilité du singleton (petit oméga 1, oméga 2), c'est
1 / (Card (oméga 1) X Card (oméga 2)), qui vaut évidemment Card (oméga 1 X oméga 2).
Mais, on n'a pas besoin de le préciser.
Il suffit juste de vérifier que chaque singleton a la même probabilité
pour conclure que la probabilité est uniforme.
Nous avons ainsi résolu la question 2.
La question 3 demandait les généralisations.
Aux notation près, qui sont un tout petit peu plus compliquées, on a une
généralisation immédiate, un nombre fini d'espaces de probabilité discrets.
Avec la même solution de prendre des espaces produits,
donc au lieu d'avoir deux espaces, s'il y a plusieurs espaces,
on prendra grand oméga comme étant oméga 1 X oméga 2 X oméga k, s'il y a k espaces.
Et on va prendre comme mesure de probabilité, celle qu'on obtient en
prenant le produit des probabilités des singletons des espaces initiaux pour
la probabilité d'un k-uplet petit oméga 1, de la collection du k-uplet,
donc le singleton de grand oméga, cela va être petit oméga 1, etc, oméga k.
La probabilité de cela, cela va être le produit des probabilités.
Je vais peut-être le noter sur la feuille.
Donc, on dispose de k espaces oméga 1.
[AUDIO_VIDE] k étant fini.
Donc, on va prendre grand oméga égal le produit cartésien.
C'est juste une question de notation.
Donc, les éléments petit oméga appartenant à oméga s'écrivent
comme étant un k-uplet
(oméga 1, ..., oméga k).
Et donc, évidemment, la probabilité du singleton oméga, c'est donc la probabilité
[AUDIO_VIDE] du vecteur, si on veut, oméga 1 jusqu'à oméga k.
On va définir cela comme étant le produit, le produit des
probabilités des singletons originels.
Donc, cela ne pose aucun problème de généralisation,
tant qu'on a un nombre fini d'espaces finis évidemment.
[AUDIO_VIDE]
Il y a un problème dès que, [AUDIO_VIDE] Donc,
il y a un problème si oméga est infini, non dénombrable.
[AUDIO_VIDE]
Ou pour des produits,
pour un nombre infini
ou s'il y a un nombre infini d'espaces, même dénombrables.
Donc, je rappelle,
[AUDIO_VIDE] Même si vous vous contentez de prendre { 0,
1 } puissance grand N, cela a le même cardinal que grand R.
Donc, dès que l'on veut définir, par exemple,
une suite de pile ou face infinie, on sort de ce cadre,
on est obligé d'utiliser le cadre de la théorie de la mesure.
De même que si au contraire,
il faut la théorie de la mesure pour construire la mesure de Lebesgue.
Si on veut définir une suite infinie de tirages à pile ou face,
on est obligé d'utiliser la théorie de la mesure.
De généraliser, donc, ces propriétés de produits que l'on vient de décrire dans un
cadre simple des espaces finis, et des produits finis d'espaces finis.
Voilà, donc comme je l'ai indiqué,
cette solution simple de prendre des produits des densités ne fonctionnent plus
au-delà du cadre de produits d'espaces finis, ou avec des espaces dénombrables.
Il faut utiliser des résultats d'extension plus généraux,
qui seront au cœur de la théorie de la mesure.
Nous avons ainsi résolu le troisièmement, et fini l'exercice.
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