[MUSIQUE] Bonjour, voici la séance 2 du cours 1. Cours 1, intitulé, le modèle probabiliste. Nous allons donc commencer à construire ce modèle probabiliste, dont je vous ai parlé déjà en introduction, et qui a été introduit en 1933 par Kolmogorov. Donc, comme je vous l'ai dit en introduction également, nous allons essayer de construire une théorie pour modéliser le hasard. Alors on va prendre un exemple type d'expérience liée au hasard, par exemple le lancer de dés, ou le jeu de pile ou face, et dans ces deux expériences, en fait, vous voyez que vous ne savez pas, quand vous lancez votre pièce, ou vous lancez votre dé, vous ne savez pas, a priori, sur quelle face la pièce va tomber, ou sur quelle face le dé va tomber. Donc, en fait, bien sûr, si on avait toute la connaissance de la viscosité de l'air, de la rugosité de la table sur laquelle la pièce ou le dé tombe, sur la manière dont vous avez envoyé votre pièce ou votre dé, vous pourriez, grâce aux règles de la mécanique classique, savoir sur quelle position votre pièce, ou votre dé, va tomber. Donc vous voyez que ce hasard, en fait, est une manière de cacher la méconnaissance qu'on a des conditions dans lesquelles se passe votre lancer de pièce ou de dé. Donc cette réflexion-là , en fait, va nous permettre déjà de définir, de manière théorique, ce que c'est qu'une expérience aléatoire, et d'introduire la notion d'événement aléatoire qui va être, donc, la première brique de notre modèle probabiliste. Donc ce qu'on va appeler une expérience aléatoire, c'est une expérience qui, reproduite dans des conditions identiques, peut conduire à plusieurs résultats possibles, et dont on ne peut prévoir le résultat par avance. Donc, typiquement, on a déjà parlé de lancer de pièce ou de dé. Donc qu'est-ce qu'on sait sur une expérience aléatoire, a priori, la seule chose qu'on peut, en général, décrire facilement, c'est l'ensemble de tous les résultats possibles de l'expérience. Et cet ensemble-là , on va l'appeler l'espace d'états, et traditionnellement il est noté, grand oméga. Un résultat possible de l'expérience, lui, va être noté, classiquement, petit oméga. Donc dans toute la suite quand on aura un espace, grand oméga, en fait il va représenter l'ensemble de tous les résultats possibles, donc, de l'expérience qu'on est en train de modéliser mathématiquement. Donc vous voyez que, par exemple, dans le jeu de pile ou face, donc, oméga c'est, pile ou face, les deux possibilités pour la pièce ; et dans la suite, en fait je vais associer, 0, à pile et 1 à face. Donc indistinctement je parlerai de ce modèle avec un espace d'états, pile face, ou un espace d'états (0, 1). Donc on peut maintenant sophistiquer les exemples, et on va prendre le lancer de dé. donc pour ce lancer de dé, eh bien il y a 6 six résultats possibles, qui sont les six faces du dé, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Si vous pensez à de la biologie et vous supposez que vous regardez le génotype d'un individu qui est construit sur un certain locus, si vous regardez les allèles possibles, eh bien vous avez peut-être vu en génétique que vous pouvez avoir trois possibilités, si vous avez deux allèles possibles sur un locus, donc, A et a, vous aurez trois génotypes possibles. Donc, dans ce cas-là , oméga est un ensemble à trois éléments. Bien sûr, si maintenant vous regardez, n individus, et que vous regardez les génotypes des, n individus, donc pour chaque individu vous aurez un tel espace de génotypes possibles, si vous avez, n individus, vous aurez, le produit cartésien, n fois, de cet espace-là . D'autres exemples qui vont vous donner des espaces d'états avec des structures mathématiques différentes, maintenant. Donc vous voyez, si vous voulez modéliser la situation où Roméo attend Juliette, qui lui a promis d'arriver entre minuit et une heure, donc si on regarde le temps d'attente de Roméo, ça va être un espace qui maintenant est un espace continu, qui est l'intervalle [0,1]. Si donc vous voulez étudier la durée de vie d'une bactérie, eh bien, dans ce cas-là , votre espace, ça va être la durée de vie de la bactérie, ça pourra être n'importe quel nombre réel, strictement positif, donc vous avez une structure, ici, qui est l'intervalle non borné [0, plus l'infini[. Cet espace d'états-là peut être également aussi considéré si vous regardez toute autre forme de durée de vie, par exemple, la durée d'une communication téléphonique, là encore l'espace d'états de cette durée de communication, sera l'espace [0, plus l'infini[. Un autre, une autre situation de jeux de hasard que vous connaissez peut-être bien, c'est le jeu de fléchettes, où là , la fléchette va arriver sur une cible circulaire, bon je vous ai mis comme exemple, 30 centimètres de diamètre, mais peu importe, mais dans ce cas-là , on va paramétrer l'impact de la fléchette sur la cible, par ses coordonnées cartésiennes, donc un couple de valeurs réelles (x, y) tel que le rayon, racine de x2 + y2, soit plus petit que 15. Donc vous voyez que là , c'est un sous ensemble d'un espace de dimension 2. Et, exemple plus sophistiqué, si on veut regarder le cours d'un actif financier, sur un certain intervalle de temps, [T1, T2], eh bien en fait, ça va être, cet actif va évoluer donc au cours du temps, de manière continue, et donc l'espace d'états, dans ce cas-là , ça sera l'ensemble des fonctions continues, de [T1, T2] à valeur dans R plus. Donc, vous voyez, sur tous ces exemples, on est passé d'espace d'états, avec la structure la plus simple possible, à savoir, deux éléments, ensuite on a regardé des exemples avec un nombre fini d'éléments pour cet espace d'états, ensuite on a vu un espace d'états qui était un intervalle, fermé borné, de R, puis des intervalles non bornés de R, ensuite un sous ensemble de R2, puis un ensemble, un espace fonctionnel, ici, l'ensemble des fonctions continues. Donc du point de vue mathématique, topologique, ces espaces d'états n'ont pas la même structure, et néanmoins c'est pour ces espaces-là qu'on veut construire une théorie commune. Donc cette théorie va nécessiter beaucoup d'abstractions, puisque c'est à ce prix qu'on va pouvoir englober toutes ces situations. Alors, deuxième étape, on a donc maintenant notre expérience aléatoire, donc dans l'expérience qui est sous vos yeux, l'exemple c'est le jeu de fléchettes, et on s'intéresse à la chance de tomber, par exemple, sur une des couronnes, ou dans un secteur de la cible. Donc quelle expérience pouvons-nous, quelle information pardon, pouvons-nous tirer de l'expérience? Donc vous voyez que, si on envoie sa fléchette, on va être capable de dire si elle tombe dans le cercle rouge, ou si elle tombe sur un des secteurs angulaires noirs, ou sur l'extérieur de la cible, mais à partir de ce lancer de fléchettes, vous ne pourrez jamais donner la température de la pièce. Donc il y a une différence entre la description de l'information qui est issue de notre expérience, ici le lancer de fléchettes, et d'autres informations qui peuvent être liées à l'environnement du jeu. Donc on voudrait modéliser cette information, justement, que l'on peut tirer de l'expérience aléatoire. Donc cette information va être modélisée par la notion d'événement aléatoire ; donc maintenant on va fixer une expérience, et on va parler d'événement aléatoire associé à cette expérience. Donc un événement aléatoire, par définition, ça sera un sous ensemble de l'ensemble de tous les états possibles de l'expérience, et dont on va pouvoir dire, au vu de l'expérience, s'il est réalisé ou non. Donc, bien garder en tête qu'un événement aléatoire c'est une partie de oméga. Nous allons voir quelques exemples d'événements aléatoires. Donc dans l'expérience aléatoire la plus simple qui soit, à savoir un lancer d'une pièce dans un jeu de pile ou face, ou zéro est associé à pile, et 1 à face, on peut s'intéresser à l'information, la pièce tombe sur pile. Donc c'est une propriété concrète, mais qu'on va traduire, en fait, par le résultat, ou les résultats de l'expérience qui correspondent à cette propriété. Et donc ici, la pièce tombe sur pile, ça veut dire qu'on choisit pile, et la partie de oméga qui représente pile, c'est le singleton, zéro. Si maintenant nous lançons, n fois, la pièce, l'espace d'états change, puisque le résultat d'une expérience aléatoire ça va être la suite des résultats des, n lancers de pièce, donc le résultat, petit oméga va être, un, n-uplet, oméga 1, oméga 2, oméga n, où chaque valeur, oméga i, vaut pile ou face, ou, zéro ou 1. Donc ici l'espace d'états est égal au produit cartésien de (0, 1) n fois. Si maintenant on veut décrire, par un événement aléatoire, la propriété, le nombre de face est supérieur au nombre de pile, nous allons nous rappeler que, face est modélisé par 1, donc le nombre de face, dans une expérience, petit oméga, est égal exactement à la somme de, i égale 1 à n, de oméga i. Ce nombre de face sera donc supérieur au nombre de pile si, cette somme des oméga i est supérieure ou égale à n sur 2 qui est la moitié du nombre de lancers de pièce. Donc l'événement aléatoire que nous avons ici est, A égale l'ensemble des, petit oméga de, (0, 1) puissance n, tel que la, somme de i égale 1 à n, des oméga i, est supérieure ou égale à n sur 2. Troisième exemple, dans l'exemple qui concernait l'attente de Roméo, si l'on souhaite modéliser le fait que Juliette se fasse attendre moins d'un quart d'heure, l'événement aléatoire qui va correspondre sera donc la partie de oméga qui, dans ce cas-là , je vous rappelle était (0, 1), la partie, A égale (O, 1/4). Donc sous intervalle de (0, 1). Donc vous voyez que ces propriétés concrètes, liées à l'expérience, peuvent se traduire par un sous ensemble de oméga. Donc l'événement aléatoire va être représenté par l'ensemble des résultats de l'expérience pour lequel il est réalisé. Comme nous l'avons vu, à chacune de ces propriétés concrètes nous pouvons donc associer un sous ensemble de l'espace grand oméga, et nous allons pouvoir traduire des propriétés de notre expérience, à travers des opérations ensemblistes sur ces parties de oméga. Et ça va être un point très important dans la modélisation probabiliste. Donc considérons deux événements aléatoires, A et B, si je veux dire que A n'est pas réalisé par mon expérience, c'est-à -dire que le résultat de mon expérience petit oméga, n'est pas dans A, dans ce cas il sera dans le complémentaire de A, qu'on note A complémentaire. Donc l'information, A n'est pas réalisé, va être traduite par l'événement aléatoire, A complémentaire. Si maintenant je regarde l'information A et B sont réalisés, en fait je dis ainsi que le résultat, petit oméga, de mon expérience, va satisfaire la propriété, A et la propriété B, eh bien, dans ce cas, le résultat de cette expérience va être dans l'intersection des événements aléatoires correspondant, et donc va être dans A inter B. Si nous souhaitons décrire le fait que le résultat de l'expérience, oméga, réalise soit la propriété A soit la propriété B, nous allons en fait associer la partie de grand oméga qui consiste en, A union B, donc oméga sera dans, A union B, s'il est dans A ou dans B. Si maintenant je souhaite décrire cette assertion, à savoir que quand le résultat de l'expérience réalise A, alors il réalise B, nous allons en fait traduire cette information là par le fait que l'événement aléatoire A est inclus dans l'événement aléatoire B. une propriété qui va être importante sur ces événements aléatoires est la propriété dite d'incompatibilité ; donc qui est une propriété ensembliste, à savoir que, si vous avez deux sous ensembles de oméga, A et B, eh bien on dira que ces événements aléatoires correspondant sont incompatibles, si et seulement si, A inter B est égal au vide, donc on a une intersection vide pour ces ensembles qui sont disjoints. L'incompatibilité des propriétés, c'est le fait que les événements aléatoires sont disjoints. Je vais vous donner maintenant deux exemples particuliers d'événements aléatoires, qui seront toujours dans une modélisation probabiliste. Donc nous avons déjà vu l'espace d'état, grand oméga, ce qu'on appelle aussi l'événement certain ; puisqu'on sait, a priori, que tous les résultats de l'expérience prennent leur valeur dans grand oméga, et si on veut dire qu'une propriété n'est jamais vraie, au vu de l'expérience, en fait on va traduire cela par le complémentaire de oméga, à savoir l'événement impossible, ou le vide. Donc en fait le premier grand pas de développement de la théorie probabiliste a été réalisé grâce à la théorie des ensembles qui nous permet de décrire un certain nombre de propriétés, à travers ces opérations ensemblistes. Donc nous allons noter, A ronde, l'ensemble de tous les événements aléatoires. Donc attention, l'événement aléatoire c'est une partie de oméga, donc A ronde, c'est un ensemble de parties de oméga. Et, A ronde, va donc modéliser toute l'information qu'on peut obtenir à partir des résultats de l'expérience. Et c'est sur cet ensemble de parties de oméga, que nous allons pouvoir construire notre théorie probabiliste. Alors, bien sûr, un cas particulier qui vient à l'esprit, immédiatement, c'est que, A ronde, soit égal à l'ensemble de toutes les parties de oméga. Donc ça peut être le cas, mais ça n'est pas toujours possible, et nous verrons, au fil du cours, des situations de plus en plus compliquées, dans certaines situations, ça ne sera pas opportun de prendre pour, A ronde, l'ensemble de toutes les parties de oméga, puisque la théorie probabiliste, associée à cet exemple-là , sera particulièrement pauvre. Alors, vu ce que nous avons vu précédemment sur les liens entre les opérations ensemblistes et les propriétés de l'expérience aléatoire, une remarque fondamentale pour que la modélisation soit cohérente avec l'intuition, est que, A ronde, doit être stable par les opérations ensemblistes. En effet, nous avons vu, avant, que si nous avons deux événements aléatoires, A et B, qui correspondent à deux propriétés liées à l'expérience aléatoire, nous aimerions savoir si, A et b est réalisé, ou, A ou B, est réalisé, ou si A n'est pas réalisé. Et nous avons vu que cela correspondait aux opérations ensemblistes, A inter B, A union B, ou A complétaire. Donc nous allons demander, nécessairement que A inter B est dans, A ronde, A union B, est dans, A ronde, et A complémentaire est dans, A ronde. Comme premier corollaire, comme nous savons, que par définition l'espace d'état est dans, A ronde, c'est le premier ensemble que nous connaissons à partir de notre expérience aléatoire, et bien son complémentaire, à savoir, le vide, va aussi être dans, A ronde. Dans la prochaine séance, nous allons continuer à construire ce modèle probabiliste, et essayer de quantifier la chance que l'on peut avoir, a priori, quand on fait une expérience aléatoire, de réaliser un des événements de, A ronde. Par exemple, dans le jeu de fléchettes, si on fixe le disque central rouge, quelle est la chance de tomber dans le disque central rouge, si l'on suppose que l'on a une flèche, par exemple, bien équilibrée.
