[AUDIO_VIDE] Dans la partie 2 de cette séance 3, nous allons donner quelques compléments sur la variance d'une variable aléatoire et définir la notion de moment de manière plus générale. Tout d'abord, je voudrais insister sur le fait que le calcul de la moyenne et de la variance d'une variable aléatoire permet d'avoir une idée plus précise de sa loi et peut-être aussi d'empêcher d'avoir quelques idées fausses au vu de la loi. Et nous allons développer ceci sur l'exemple du jeu de loto. Supposons qu'on ait un jeu de loto, que le joueur peut cocher six numéros et que les six numéros gagnants sont déterminés par tirage au sort. Donc en fonction du nombre de numéros gagnants sur la grille, vous savez que l'on peut gagner, recevoir un gain différent. On suppose que l'on mise pour jouer une valeur de 2 euros et on reçoit un gain qui est donc fonction du nombre de numéros gagnants de la grille. Celui-ci est aléatoire et on va le modéliser par la variable aléatoire N et j'appelle g (N) le gain qui est fonction de N. Vous voyez que la grille vous dit que si vous avez 3 numéros gagnants sur la grille, vous allez gagner 11 euros et que la probabilité d'avoir 3 numéros gagnants, c'est 7,8 10 moins 2. Si vous avez 4 numéros gagnants, vous allez gagner 94 euros et que la probabilité d'avoir 4 numéros gagnants, c'est 9,7 10 moins 4, la probabilité d'avoir 5 numéros gagnants, c'est 7,8 10 moins 5 et la probabilité d'avoir 6 numéros gagnants, c'est 7,2 10 moins 8. Bien sûr, si vous faites les 6 numéros gagnants, vous allez une somme qui paraît astronomique. C'est ça qui fait rêver les gens, c'est de rêver à ce gain maximum que vous pouvez avoir au jeu de loto, mais vous voyez que vous pouvez l'avoir, en fait, avec une probabilité très très petite. Et c'est très difficile sur cette grille. Cette grille décrit, en fait, la loi de N. N ici peut prendre les valeurs 3, 4, 5, 6, en tout cas, les valeurs qui lui donnent des numéros gagnants, avec les probabilités correspondantes. Calculons donc, pour savoir si ça vaut le coup de jouer au loto, calculons l'espérance et la variance sur ces données-là . Je vous rappelle les formules de calcul de l'espérance et je reviens sur la grille. Vous avez les valeurs de gain avec les probabilités respectives qui correspondent à chacun de ces événements de gain. L'espérance est égale à la somme sur n de 3 à 6 de g (N) P du numéro gagnant qui vaut n. Je remplace les données par leurs valeurs, je vous laisse faire le calcul et on trouve finalement 1,16 euros. Or, je vous rappelle que pour jouer au loto, vous avez joué une mise de 2 euros. Donc votre gain moyen va être 1,16 moins 2, c'est-à -dire une valeur négative qui est moins 0.84. Donc vous voyez que même si vous avez dans la donnée de votre loi une extrêmement grande valeur, celle-ci est réalisée avec une si petite probabilité, qu'en fait en moyenne, vous avez toutes les chances, en fait en moyenne, votre gain est négatif. Donc le jeu est défavorable aux joueurs, même si on a une impression inverse en regardant la loi. Alors comment on peut quantifier justement cette erreur d'appréciation? On peut la quantifier à travers l'écart type de notre variable gain G, donc je vous laisse à titre d'exercice calculer l'écart type. Vous reprendrez les règles de calcul de la séance précédente, et on trouve que l'écart type vaut 572. Vous voyez qu'il est extrêmement grand. La moyenne est de l'ordre de l'unité et l'écart type est de l'ordre de 500, donc ce n'est pas du tout dans la même échelle. Cet écart type très grand veut dire qu'on peut avoir de très très grandes valeurs, mais avec une probabilité extrêmement rare. Alors maintenant, je reviens à des remarques d'ordre un peu plus général sur la variance et en particulier, une propriété que nous n'avons pas encore vue, sur laquelle je veux insister, qui est la suivante. On suppose que X est de carré intégrable. Dans ce cas-là , on a vu que la variance était bien finie et définie comme variance de X égal l'espérance de X moins E (X) au carré. Comme c'est l'espérance du carré d'une variable aléatoire, qui est toujours positive, eh bien, c'est positif. Donc la variance est positive et par ailleurs, nous avons vu en développant par la formule du binôme X moins E (X) au carré que l'on pouvait également écrire la variance sous la forme espérance du carré de X moins carré de l'espérance de X. Je vous rappelle, je vous ai dit rappelez-vous cette formule mnémotechnique, c'est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne. Nous en déduisons que cette quantité-là est positive et nous avons ainsi montré que pour toute variable X de carré intégrable, l'espérance du carré de X est toujours plus petit que l'espérance de X 2. Petit exercice. Je vous laisse chercher à titre d'exercice, un contre-exemple où, vous pouvez fabriquer ça de manière extrêmement simple, où vous verrez qu'ici, on n'a pas égalité en général. Alors, je voudrais finir cette petite séance par la définition de ce qu'on appelle un moment d'ordre p, qui est une généralisation de ce qu'on vient de voir pour des variables aléatoires de carré intégrable. On a défini X intégrable et l'espace L 1 associé. X intégrable, je vous rappelle, c'était équivalent à dire que l'espérance de valeur absolue de X est finie. On a dit que X était de carré intégrable, en disant que, en caractérisant ceci par le fait que espérance de X 2 est finie et on a noté L 2 l'espace associé, eh bien, de la même façon, pour tout p supérieur ou égal à 1, nous pourrons dire que la variable aléatoire X admet un moment d'ordre p, si l'espérance de valeur absolue de X puissance p est finie. Alors une remarque. Je ne vais pas introduire ici de notations supplémentaires, mais on peut associer, de la même façon, un espace L p des variables aléatoires qui admettent un moment d'ordre p. Alors, nous avons vu que si X était de carré intégrable, alors X est intégrable. Je vous ai remis ici une démonstration simple de cette preuve, en vous signalant que ceci se montre facilement par l'inégalité valeur absolue de X plus petit que 1 plus X 2. Si on a cette inégalité-là , bien sûr, dès lors que X 2 est intégrable, l'espérance de valeur absolue de X sera majorée par l'espérance, donc par 1, l'espérance de 1 qui 1 plus l'espérance de X 2 et sera donc finie. Alors, pourquoi cette inégalité-là ? Eh bien, on montre que X (oméga) s'écrit X (oméga) indicatrice de X (oméga) plus petit que 1 plus X (oméga) indicatrice des oméga tels que valeur absolue de X (oméga) est plus grand que 1. Donc ce que je suis en train de dire, c'est que soit valeur absolue de X (oméga) est plus petit que 1, soit valeur absolue de X (oméga) est plus grand que 1. Si valeur absolue de X (oméga) est plus petit que 1, en particulier, X (oméga) est plus petit que 1 et si valeur absolue de X (oméga) est plus grand que 1, eh bien, X (oméga) est plus petit que X 2 (oméga). Alors, j'ai écrit les choses ici avec X (oméga), mais vous pouvez les écrire exactement de la même façon avec valeur absolue de X (oméga) partout. Et une fois que vous avez écrit ça, c'est fini. Cette indicatrice, vous pouvez la majorer par 1, et celle-ci également et vous avez bien votre inégalité. Retenez ce genre de preuve qui utilise des indicatrices d'événements, c'est extrêmement utilisé. Nous reverrons ce type d'argument dans la suite du cours. Alors, une remarque. En utilisant une inégalité de même type, que je vous laisse également faire à titre d'exercice, on peut montrer que si on a deux entiers, p et q plus grands que 1 ou même deux nombres réels p et q plus grands que 1, tels que q est plus petit que p, eh bien, si X admet un moment d'ordre p, alors X admettra un moment d'ordre q. Donc on a une généralisation de la propriété que nous avons indiquée ici.
