Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Séance 3 (2/3) : VARIABLES ALÉATOIRES DE LOIS EXPONENTIELLE OU GAMMA3
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Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1
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VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES (1/3)
Le Cours 3, qui s'étend sur trois semaines, est consacré aux variables aléatoires qui prennent leurs valeurs dans les réels. Une nouvelle rubrique fait son apparition : « Méthodes de simulations et expériences numériques interactives ». Chaque séance du type « Illustration & expérimentation : ... » est accompagnée d'une expérience numérique interactive que vous pouvez manipuler (« A vous de jouer ! »).
Meet the Instructors
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[SON] [AUDIO_VIDE] Étudions maintenant
d'autres exemples de loi usuelle, pour des variables aléatoires à valeurs réelles.
Premièrement, ce que nous allons appeler les variables aléatoires
exponentielles ou de loi exponentielle.
Donc, nous dirons, nous allons introduire un paramètre lambda, strictement positif,
et, un paramètre réel donc, et nous dirons que X est une variable aléatoire
de loi exponentielle, de paramètre lambda, si X de Oméga est égal à R+,
c'est-à-dire X peut prendre toutes valeurs de R+, donc des réels positifs,
et la loi de X va admettre une densité qui sera définie ainsi,
f de X va être nul pour X négatif, on a dit que X ne prenait que des valeurs
positives et f de X égal lambda e puissance moins lambda X, sinon.
Alors, je vous rappelle qu'il y a un moyen de vérifier, donc,
que f est bien une densité de probabilité.
Premièrement, f doit être positif, ce qui est bien évidemment le cas ici,
et deuxièmement, l'intégrale de f sur tout R+ doit être égale à 1,
je vous laisse vérifier que cette fonction-là, si vous l'intégrez entre
moins l'infini et plus l'infini, c'est-à-dire entre 0 et plus l'infini,
puisque f est nul pour les réels négatifs, donc l'intégrale, de 0 à plus l'infini,
de lambda e puissance moins lambda X de X est égale à 1.
Bien.
Alors, on notera E ronde indice lambda, comme ça cette loi exponentielle, donc,
vous voyez, vous avez une famille de lois exponentielles,
qui sont paramétrées par ce nombre réel, strictement positif,
lambda, qui intervient ici dans la définition de la densité.
Alors, ces variables aléatoires là vont modéliser assez spécifiquement toutes
les durées de vie, durée de vie, temps d'attente entre des événements,
et elles jouent un rôle absolument fondamental dans les applications.
Donc, je vous ai donné quelques exemples,
modélisation de la durée de vie d'une bactérie, la durée d'une conversation
téléphonique, le temps qui s'écoule entre 2 tremblements de terre,
entre 2 crises financières, entre 2 événements spécifiques, voilà.
Donc, gardez en tête,
ces exemples d'utilisation des variables aléatoires de loi exponentielle.
Alors, ces lois-là ont une propriété spécifique qu'on
appelle la propriété de non-vieillissement et qui se traduit ainsi, donc,
vous prenez 2 réels t et s, strictement positifs,
et ce qu'on va montrer, c'est que la probabilité que X soit plus grand
que t + s conditionnellement au fait que X est plus grand t,
est égale à la probabilité d'avoir X est plus grand que s.
Ça veut dire quoi ça, je vous rappelle que X, c'est essentiellement une durée de vie,
ce que vous êtes en train de dire, c'est que si vous avez déjà l'information
que votre durée de vie est plus grande que t, eh bien,
quand vous regardez la probabilité que X soit plus grand que t + s, en fait,
c'est exactement comme si vous regardiez ce qu'il se passait à partir du temps t,
et vous dites c'est exactement la probabilité que X soit plus grand que s.
Le fait d'avoir vieilli, jusqu'au temps t, n'influe pas sur la probabilité
de vivre un temps s après avoir déjà vécu un temps t.
Donc, c'est vraiment du non-vieillissement.
Alors, je vous parlais tout à l'heure d'une durée de vie d'une bactérie,
bien sûr de prendre une telle loi pour modéliser une durée de vie d'individus,
d'une population, c'est une hypothèse biologique forte, puisqu'en général,
à quelques exceptions près, les espèces vieillissent.
Néanmoins, on va voir que ce sont des lois qui sont extrêmement utiles
dans la modélisation.
Dans l'exemple que je vous ai mis ici, qui est lié à des problèmes de radioactivité,
c'est assez naturel de modéliser les durées de vie d'atomes,
par des lois exponentielles, là,
la propriété de non-vieillissement est plus facilement réalisée.
Montrons donc que cette propriété qui est assez immédiate, donc,
ça va nous faire réviser les probabilités conditionnelles.
Donc, on veut montrer que la probabilité de X plus grand
que t + s, sachant X plus grand que t, pour t,
s des réels,est égal à la probabilité d'avoir X plus grand que s.
Alors, que vaut cette probabilité conditionnelle, par définition,
elle est égale à probabilité d'avoir X plus grand que t + s,
X plus grand que t, divisée par probabilité d'avoir X plus grand que t.
Mais nous pouvons remarquer que l'événement X plus grand que t + s,
est inclu dans l'événement X plus grand que t.
En effet, nous avons supposé que s est positive, donc si X est plus grand que t +
s, si X de Oméga est plus grand que t + s, il sera plus grand que t.
Donc, ici, notre intersection
qui intervient dans le numérateur, des événements X plus grand que t + s,
et X plus grand que t, et en fait, égale à X plus grand que t + s.
Et donc, divisé par probabilité de X plus grand que t.
Il nous reste donc à calculer cette probabilité.
Alors, que vaut la probabilité de X plus grand que t?
Eh bien, par définition de la densité, ça n'est rien d'autre que l'intégrale de t à
plus l'infini, de lambda e puissance moins lambda x dx.
Or, il est facile de voir qu'une primitive de la fonction lambda e puissance moins
lambda x, c'est égale à moins e puissance lambda x, donc ceci est égal à
moins e puissance moins lambda x, pris entre t et plus l'infini,
et vous voyez immédiatement que ça vaut e puissance moins lambda t.
Bien.
Donc, si je reviens au calcul, je vais le mettre en vert pour qu'on le voit bien,
de ma probabilité conditionnelle, eh bien,
cette probabilité conditionnelle vaut probabilité de X plus grand que t + s,
donc, e puissance moins lambda facteur de t + s,
divisé par e puissance moins lambda t qui nous fait bien e puissance
moins lambda s et ça, c'est la probabilité d'avoir X plus grand que s.
Et donc, j'ai bien montré l'assertion que je voulais démontrer.
Alors, en fait,
cette propriété de non-vieillissement est une propriété caractéristique des lois
exponentielles, c'est-à-dire que les seules lois de variables aléatoires sur R+
qui vérifient cette propriété-là, sont les lois exponentielles.
Donc, pour le montrer, introduisons la fonction rhô de t, qui est définie pour
tout t dans R+, et qui à t associe la probabilité d'avoir X plus grand que t,
et vous voyez que la propriété de non-vieillissement va s'écrire que
rhô de (t + s) est égale à rhô de t, rhô de s.
Vous pouvez reprendre ce que j'ai écrit après manuscritement pour vous en assurer.
Donc, vous avez une propriété fonctionnelle,
je pense que vous avez déjà tous rencontré cette propriété-là.
Alors, il y a plusieurs manières de résoudre ceci, une remarque,
rhô est une fonction monotone, elle est décroissante en t,
si t croît, vous voyez, que ces probabilités-là décroissent, en fait,
ça suffit avec cette égalité fonctionnelle pour montrer ce que l'on veut,
c'est-à-dire que rhô est une fonction exponentielle de cette forme-ci.
Bon, pour faire simple ici, montrons ce qu'il se passe si on suppose
que rhô est dérivable et dérivons cette égalité ici,
dérivons la en s et regardons ce qu'il se passe en s égale 0.
Donc, si vous dérivez en s, en prenant s égale 0, vous allez avoir rhô prime de t
à gauche et à droite vous allez avoir rhô de t fois rhô prime de 0.
Et donc, vous voyez qu'on obtient rhô prime de t égale moins rhô de t,
fois, un certain paramètre qui est moins rhô prime de 0.
Donc, ce paramètre je l'appelle lambda.
Donc, rhô prime de t égale moins lambda rhô de t, vous caractérise le fait
que rhô de t est égale à exponentielle moins lambda t, ce qu'on voulait obtenir.
Et par ailleurs, puisqu'on a remarqué que la fonction rhô était décroissante,
rhô prime est négative donc moins rhô prime est bien un paramètre positif.
Je vous rappelle qu'on a vu également que la densité est obtenue comme dérivée
de la fonction de répartition et ça vous donne ce lien entre densité
et la fonction rhô de t.
Bien. Donc, c'est une propriété caractéristique.
Alors, si on veut simuler une variable aléatoire de loi exponentielle,
on va revenir au théorème que nous avons vu dans la partie 1, de cette séance,
et qui vous a montré que si on connaît l'inverse, ou l'inverse généralisé de la
fonction de répartition d'une variable aléatoire, on peut simuler cette variable
aléatoire à partir d'une loi uniforme, donc il suffit ici de voir
ce que vaut l'inverse de la fonction de répartition de la loi exponentielle.
Alors, il est facile de montrer que la fonction de répartition donc,
qui est intégrale de 0 à x, de lambda à la puissance moins lambda t dt
vaut 1 moins e puissance moins lambda x, et ce pour tout x positif.
Et je vous laisse voir de manière immédiate, que cette fonction-là
est inversible et admet un inverse pour tout u dans 0, 1, ouvert en 1,
qui est égal à F (- 1) de u égale moins (1 sur lambda) log de (1- u).
Vous écrivez F de X égale u, avec F de X ayant cette valeur-là, et
cela vous permettra d'écrire que X, c'est égale à moins (1- lambda) log de (1- u).
Bien sûr, ce nombre-là n'a pas de sens si u = 1, ln (0) n'est,
je vous le rappelle, pas défini.
Donc, vous voyez que pour simuler une loi exponentielle,
on va simuler une loi uniforme grand U, et a priori, on va calculer- (1 /
lambda) * ln (1- u), et on pourra, grâce à des valeurs générées par l'ordinateur,
qui vous donne des valeurs de grand U (oméga), obtenir des valeurs de
la loi exponentielle, en une expérience petit oméga.
Alors, exercice, vous pourrez montrer que si grand U admet une loi uniforme sur [0,
1[, il en est de même pour 1- u.
Donc simuler u ou 1- u, c'est exactement la même chose, du point de vue de la loi.
Donc, il suffit en fait de simuler- (1 / lambda) * ln (grand U),
pour U, une loi uniforme sur 0.
Alors, nous avons d'autres lois qui sont aussi définies à partir des
fonctions exponentielles, qui sont ce qu'on appelle les lois gamma,
qui elles vont être paramétrées par deux nombres réels, bêta et alpha.
Et là aussi, ce sont des lois qui vont décrire des durées de vies, ou qui vont
charger uniquement R +, et là j'anticipe un petit peu sur un cours ultérieur.
Mais, on pourra les obtenir comme sommes
de variables aléatoires de lois exponentielles, qui sont indépendantes.
J'anticipe un peu, mais on a déjà vu des variables indépendantes,
dans les cas des lois discrètes.
Alors, comment allons nous définir une loi gamma?
C'est un petit peu plus compliqué.
Donc, on va supposer que son support est R +, et que sa loi admet une densité,
qui est donc nulle pour x négatif, et qui vaut cette quantité,
donc une constante, je vais revenir dessus, * bêta puissance alpha * X
puissance (alpha- 1) * e puissance (- bêta * x), pour x positif.
Alors, je vous rappelle qu'une densité doit être d'intégrale 1.
Donc, on doit avoir que l'intégrale de 0 à plus l'infini de cette fonction-là,
qui est égale à 1.
Ce qui vous donne nécessairement que cette constante gamma (alpha)
est égale à l'intégrale de cette quantité-là.
Alors, étudions ce que vaut l'intégrale de cette quantité-là,
c'est-à-dire l'intégrale de 0 à plus
l'infini de bêta (alpha) * x puissance
(alpha- 1) * e puissance (- bêta * x) d x.
Et montrons qu'en fait, elle ne dépend pas de bêta.
Pour ce faire, nous allons poser y = bêta * x, et faire un changement de variable.
Donc, allons-y, donc bien sûr x va être égal à y / bêta.
Donc, nous avons intégrale de 0 à plus l'infini de bêta puissance alpha *
(y / bêta) puissance (alpha- 1) * e puissance
(- y) et d x vaut (d y) / bêta.
Donc, vous voyez que les bêta se simplifient, et finalement,
on trouve l'intégrale de 0 à plus l'infini
de y puissance (alpha- 1) * e puissance (- y) d y.
Cette quantité-là ne dépend que de alpha.
Elle est bien connue des analystes,
et c'est ce qu'on appelle la fonction gamma (alpha).
Donc vous voyez qu'en particulier, si alpha est positif,
cette intégrale-là est bien définie.
Donc, au voisinage de plus l'infini,
vous avez e (- y) qui va décroître très fortement,
et faire que la fonction y (alpha- 1) * e puissance (- y) est intégrable.
Et au voisinage de 0, e puissance (- y) vaut 1.
En revanche, c'est la fonction y puissance (alpha- 1) qui pose problème.
Donc, cette fonction est de la forme 1 sur y puissance 1 moins alpha,
et on sait qu'elle va être intégrable si l'exposant est plus petit que 1,
ce qui est vrai dès que alpha est strictement positif.
Donc, cette fonction est intégrable en 0,
je le répète car alpha est supposé strictement positif.
Donc, on peut bien définir gamma (alpha), pour tous ces alpha strictement positifs.
Donc, nous reviendrons sur ces lois-là, et nous ferons quelques calculs,
et vous en verrez en exercice pour les manipuler un peu.
Je vous ai mis ici un petit graphe qui vous montre la forme de la densité
en fonction des paramètres bêta et alpha,
puisqu'on peut jouer sur ces deux paramètres.
Donc, vous avez un certain nombre ici de valeurs de alpha et bêta,
et vous voyez que, suivant ces valeurs, la loi va charger
plus ou moins certains intervalles de R +, sachant que pour,
ici les paramètres correspondant aux courbes bleues par exemple ou vertes,
vous allez charger beaucoup les réels qui sont petits, compris entre 0 et 5.
Alors, par exemple pour alpha = 8 et bêta = 0,6,
vous allez charger des réels qui sont plutôt compris entre 5 et 25.
Voilà.
Donc, cela vous donne, jouer sur les paramètres vous donne plus de souplesse
dans la modélisation pour décrire des variables différentes.
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