Alors, ces variables aléatoires là vont modéliser assez spécifiquement toutes
les durées de vie, durée de vie, temps d'attente entre des événements,
et elles jouent un rôle absolument fondamental dans les applications.
Donc, je vous ai donné quelques exemples,
modélisation de la durée de vie d'une bactérie, la durée d'une conversation
téléphonique, le temps qui s'écoule entre 2 tremblements de terre,
entre 2 crises financières, entre 2 événements spécifiques, voilà.
Donc, gardez en tête,
ces exemples d'utilisation des variables aléatoires de loi exponentielle.
Alors, ces lois-là ont une propriété spécifique qu'on
appelle la propriété de non-vieillissement et qui se traduit ainsi, donc,
vous prenez 2 réels t et s, strictement positifs,
et ce qu'on va montrer, c'est que la probabilité que X soit plus grand
que t + s conditionnellement au fait que X est plus grand t,
est égale à la probabilité d'avoir X est plus grand que s.
Ça veut dire quoi ça, je vous rappelle que X, c'est essentiellement une durée de vie,
ce que vous êtes en train de dire, c'est que si vous avez déjà l'information
que votre durée de vie est plus grande que t, eh bien,
quand vous regardez la probabilité que X soit plus grand que t + s, en fait,
c'est exactement comme si vous regardiez ce qu'il se passait à partir du temps t,
et vous dites c'est exactement la probabilité que X soit plus grand que s.
Le fait d'avoir vieilli, jusqu'au temps t, n'influe pas sur la probabilité
de vivre un temps s après avoir déjà vécu un temps t.
Donc, c'est vraiment du non-vieillissement.
Alors, je vous parlais tout à l'heure d'une durée de vie d'une bactérie,
bien sûr de prendre une telle loi pour modéliser une durée de vie d'individus,
d'une population, c'est une hypothèse biologique forte, puisqu'en général,
à quelques exceptions près, les espèces vieillissent.
Néanmoins, on va voir que ce sont des lois qui sont extrêmement utiles
dans la modélisation.
Dans l'exemple que je vous ai mis ici, qui est lié à des problèmes de radioactivité,
c'est assez naturel de modéliser les durées de vie d'atomes,
par des lois exponentielles, là,
la propriété de non-vieillissement est plus facilement réalisée.
Montrons donc que cette propriété qui est assez immédiate, donc,
ça va nous faire réviser les probabilités conditionnelles.
Donc, on veut montrer que la probabilité de X plus grand
que t + s, sachant X plus grand que t, pour t,
s des réels,est égal à la probabilité d'avoir X plus grand que s.