[SON] [AUDIO_VIDE] Alors, on va finir par une autre classe de variable aléatoire, là aussi paramétrée, qui est absolument fondamentale en probabilité, et qu'on appelle les variables aléatoires normales ou gaussiennes, puisqu'elles ont été introduites par le grand mathématicien Gauss. Donc, premièrement, nous allons introduire une de ces variables et de ces lois qu'on appelle la variable aléatoire normale centrée réduite. On verra pourquoi dans la prochaine séance. Donc, c'est une variable aléatoire qui va pouvoir prendre toute valeur de R maintenant, et qui va avoir la densité f (petit x) = (1 / racine de (2 * pi)) * e ((- x 2) / 2). Alors, je vous laisse prendre le temps de dessiner le graphe de cette fonction. Vous pouvez remarquer qu'elle est paire, donc f (petit x) = f (- x), ce qui veut dire que le graphe de cette fonction sera symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. De plus, vous voyez que de par sa forme en e (- x 2), cette fonction va s'écraser fortement en plus l'infini et en moins l'infini, et cette fonction vaut 1 en 0. Donc, prenez le temps de le faire, mais vous avez une fonction qui a un graphe avec une espèce de forme, on dit une forme de cloche, une courbe en cloche. On verra après en fait comment dans le cours 6 en fait, comment sont justifiées ces densités qui peuvent paraître a priori assez compliquées et barbares, mais il se trouve que ces variables aléatoires normales vont jouer un rôle absolument fondamental dans la modélisation probabiliste, et ce sont des espèces de lois universelles que l'on retrouve un peu partout. Alors, bien sûr cette fonction-là est de manière triviale positive. En revanche, il n'est pas très clair pourquoi c'est une densité, c'est-à -dire pourquoi l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini de petit f (x) est égale à 1. Et c'est d'autant plus compliqué que cette fonction n'a pas de primitive évidente, on ne peut pas comme dans le cas de la loi exponentielle, calculer l'intégrale de moins l'infini à petit x de f (u) d u, il n'y a pas de forme explicite. Alors, comment montrer néanmoins que son intégrale sur tout R vaut 1? Eh bien, en fait là , il y a là une astuce, qui est en fait de regarder non pas l'intégrale de f (x) d x entre moins l'infini et plus l'infini, mais de regarder l'intégrale double donc intégrale pour x variant dans R, et y variant dans R, de f (x) * f (y) d x d y. Là , c'est vraiment un truc qui est spécifique à cette loi-là . Donc, comme f est positive, on peut appliquer tous les théorèmes de Fubini dans tous les sens, et par définition donc, on sait que cette intégrale-là va être égale à 1 / (racine de 2 * pi) au carré, 1 / (2 * pi), fois l'intégrale de e puissance (- (x 2) / 2), multiplié par e puissance (- (y 2) / 2) d x d y. e puissance (- (x 2) / 2), multiplié par e puissance (- (y 2) / 2), cela fait e (- ((x 2 + y 2) / 2)). Et là , on va utiliser en fait les transformations et passer en coordonnées polaires pour calculer cette intégrale double. Donc, je vous rappelle en quoi consiste le passage en coordonnées polaires. Eh bien, cela veut dire que nous allons paramétrer le plan R 2, non pas par x et y, mais par les coordonnées polaires rhô thêta, au sens où on peut montrer qu'il y a une bijection entre (R + *) x ]0, 2 * pi[ et R 2 \ {0}, 0 n'a pas une seule représentation unique, et que cette bijection vous est donnée par l'association au couple (rhô, thêta), je peux associer le couple d'abscisse (rhô * cos (thêta)) et l'ordonnée (rhô * sin (thêta)). Donc, si vous êtes sur un plan de R 2, avec l'axe des x et l'axe des y, quand vous avez un point qui n'est pas nul, vous avez une et unique manière de le paramétrer, donc soit bien sûr par son couple d'abscisse et d'ordonnée x et y, soit par le rayon rhô qui est ici, et l'angle dont vous avez tourné pour passer à l'axe des x, à l'axe qui vous caractérise ce point M. Donc, le point M, vous pouvez le caractériser soit par (x, y), ou par son couple rayon rhô ou angle polaire thêta. Bien sûr, vous voyez comme cela que x = rhô * cos (thêta), et y = rhô * sin (thêta). Alors, maintenant, donc nous je vous le rappelle, on veut écrire avec ces nouvelles coordonnées l'intégrale sur R 2 de e (- (x 2 + y 2) / 2) d x d y. Bien sûr, une remarque facile, si on veut calculer x 2 + y 2, vous voyez que c'est rhô 2 * cos carré (thêta) + rhô 2 * sin carré (thêta). Si vous mettez rhô 2 en facteur, vous avez rhô 2 facteur de (cos carré (thêta) + sin carré (thêta)) = 1. Donc, e (- (x 2 + y 2) / 2), cela sera, c'est simple, à e (- (rhô 2) / 2). Maintenant, il faut connaître l'élément infinitésimal d x d y, en fonction de rhô thêta. Et là je ne vais pas revenir sur les éléments différentiels, on reverra cela aussi dans le cours 4. Mais, je vous rappelle que pour cela, il faut écrire le jacobien qui est associé à la transformation qui a rhô thêta associe rhô cos (thêta), rhô sin (thêta). Donc là , je vous renvois à vos cours de calcul différentiel, et ici on va calculer le jacobien de la transformation, donc que j'ai écrite précédemment. Le jacobien, je vous le rappelle, c'est le déterminant de la matrice jacobienne, et la matrice jacobienne, elle est obtenue par d x / d rhô, d x / d thêta, d y / d rhô et d y / d thêta, Avec x = rhô * cos (thêta) et y = rhô * sin (thêta), et cette notation de matrice avec des barres verticales, c'est pour définir le déterminant. Alors, que vaut ici cette matrice jacobienne? Je vous rappelle que x c'est rhô * cos (thêta), donc c'est cos (thêta). d x / d thêta, cela va être- rhô * sin (thêta), d y / d rhô, c'est sin (thêta), et d y / d thêta, c'est rhô * cos (thêta). Si je prends le déterminant, cela vaut donc rhô * cos carré (thêta) - par -, donc + rhô * sin carré (thêta), et cela vaut donc rhô. Ce qui veut dire que l'élément infinitésimal d x d y coïncide avec l'élément infinitésimal rhô d rhô d thêta. Bien. Donc, eh bien maintenant, on finit d'écrire notre intégrale. Donc, on a notre intégrale sur le plan R au carré de e puissance (- rhô 2 / 2) * rhô d rhô d thêta. Alors excusez-moi j'ai fait le changement de variable, donc je ne suis plus sur R 2. Je suis sur R +, donc je suis de 0 à plus l'infini pour rhô, et nous sommes entre 0 et 2 * pi pour thêta. Là , j'ai déjà fait mon changement de variable et je dois calculer ceci. Alors, eh bien vous voyez que l'intégrant ici ne dépend plus de thêta, donc on va avoir, alors, j'ai oublié le 1 / (2 * pi), qui se trouvait avant l'intégrale, je vais finir mon calcul de mon intégrale grand I au carré. Et donc, l'intégrale de d thêta va me donner un 2 * pi et puis je vais avoir e (- rhô / 2), que j'intègre entre 0 et plus l'infini avec l'élément différentiel rhô d rhô, donc vous posez le changement de variable petit u = (rhô 2) / 2, et vous verrez immédiatement que ceci vaut 1. Voilà . Donc, finalement, on a bien montré que grand I au carré vaut 1, où I = l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini de f (x) d x. C'est ce qu'on voulait pour caractériser le fait qu'on a bien ici une densité. Alors, on peut généraliser ici cette forme de fonction de densité. Là aussi, on justifiera cela dans les cours qui viennent, mais on peut considérer donc une famille de ce qu'on appelle loi normale, paramétrée par le réel m et le réel positif sigma au carré. Le N ici signifie loi normale et on va leur donner ce nom-là , loi normale de paramètre m, sigma carré. Donc, cela sera la loi de densité 1 / (racine de (2 * pi * sigma au carré)) * exp (- ((y -m) au carré) / (2 * sigma 2)). Donc, je vous laisse vérifier que cette fonction-là définit bien une densité. A savoir que l'intégrale entre moins l'infini et plus l'infini de f (y) d y est égale à 1, et vous utiliserez pour cela un changement de variable qui vous pose x = (y- m) / sigma. Faites-le, et cela vous permettra de revenir aux calculs qu'on vient de faire précédemment. Donc, vous voyez que cela vous définit toute une famille de variables aléatoires qui sont paramétrées par ces deux nombres, ici m qui est un réel quelconque et sigma qui est un réel positif. Alors, il y a beaucoup d'exemples de variables aléatoires qui suivent une telle loi. Je vous ai mis quelques exemples. La taille d'un individu choisi au hasard. La composante de la vitesse pour une molécule de gaz à une certaine altitude. Et en fait, on verra, on le justifiera, on a tendance à modéliser toutes les erreurs de mesure qu'on fait pour une certaine quantité physique par exemple, par une variable aléatoire de loi normale. En effet, nous montrerons dans le cours 6, et c'est un des théorèmes fondamentaux de la théorie des probabilité, qui est appelé le théorème de la limite centrale, nous montrera, nous montrerons que si nous sommons des variables aléatoires de même loi indépendante, et si nous en faisons la limite, c'est-à -dire nous regardons des sommes infinies de telles variables, eh bien nous obtiendrons toujours dans la limite, une variable aléatoire de loi normale, ce qui justifie cet aspect universel de la loi normale. Et aussi le fait qu'on modélise souvent les erreurs par ce type de loi. En effet, on peut voir une erreur comme une accumulation de petites erreurs qui sont toutes de même loi et indépendantes. Donc, vous voyez pour terminer, un vieux billet de 10 Deutsche Mark, maintenant il y a longtemps que l'Allemagne est passée à l'Euro. Mais j'aime bien montrer cette image, où vous avez à la fois un portrait de Gauss, Gauss vieillissant ici, Gauss, et de courbe en cloche qui est représentée ici sur ce billet pour montrer l'importance aussi de cette loi-là , y compris dans la vie quotidienne.
