[AUDIO_VIDE] Je vais énoncer un exercice un peu long qui s'appelle somme aléatoire de dés, exercice trois étoiles parce que il y a quand même pas mal de calculs et que c'est un peu long, après il y a des éléments assez simples dedans, donc l'énoncé, on jette à répétition un dé à six faces, jusqu'à ce que le six sorte. Et on somme toutes les valeurs sorties strictement avant cela. Donc on somme tous les dés sauf celui qui porte le six lorsqu'il sort. Et on arrête de jouer à ce moment-là . Pour modéliser ça de façon mathématique, on se donne une suite Xi, i plus grand que un de variable aléatoire indépendante uniforme sur un, deux, trois, quatre, cinq, six, chacune représentant un tirage du dé à six faces, et on pose grand N l'inf de i plus grand que un tel que Xi égale six, le rang du premier dé qui montrera six, grand S, la somme de i égale un à N moins un de Xi, hein, la somme de tous les dés sortis avant, et pour simplifier les choses aussi parce que c'est instructif, on va noter petit p égale un sixième, un sixième c'est la probabilité évidemment pour les variables uniformes de tomber sur un chiffre. Sur six en particulier. Donc on va commencer par faire un calcul qui est un peu une révision sur les variables aléatoires de la forme de grand N, hein donc les calculs pour grand N se feront d'abord en fonction de p, ça permet de donner des résultats généraux pour des variables aléatoires comme ça qui ont une probabilité où on a une suite de variables i d et on attend un événement qui a une probabilité p d'arriver, donc les calculs pour grand N se feront d'abord en fonction de p, première question, donner la loi de N, montrer que N est fini presque sûrement, ce n'est pas évident avec la définition puisque c'est l'infimum d'un ensemble qui pourra être vide auquel cas la convention c'est de lui donner la valeur infinie, deuxièmement, calculer la fonction génératrice grand G indice grand N de grand N, retrouver à l'aide de celle-ci que grand N est fini presque sûrement, et ensuite calculer l'espérance et la variance de grand N. C'est une variable aléatoire usuelle, nous allons voir ça. Ensuite on va, ce sont des choses un peu plus difficiles, puisqu'on va étudier grand S. Donc pour étudier grand S, S c'est une somme de variables aléatoires, donc la façon de faire c'est quand même de considérer les différentes valeurs possibles pour grand N, et donc on va, dans la question quatrièmement, calculer la loi du k moins un iii, Xi un plus petit que i plus petit que k moins un, conditionnement grand N égale k pour toutes les valeurs de k possible k supérieur ou égal à un. Et ensuite, montrer sans calcul que pour k plus grand que un et pour S compris entre zéro et un, la fonction génératrice conditionnelle espérance de S, somme de i égale un à k moins un de Xi sachant N égale k, c'est écrit sous cette forme assez simple, s plus s deux plus etc plus s cinq sur cinq, puissance k moins un. Donc on peut faire sans calcul lourd. Cinquièmement, calculer la fonction génératrice G indice grand S de S, et sixièmement, calculer l'espérance et la variance de grand S. Donc la première partie, hein, les questions un, deux, trois, sont assez simple, les questions quatre, cinq, six, sont un peu plus ardues, mais l'exercice est décomposé de façon à le rendre pas trop compliqué à faire Je vais faire le corrigé de la solution donc de l'exercice somme aléatoire de dés. La première question, se poser la question, quelle est la loi de grand N, grand N qui est défini comme ça, donc on l'a déjà vu en cours, c'est une loi classique, c'est ce qu'on appelle la loi géométrique sur N étoile, hein, les valeurs prises c'est un deux trois, etc, de paramètre, qu'on peut appeler de succès, hein, le paramètre qui donne la probabilité de l'événement qu'on attend qui dans ce cas précis est la sortie d'un six, P égale un sixième, et donc en généralité, la probabilité que N égale k c'est un moins p, k moins un, les k moins une sortie autre que la sortie de probabilité p qui ont probabilité chacune un moins p de façon indépendante fois p, hein, p étant la probabilité de l'événement qu'on attend. Et ensuite, donc ici dans ce cas précis, c'est cinq sixième puissance k moins un, un sixième, pour k plus grand que un. Donc suivant l'énoncé on a aussi des lois géométriques sur grand N, ici c'est une loi géométrique sur grand N étoile, hein, zéro exclu, hein, à partir de un. Ensuite on demandait de montrer que N était fini presque sûrement, Donc, on peut utiliser le théorème de limite monotone, et on peut remarquer que pour tout p supérieur à zéro, hein, si il y a une probabilité, si l'événement qu'on attend a une probabilité strictement positive d'arriver, la probabilité pour que N soit égal à l'infini, de toute façon l'événement N égal l'infini c'est l'intersection décroissante des événements N strictement plus grand que k, donc limite monotone, sa probabilité P de N égale l'infini, c'est la limite décroissante des probabilité que grand N soit strictement plus grand que k, or la probabilité pour que N soit strictement plus grand que k c'est un moins p puissance k, et il faut que les quatres premiers tirages n'ai pas donné, dans le cas du dés, de six, et puisque p est strictement plus grand que zéro, un moins p est strictement plus petit que un, et donc la limite est nulle, et donc la probabilité pour que N égale l'infini est nulle. Donc on peut faire ce calcul-là , on peut faire un autre calcul mais ce calcul est plus simple que le calcul qui consiste à calculer la somme, pour tous les cas possibles de p de N égale k, qui dans ce cas-ci se calcule assez facilement, c'est p fois la somme k plus grand que un, un moins p k moins un, et donc en sommant la série géométrique on trouve un, toujours pour p différent de zéro, bien entendu. Dans les cas plus compliqué que cette série, c'est plus facile de montrer qu'une suite tend vers zéro que de montrer qu'une série tend vers un. Nous avons résolu le premièrement, nous avons donné la loi de grand N, et on a montré qu'il était fini presque sûrement, ensuite, calcul de la fonction génératrice, donc, pour s compris entre zéro et un, la fonction génératrice de N au point s, par définition c'est la somme pour k plus grand que un, des probabilités pour que grand N égale k, fois s puissance k, je donne la valeur de N égale k, c'est p un moins p k moins un, donc c'est la somme pour k plus grand que un de p un moins p k moins un s puissance k, donc ensuite on reconnait là -dedans une série géométrique, il suffit de mettre p s en facteur pour s'apercevoir que c'est p s divisé par un moins un moins p s, donc voila la formule générale, et ensuite dans le cas précis où p vaut un sixième, on peut l'écrire par exemple, s sur six moins cinq s, ou ça pourrait être s sur six sur un moins cinq sixième de s mais multipliant en haut et en bas par six, on trouve s sur six moins cinq s. Donc une deuxième question c'était de, enfin une sous-question c'était de retrouver, grâce à la fonction génératrice, le fait que N était fini presque sûrement, en utilisant cette formule pour N strictement plus petit que un, et en faisant tendre s vers un, on peut utiliser soit le théorème de convergence croissant pour k plus grand que un de P(N) égale k, c'est la limite pour s croissant vers un de G N de s, et ici on voit que pour p différent de zéro, ça fait un. Nous avons ainsi résolu le deuxièmement. On a montré, on a calculé la fonction génératrice, et on a montré une deuxième fois que N était fini presque sûrement. Le troisièmement, c'était le calcul de l'espérance et de la variance, évidemment a priori c'est des calculs de séries où interviennent des termes géométriques et on peut les effectuer directement, mais comme on a déjà sommé une série avec la fonction génératrice, on va utiliser les propriétés de la fonction génératrice à savoir que, lorsque vous regardez la fonction génératrice, je rappelle, GN de s, c'est somme de k plus grand que un de P(N) égale k, s puissance k, si on dérive une fois, on fait sortir on transforme s k en k s k moins un, et si on dérive deux fois, on remplace s k par k k moins un, k puissance k moins deux, et en prenant la valeur pour s égale un, on retrouve d'un côté G'N de un moins la limité à gauche qui est l'espérance de N, et de l'autre côté G'' de N au point un moins, toujours la limite à gauche pour rester dans les rangs croissants, c'est l'espérance de N, N moins un, puisqu'on avait k k moins un en facteur dans la série. Donc on a ces deux formules classiques, et donc du coup une fois qu'on a cette formule-là , donc l'espérance on l'a trouvé, puis la variance, on utilise le fait que la variance c'est l'espérance de N carré moins espérance de N au carré, or, pour obtenir l'espérance de N carré il suffit de prendre G''N un moins et de lui ajouter, ben, moins l'espérance, c'est-à -dire G' N un moins, et puis donc ensuite il faut lui retrancher G'N à la limite en un moins au carré. Donc ça c'est la formule qui donne la variance aux fonctions des deux premières dérivées de la fonction génératrice au point un. Alors évidemment, il faut surtout pas, enfin encore ici on pourrait le faire, calculer les dérivés, mais plutôt utiliser un développement en série entière ou limitée en un à l'ordre deux. Donc ici c'est assez simple, hein, on avait cette formule p s sur un moins un moins p s, on remplace s par un plus h où h aura vocation à tendre vers zéro, donc ça fait p fois un plus h sur un moins un moins p un plus h, donc on suit des calculs tout à fait élémentaires, en développant des choses, on trouve une fraction ( 1+h ) / ( 1- (1-p)/p h), donc on a le un plus h en facteur et la fraction un sur un moins un moins p h, on la développe classiquement hein, donc c'est (1 + (1-p)/p h + ((1-p)/p) au carré h au carré) + o(h au carré), et donc en faisant le produit, on fait que des opérations algébriques essentiellement, en faisant le produit on trouve 1 + 1/p h + (1-p)/(p au carré) h au carré + o(h au carré), donc on a fait un développement limité à l'ordre deux, et par identification, nous interprétons ça comme une formule de Taylor, on retrouve le premier terme 1, on retrouve le fait que P (N < infini) = 1, ça on le savait déjà 2 fois et E (N) = 1 / p = 6 donc à présent, vous avez le 1 / ph donc l'espérance c'est 1 / p, donc ce qu'on peut remarquer c'est si on a une chance sur 6 pour que le dé sorte il faut attendre en moyenne 6 coups pour que le 6 sorte, et ensuite E (N (N- 1), c'est le terme qui est en h² sauf que bien évidemment la formule de tout à l'heure c'est que le deuxième terme c'est la dérivée seconde de h²/2 donc on trouve que E (N (N -1) c'est 2 * (1- p) / p². Ensuite le calcul qu'on a fait, Var (N) = E (N (N- 1) + E (N)- E (N)², en faisant le calcul on trouve 1- p / p², et dans le cas précis que l'on regarde ça fait 30, l'écart type donne racine de 30 qui vaut à peu près 5,48 Nous avons ainsi résolu le troisièmement, on a fait le calcul pour la loi géométrique, de la fonction génératrice de l'espérance et la variance, c'est des choses assez classiques. Donc je rappelle la question numéro 4, là on rentrait dans des choses un petit peu plus compliquées, on voulait calculer la loi de (Xi) 1 < i < k- i, conditionnellement à N = k, donc si N vaut k, c'est qu'en particulier, Xi, X2, Xk- 1 ne valent pas 6. Donc a priori, ce vecteur, s'il n'était pas conditionnel, il serait uniforme sur 1, 2, 3, 4, 5, 6, puissance k- 1, puisque là on a enlevé la possibilité que les coordonnées prennent les valeurs 1, 2, 3 enfin, les coordonnées 1, 2, 3, jusqu'à k- 1 prennent la valeur 6, on retrouve que la loi que ce k- 1 uplé est la loi uniforme sur 1, 2, 3, 4, 5, les valeurs possibles au vu du conditionnement. Donc c'est ça peut-être les choses qu'il faut remarquer pour ne pas faire des calculs trop compliqués c'est que essentiellement, une loi uniforme conditionnée c'est une loi uniforme sur l'espace qui reste possible. Donc le vecteur Xi, est uniforme, des Xi uniformes sur 1, 2, ,3, 5, k -1, par ailleurs, on demandait de montrer la formule sans faire de calculs donc il faut utiliser les résultats du cours. Première chose on l'a vue dans l'exercice précédent, mais c'est quand même classique, que les variables uniformes sur des espaces produits correspondent à des coordonnées indépendantes, voir l'exercice précédent, donc tout se passe comme si les k- 1 tirages étaient indépendants. Par ailleurs on a vu que la fonction génératrice d'une somme de 2 v.a. indépendantes est le produit des fonctions génératrices, à cause de la forme exponentielle de s puissance x, si les variables sont indépendantes, on s'aperçoit que la fonction génératrice d'une somme de variables indépendantes c'est le produit des fonctions génératrices, donc ici par une récurrence immédiate, en généralisant ce résultat un produit de plus que 2 variables indépendantes, on trouve que l'espérance, conditionnellement à N = k de s à la puissance somme de i = 1 à k- 1 de Xi, donc conditionnellement à N = k, les Xi sont indépendants chacun et chacun uniformes sur 1, 2, 3, 4, 5, donc ça va être la puissance k- 1, de la fonction génératrice des v.a. uniformes sur 1, 2, 3, 4, 5. Or cette fonction génératrice c'est évidemment s + s2, etc., + s5, divisé par 5. 1/5 étant la probabilité d'apparition de 1, 2, 3, 4, 5, de chacun des termes, et puis donc on prend s à différentes puissances. On a une formule pour l'espérance conditionnelle, cette fonction génératrice conditionnelle on a une formule assez simple, qui est celle qui est au tableau. On a ainsi résolu le quatrièmement, ensuite, pour calculer ce qui nous intéresse, c'est pas cette fonction génératrice conditionnelle mais bien la fonction génératrice de grand S. Donc on va utiliser la formule de la probabilité totale, que je vais essentiellement redémontrer, d'ailleurs, donc nous ce qui nous intéresse, c'est la fonction génératrice G indice S (s) = E (s à la puissance somme de i = 1 à grand N- 1 de Xi). Donc on va dire que c'est la somme, pour k > 1, de l'espérance de la même chose, où on a mis l'indicatrice de grand N = k, on coupe l'espace de probabilité dans les différents événements N = K, donc évidemment si grand N = k, la puissance dans la somme de i = 1, n grand N- 1, je peux remplace grand N par, k, donc je trouve donc cette fonction génératrice est la somme pour k > 1 de l'espérance de s, somme de i = 1 à k- 1 de Xi indicatrice de grand N = k, ensuite on trouve la formule de la probabilité totale, on exprime ça en termes de probabilité conditionnelle, donc c'est la somme pour k supérieur ou égal à 1 de l'espérance de s à la puissance somme de i = 1 à k- 1 Xi conditionnel par rapport à N = k, fois la probabilité que N = k, formule de la probabilité totale, c'est de donner directement ça comme résultat, et donc tous les termes on les connait, donc c'est la somme de k supérieur ou égal à 1 du terme qu'on vient de calculer s + s², etc.....+ s puissance 5, puissance k- 1, fois la probabilité que N = k soit 1/6 fois 5/6 puissance k- 1. Une fois qu'on a une formule comme ça, on voit apparaître une série géométrique, qu'on peut sommer facilement et on peut l'écrire comme étant 1/ 6- (s+ s² + etc... + s puissance 5) ou si on veut sommer ce petit bout de série, on peut l'écrire comme étant 1/6- s puissance 6- s / s- 1. Les 2 formules donneront des résultats lorsqu'on veut s'en servir, donc on a ainsi résolu le cinquièmement, on marque que c'est une fraction rationnelle et que ce n'est pas très difficile de faire de développements en série ou des développements limités. Nous avons ainsi résolu le cinquièmement. Donc la question sixièmement c'était de calculer l'espérance et la variance de grand S donc on pourrait le faire aussi à la main mais une fois qu'on a la fonction génératrice qu'on a remarquée pour les variables aléatoires de loi géométriques, le plus simple c'est d'utiliser ces résultats-là , pour ici c'est pour grand N mais les mêmes résultats sont pour grand S et une fois de plus il faut utiliser un développement en série entière et non pas calculer les dérivées, même si on était capable de le faire mais c'est plus simple de faire le développement à l'ordre 2. Donc on fait un développement en 1 à l'ordre 2, Gs au point donc on place petit s par (1 + h) avec h petit donc on écrit, on récrit ici, on prend la dernière formule, on remplace petit s par (1 + h), ça donne exactement ça, 6- la fraction (1 + h) puissance 6- (1 + h) / h, ensuite il y a plus qu'à appliquer la formule du binome à (1 + h) puissance 6, pour obtenir que c'est 1 / 1- 15h- 20h² + o(h²), négligence qu'il y a des termes d'ordre trop élevé on utilise classique la série 1 / 1- x pour x petit, donc ça nous donne 1 + 15h + 20h² + 15² c'est-à -dire 225h² + o (h²). Les termes en développement sont tous en o (h²). Ensuite on regroupe les termes en h² ça nous donne 1 + 15h + 245h² + o (h²). Une fois qu'on a fait ça, on a le développement en série entière en tous cas le développement limité à l'ordre 2, on a plus qu'à identifier, une fois de plus on voit P (S < infini) = 1, premier terme, ensuite identifiant les termes d'ordre h, c'est une formule de Taylor, on trouve que E (S) = 15, et puis ensuite en identifiant le terme de l'espérance de Taylor dérivée seconde h²/2, on trouve que E (S (S- 1) = 2 * 245 et vaut donc 490. donc le calcul comme tout à l'heure, Var (S) = E (S (S- 1) + E (S)- E (S)², en effectuant les calculs qui sont simples, on trouve 280, soit à peu près 16,7². Nous avonc ainsi résolu le 6 et fini l'exercice.
