[SON] Bonjour. Nous allons aborder aujourd'hui le dernier cours de ce module Aléatoires, donc le cours 6 dans lequel nous allons, premièrement, définir une nouvelle manière de caractériser la loi d'une variable aléatoire, ou v.a., réelle, ou d'un vecteur aléatoire, nous allons utiliser cette nouvelle vision, ce nouveau point de vue, sur la loi d'une v.a. pour définir et caractériser une nouvelle notion de convergence sur une suite de v.a., plus faible que les notions de convergence que nous avons introduites dans le chapitre 5, et nous allons finalement finir, on peut dire en beauté, ce cours, par le deuxième théorème majeur de la théorie des probabilités, qui s'appelle le théorème de la limite centrale, et qui, comme vous le verrez à la fin du cours 6, va permettre de quantifier la vitesse de convergence dans le théorème de la loi des grands nombres, dans la loi des grands nombres. Donc, ce théorème de la limite centrale, aura énormément d'applications en particulier en statistiques, mais aussi pour tout ce qui est méthodes numériques, puisqu'il va quantifier l'erreur que l'on fait, par exemple dans les méthodes de Monte-Carlo, en approchant une intégrale, qui a la valeur d'une intégrale, par une suite, une simulation de v.a. Aujourd'hui, nous allons définir et étudier ce qu'on appelle fonction caractéristique d'une v.a. ou d'un vecteur aléatoire, et on va voir que cette fonction va nous permettre, dans tous les cas, de caractériser la loi de la variable ou du vecteur aléatoire. On prend un cadre général de vecteurs aléatoires d dimensionnel, et, nous allons définir cette fonction caractéristique. Alors, une grande nouveauté, par rapport à des fonctions que l'on a introduites précédemment, et qui pouvaient permettre de caractériser la loi d'une variable, telles la fonction génératrice ou la fonction de répartition, une grande nouveauté disais-je, et que cette fonction caractéristique va être à valeur complexe. On va changer un petit peu de monde, puisqu'on passe de vecteurs aléatoires dont les valeurs évoluent dans Rd, à une fonction qui va prendre ses valeurs dans C. Donc, mathématiquement, cette fonction caractéristique, c'est, en gros, la transformée de Fourier de la loi de la v.a., donc tout ce qu'on va voir aujourd'hui, est plus ou moins associé au calcul de Fournier. Alors, une notation. Si je considère, on l'a déjà introduite précédemment mais je vais la rappeler, si je considère deux vecteurs X et Y de Rb, on va noter le produit scalaire <x, y> de cette manière, entre deux crochets, et c'est donc la somme pour j variant de 1 à d, de xj yj. Une première remarque que l'on peut faire, si l'on se donne ce vecteur, ici X, est que, pour tout U un vecteur de Rd, donc je peux définir la v.a. U scalaire X, qui va être la somme des Uj, X indice j, qui sera donc une v.a. réelle, et ainsi, je vais pouvoir définir le cosinus du produit scalaire U scalaire X, et le sinus de U scalaire X. Étudiées, donc cosinus scalaire X et sinus scalaire x sont des v.a. réelles, mais je peux fabriquer une v.a. complexe, en regardant cosinus Ux + i sinus Ux. Où i, c'est le nombre complexe imaginaire i. Donc, cela me définit l'exponentielle complexe e puissance i U scalaire x. Donc cette v.a. de manière évidente, a un module borné par 1. Puisque cosinus² + sinus², je vous rappelle que ça fait 1. Donc, nous avons construit ainsi, à partir du vecteur aléatoire de Rd, et d'un vecteur u de Rd, une v.a. à valeur dans C et qui est bornée par 1. Elle est bornée, donc elle admet une espérance, et c'est cette espérance, qu'on va appeler fonction caractéristique de X au point u. Donc par définition, la fonction caractéristique du vecteur aléatoire X, est la fonction que je note phi indice X qui va être définie de Rd à valeur dans C, l'ensemble des nombres complexes, par phi x de u = espérance de et puissance iu scalaire x. C'est donc l'espérance de e puissance i fois la somme de j = 1 à d de ujxj et c'est également l'espérance de cosinus u scalaire x + x fois l'espérance de sinus u scalaire x. Vous voyez qu'en particulier, si d = 1, si x est une v.a. réelle, eh bien, la fonction caractéristique sera définie de R dans C par phi x de u = espérance de e puissance iux pour tout u dans R. Alors vous voyez, que cette fonction caractéristique, elle est définie à partir de l'espérance de la variable ou du vecteur aléatoire, enfin d'une fonction du vecteur ou de la v.a., et donc elle ne dépend que de la loi de X. On peut voir le cas particulier d'une v.a. discrète, qui va donc prendre les valeurs Xk indexé par N avec les probabilités Pk et dans ce cas-là , la fonction caractéristique de X prise en u, sera égale à la somme de Pk exponentielle de iuxk. Si maintenant on suppose que X est à valeur dans N, Xk est égal à k, et Pk la probabilité d'avoir X = k, phi x de u va être égal à somme de Pk et puissance iuk. C'est-à -dire e puissance iu puissance k. Et nous reconnaissons là la fonction génératrice de X prise en e puissance iu. On a prolongé cette notion de fonction génératrice, à des nombres complexes de module inférieur ou égal à 1. Si x est une loi à densité, dans ce cas-là , je vous rappelle la définition, si x de u est égal à espérance de e puissance iux, donc si X a la densité f, eh bien dans ce cas, phi x de u pour u réel, sera égal à l'intégrale de e puissance iux f de x dx. Vous voyez que, pour la calculer, il faut être capable de calculer l'intégrale d'une fonction complexe. Il y a des théories très générales là -dessus, un théorème en particulier, qu'on appelle le théorème des résidus, mais nous allons voir, principalement, des exemples assez simples où l'on peut faire des calculs facilement. Une première proposition qui va nous donner quelques propriétés de régularité de notre fonction caractéristique. On considère toujours un vecteur aléatoire de Rd, et nous pouvons montrer que la fonction phi x est continue. Elle va être de module, donc c'est un complexe, phi x de u est un complexe, et on peut montrer que ce complexe sera toujours de module inférieur à 1, ça cela va être immédiat, nous pouvons montrer que phi x de 0 est égal à 1, et que si l'on regarde phi x de -u, cela va être le complexe conjugué de phi x de u. La partie la plus délicate de cette proposition est la continuité. Que nous allons prouver maintenant, en utilisant comme vous allez le voir, le théorème de convergence dominée, une fois encore. Donc, nous voulons montrer que Phi x de u, définie comme l'espérance de iux, est continue en u. Pour ce faire, nous allons considérer une suite Up qui converge vers U quand p tend vers l'infini et nous voulons montrer que phi x de up converge vers phi x de u. Si up converge vers u par oméga, nous pouvons montrer que e puissance i Up X de oméga converge vers e puissance i u scalaire X de oméga. Donc, on a la convergence pour tout oméga, en particulier presque sûrement, de la suite de v.a. complexes e puissance i up scalaire X, vers e puissance iu scalaire X. De plus, toutes ces v.a. complexes sont bornées en module par 1. Donc nous avons une suite de v.a. qui convergent presque sûrement vers une v.a. intégrable. Nous pouvons donc appliquer le théorème de convergence dominée que nous avons vu dans la séance 3 du cours 5. Cela nous donne en particulier que l'espérance de i up scalaire X converge vers l'espérance de e puissance i u scalaire X, c'est-à -dire par définition, que la suite Les fonctions caractéristiques de X prises en Up convergent vers les fonction caractéristiques de X prises en U. Ce qui prouve la continuité de phi x. Je vous laisse vérifier, on a déjà vu que son module était pour tout u inférieur ou égal à 1, c'est immédiat de voir que phi x de 0 est égal à 1, Maintenant, si l'on veut étudier ce que vaut phi x de -U, on écrit ce que ça vaut. Phi x de -u, c'est l'espérance de cosinus - u scalaire x, + i espérance de sinus -u scalaire x. Cosinus de -u scalaire x c'est la même chose que cosinus de u scalaire x, sinus de -u scalaire x c'est -sinus de u scalaire x. Et finalement, nous reconnaissons ici espérance de cosinus u scalaire x - i espérance de sinus u scalaire x, c'est-à -dire le complexe conjugué de phi x de u. La remarque de calcul que nous avons fait sur les variables discrètes, où nous avons vu que la fonction caractéristique de u pour de telles variables, c'était la même chose que la fonction génératrice de cette variable prise en e puissance iu, nous pouvons en déduire, pour des variables discrètes usuelles, la valeur de la fonction caractéristique de U. Donc je vous les ai données à titre indicatif, pour une v.a. de loi binomiale de paramètres n et p, la fonction caractéristique de u vaut e puissance iup + 1- p puissance n, et pour une v.a. de Poisson de paramètre thêta, elle vaudra e puissance thêta facteur de e puissance iu- 1. Donc là , il n'y a rien à calculer, je vous renvoie juste au cours 2, pour retrouver les formes des fonctions génératrices de ces variables binomiales ou de Poisson. Dans ces cas-là , la fonction génératrice qui caractérise la loi de la v.a. on n'aura pas besoin, en général, d'utiliser la fonction caractéristique dans ces cadres. Dans le cadre des variables à densité, ça peut être très intéressant, et à titre d'exemple, on peut calculer la fonction caractéristique pour une loi uniforme sur [a, b], donc par définition, c'est 1 / (b- a) l'intégrale de a à b, de e puissance iux dx, et un petit calcul immédiat nous donne le résultat en intégrant la fonction e puissance iux, entre a et b. Bien sûr, b > a dans ce cas. Si, maintenant on regarde une v.a. uniforme sur un intervalle symétrique par rapport à 0 de la forme [-a, a], on applique la formule précédente, du coup on a e puissance iua moins e puissance -iua et la longueur de l'intervalle sera 2a, ce qui nous fait apparaître un sinus, et donc cette intégrale, dans ce cas-là , nous donne la valeur de la fonction caractéristique en u, sera égale à (sinus ua) / ua. Je vous ai aussi donné le calcul de la fonction caractéristique pour une v.a. exponentielle de paramètre lambda, et là encore, on peut justifier que cette fonction caractéristique vaut lambda / (lambda- iu) si, comme je l'ai dit, lambda est le paramètre de la variable exponentielle. Un résultat plus intéressant et plus délicat à démontrer, donc nous allons prendre le temps de le montrer, est la valeur de la fonction caractéristique, pour une loi normale centrée réduite. Le résultat est que, si on a une v.a. de loi normale centrée réduite, sa fonction caractéristique en u vaut e puissance -u² / 2. Et nous allons en déduire que si x maintenant est une variable aléatoire d'espérance n et de variance sigma², dans ce cas, la fonction caractéristique de x en u vaut e puissance ium- (u² sigma²) / 2 Vous voyez dans les deux cas, la contribution de la variance va nous donner une partie réelle de cette fonction caractéristique, et en revanche, l'espérance va contribuer à la fonction caractéristique par une contribution complexe. Pour une loi normale centrée réduite où l'espérance est nulle, la fonction caractéristique est cette fonction, qui est à valeur réelle. Nous allons maintenant montrer ce résultat, et calculer la fonction caractéristique pour la loi normale centrée réduite. Prouvons que si x suit une loi normale centrée réduite, alors, la fonction caractéristique de x en u est égale à e puissance -u² / 2. Je vous rappelle que la densité de X vaut 1 / racine de 2pi e puissance -x² sur 2. Donc, la question est de calculer l'intégrale de e puissance iux, alors, 1 / racine de 2pi intégrale sur R de e puissance iux e puissance -x²/2 dx. Nous voulons montrer que le résultat de ce calcul va nous donner e puissance -u²/2. Nous allons commencer par une remarque : ici vous avez à calculer l'intégrale de l'exponentielle d'un nombre complexe, qui est ici iux. Pour l'instant, nous allons regarder ce que vaut une intégrale de cette forme, mais où j'ai remplacé iux par un nombre réel. Donc, je prends S dans R, et on va calculer 1 / racine de 2pi, intégrale sur R de e puissance sx e puissance -x²/2 dx. Et je vous laisse le vérifier : il suffit d'écrire ici sx- x²/2 comme le début d'un carré. On peut vérifier que cette intégrale s'écrit encore : 1 / racine de de 2 pi intégrale sur R, e puissance S² / 2, fois e puissance moins (S- x)² / 2- dx. Du coup vous voyez qu'on peut écrire ça comme e puissance S² / 2, qui ne dépend pas de X, que je peux sortir de l'intégrale, facteur de 1 / racine de 2 pi, intégrale sur R de e puissance- s- x au carré sur 2 dx. Ici dans cette dernière intégrale que je souligne, on peut faire un changement de variables s- x = y, et vous allez obtenir comme calcul, je vais même souligner le 1 / racine de 2 pi. Vous allez avoir 1 / racine de 2pi, intégrale sur R, de e puissance -y² / 2dy. Donc, vous savez que cette intégrale-là vaut 1. C'est la densité d'une loi normale. En faisant ce changement de variable s- x = y, ou même, pour ne pas traîner les moins, - s + x = y, c'est encore plus simple. Ce que nous venons de montrer, c'est que 1 / racine de 2pi, intégrale sur R de e puissance sx e puissance -x² / 2 dx est égal à e puissance s² / 2. Donc, notre question est : peut-on remplacer s par iux? Nous pouvons remarquer qu'à droite, c'est l'exponentielle de s² / 2, on peut écrire cette exponentielle comme la somme d'une série entière qui va s'écrire somme de s2n sur 2 puissance n factorielle n, c'est la série entière de terme général s puissance 2n sur 2n factorielle n. Cette série entière, elle a un rayon de convergence infini. [AUDIO_VIDE] Elle converge pour tout s. Ca, c'est le terme de droite. A gauche, nous avons l'intégrale de puissance sx de puissance -x² / 2dx. Nous allons là encore écrire e puissance sx comme somme d'une série entière, la somme des s puissance n Xn sur factorielle n. Et je vais appliquer le théorème de Fubini, pour intervertir le s puissance n, la somme en n des s puissance n, et l'intégrale. La somme et l'intégrale. Donc à gauche, nous allons pouvoir écrire : somme sur n de s puissance n 1 / racine de 2 pi intégrale sur R de x puissance n e puissance- x² / 2 dx. Donc, je répète : e puissance sx s'écrit comme la somme des sn xn sur factorielle n, il faut que je rajoute ici le n!, et je peux, par le théorème de Fubini, intervertir les sommations en n et l'intégrale par rapport à dx. Donc vous voyez que finalement, là encore, nous avons une autre série entière de rayons de convergences infinies. Je vous rappelle que toutes ces intégralles de la forme de Xn puissance (-x²/2)dx sont bien définies. L'exponentielle -x²/2 à l'infini s'écrase vers 0 et écrase tous les polynômes de la forme X puissance 7. Donc tous les moments de la loi normale sont bien définis, et nous avons l'égalité de ces deux séries entières. Nous savons que ces deux séries, et vont coïncider sur l'axe réel, et donc elles vont coïncider sur O moins, sur tout le disque unité, en tant que fonctions à valeurs complexes, donc elles vont en particulier coïncider pour une valeur de S complexe de la forme i u x, donc ces deux séries coïncident sur R ces deux séries entières, et comme elles ont un rayon de convergence infinie, elles vont également coïncider sur C. Et donc en particulier, pour s = i u x ce qui était notre question. Nous allons donc pouvoir remplacer s, non pas par i u x mais par i u, comme je l'ai annoncé dans la formule rouge, et vous voyez que dans ce cas, s² = (i u)² c'est-à -dire à -u². Ce qui nous donne le résultat pour une loi normale centrée réduite, grâce à ce calcul où donc je le répète, j'ai remplacé s par i u comme annoncé dans l'encadré rouge. Alors une remarque que je voudrais faire, et qui est un corollaire de l'égalité des deux sommes de série entière qui est encore écrit sous vos yeux, est la chose suivante : vous voyez que dans cette formule d'égalité de mes sommes de série entière apparaît, comme on l'a remarqué, le moment, d'ordre n, de, alors je devrais même intégrer le 1 / (racine de 2pi), le moment d'ordre n de la v.a. de loi normale centrée réduite. Donc à gauche, vous voyez que vous avez une série en s puissance n, mais à droite vous avez une série qui ne fait intervenir que des entiers pairs 2n. Donc maintenant, si l'on identifie terme à terme ces séries, vous voyez que l'on va en déduire que pour tout n impair, les moments d'ordre de pair de la loi normale, l'intégrale de x alors n, 1 / racine de 2pi, e puissance -(x² / 2) dx qui est = E [Xn] = 0 donc ça on peut le savoir de toute façon puisque la densité est paire. Ce qui est plus intéressant, c'est que le calcul précédent nous donne la valeur d'un moment pair, puisque de l'égalité des deux sommes de séries, on en déduit que l'intégrale de 1 / racine de 2pi, x puissance 2n, e puissance -(x2 / 2)dx, l'intégrale de- l'infini à + l'infini, dx = (2n)! / 2 puissance n. n! Donc là c'est juste une identification terme à terme dans cette égalité de somme de séries. Donc ça c'est une remarque fondamentale, vous voyez que pour calculer ce type de moment, ce type d'intégrale, comme celle qui est écrite ici, il ne faut surtout pas faire le calcul, bon, en plus on a vu que x puissance -(x² / 2) n'a pas de primitive, donc c'est un calcul effroyable mais là , par cette astuce des développements en séries entières des exponentielles, on arrive à avoir de manière immédiate ce calcul des moments. Revenons à nos fonctions caractéristiques, et nous allons montrer qu'à partir du calcul que l'on vient de faire, on peut en déduire la fonction caractéristique, de n'importe quelle v.a. de loi normale. Je suppose maintenant que X admet une loi normale N (m, sigma²). Donc dans ce cas nous avons vu, et je vous renvoie au cours 3, que x peut s'écrire m + sigma y, où y suit une loi normale N(0, 1) c'est-à -dire que c'est une loi normale, gaussienne, centrée réduite. Si je calcule maintenant l'espérance E [e puissance (i u X) ], je remplace X par sa valeur en fonction de y, donc ça va être e puissance (i u m), ça c'est un nombre complexe, plus d'aléatoire là , et puis e puissance i u sigma y Donc je sors le e puissance i u m, qui est une constante, et j'ai Espérance de exponentielle i u sigma y. Et vous voyez qu'ici, si j'associe, je considère le réel u sigma, u est un réel, sigma est un réel, ce que je reconnais ici, c'est la fonction caractéristique de Y prise en le point u sigma. Or Y est une loi normale centrée réduite donc nous avons vu que cette fonction caractéristique vaut e puissance -u² sigma² sur 2. Finalement, nous en déduisons le résultat annoncé, à savoir que la fonction caractéristique de X vaut e puissance i u m e puissance- u² sigma² sur 2.
